Mathematische Abstraktion

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Mathematische Abstraktion

• Daniel Wickert
• Proseminar Logik / WS 2003

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Gliederung

1. Geometrie und Axiome
2. Der Zahlenbegriff
3. Boole und die Algebra der Logik
4. Spätere Entwicklungen

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Geometrie - Elemente I II III IV
Euklids Elemente
Zusammenfassung geometrischer Erkenntnisse seiner Zeit. Erkenntnisse abgeleitet von wenigen Grundsätzen und Postulaten (Axiome).
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Geometrie - Axiome I II III IV
Axiome der Euklidischen Geometrie
Man kann eine gerade Strecke von einem Punkt zu einem anderen Punkt ziehen. Man kann eine Strecke kontinuierlich zu einem Strahl verlängern. Um jeden Punkt kann man einen Kreis mit beliebigem Radius schlagen. Alle rechten Winkel sind einander gleich.
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Geometrie - Axiome I II III IV
Parallelenaxiom
5. Wenn eine Strecke zwei andere Strecken derart schneidet, so dass die beiden inneren Schnittwinkel auf der einen Seite zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann schneiden sich die beiden Strecken, wenn sie weit genug verlängert werden, auf der Seite, auf der die Schnittwinkel zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind.
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Geometrie - Axiome I II III IV
Parallelenaxiom II
Weitgehend abgelehnt Versuche der Herleitung aus anderen Axiomen Versuche des indirekten Beweises Saccheri(1733) Vorform der nicht-euklidischen Geometrie
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Geometrie nicht-euklidische I II III IV
Nicht-euklidische Geometrie
Gauß, Riemann Geometrie ohne Parallelenaxiom möglich Hilbert nicht-euklidische Geometrie widerspruchsfrei, falls euklidische Geometrie widerspruchsfrei Abbildung der geometrischen Elemente aufeinander
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Geometrie Fazit I II III IV
Fazit
Abkopplung von räumlicher Vorstellung Axiome funktionieren auch ohne Punkt, Linien und Ebenen. Weitere Entwicklungen Analytische Geometrie Topologie Gruppentheorie
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Zahlen Griechen I II III IV
Der Zahlenbegriff
Griechen Viel Geometrie, wenig Algebra und Analysis Geometrie weniger Abstrakt Unscharfer Zahlenbegriff Pythagoräer hatten Probleme mit Inkommensurabilität
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Zahlen Entwicklung I II III IV
Entwicklung des Zahlenbegriffs
Zweck Konkrete Objekte quantifizieren Zuerst Adjektive eins, zwei, drei ohne echte Adjektive zu sein. Später auch Namen, also Substantive
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Zahlen Entwicklung I II III IV
Entwicklung des Zahlenbegriffs II
Erweiterung durch Probleme der Arithmetik x 3 2 ? Negative Zahlen 2x - 3 0 ? Brüche x² - 2 0 ? Irrationale Zahlen x² 1 0 ? Imaginäre Zahlen
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Zahlen Entwicklung I II III IV
Entwicklung des Zahlenbegriffs III
Loslösung des Zahlenbegriffs vom ursprünglichen Zweck Zahlen sind Entitäten in einem Kalkül mit Addition und Multiplikation Kommutativität Assoziativität Distributivität
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Boole Kurzbiographie I II III IV
George Boole (1815-1864)
Sohn eines wissenschaftsbegeisterten Schusters Erste Interessen Optik und Latein später Mathematik Erste Veröffentlichung mit 12 Jahren Übersetzung einer Ode von Horace Mit 16 Aushilfslehrer, mit 20 eigene Schule 1849 Lehrstuhl am Queens College in Cork (Irland) ohne Akademischen Grad Wichtigste Arbeiten Mathematical Analysis of Logic Investigation of the Laws of Thought
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Boole Grundüberlegungen I II III IV
Grundüberlegungen
Gültigkeit der Symbolischen Algebra unabhängig von Interpretation der Symbole Gesetze zur Kombination von Symbolen eines wahren Kalküls sind bekannt und allgemeingültig. Sein Kalkül der Logik erfüllt diese Bedingungen
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen
x, y sind Klassen, x y ? Klassen haben gleiche Mitglieder xy neue Klasse deren Mitglieder sowohl in x als auch in y sind. Universalklasse 1 hat alle betrachteten Elemente als Mitglieder Nullklasse 0 hat kein Element als Mitglied
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen II
1x x und 0x 0 aber xx x Kein Division-Äquivalent, denn es gilt nicht xz yz ? x y Vorschlag Abstraktion als Division x/y z
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen III
x y entweder x oder y Sehr ungünstig da viele praktische Regeln so nicht verwendbar (1 - x) Komplement x(1 - x) 0
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen - Syllogismen
A, E, I und O beschreibbar
Jedes X ist Y x(1 y) 0
Kein X ist Y xy 0
Einige X sind Y xy ? 0, bzw. xy v
Einige X sind nicht Y x(1 y) ? 0, bzw. x(1- y) v
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen - Gesetze

(1) xy yx (5) x y ? xz yz
(2) x y y x (6) x y ? x z y z
(3) x(y z) xy xz (7) x y ? x - z y z
(4) x(y - z) xy xz (8) x(1 - x) 0
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen Gesetze II
Regeln (1) (7) entsprechen Algebra mit Zahlen Regel (8) x(1 - x) 0 nicht. Hinzunahmen von (9) Entweder x 1 oder x 0 Booles Konvention x 1 ? Prämisse X ist wahr x 0 ? Prämisse X ist falsch
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen - Entwicklung
f(x) Abkürzung für Booleschen Ausdruck abhängig von x ? f(x) ax b(1 - x) f(1) a, f(0) b f(x) f(1)x f(0)(1 - x) Entwicklung von f(x) bezüglich x Ergibt Disjunktive Normalform
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Boole Logik der Klassen I II III IV
Logik der Klassen - Techniken
Reduktion mehrerer Gleichungen zu einer Lösung einer Gleichung (Umstellung nach einer Variablen) Eliminierung einer Variablen Werkzeuge für algebraische Repräsentation syllogistischer Schlüsse. h(1-a) 0, a(1-m) 0 ? h(1-m) 0
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Boole Fazit I II III IV
Logik der Klassen - Fazit
Wichtigste Neuerungen Kalkül für Wahrheitsfunktionen Disjunktive Normalformen Grundlagen späterer Entwicklungen Durch einige Annahmen sich selbst Steine in den Weg gelegt
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Spätere Entwicklungen I II III IV
Spätere Entwicklungen
Venn-Diagramme J.Venn Bewunderer Booles
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Spätere Entwicklungen I II III IV
Spätere Entwicklungen II
Inklusivität von für DeMorgan-Regel DeMorgan, Pierce, Schröder Theorie der Relationen Einführung von ? (einige) und ? (alle) Vorstufe zur Prädikatenlogik
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Fazit
Axiomatisierung führte zu Abstraktion Algebra der Logik Ergebnis der Abstraktion des Zahlenbegriff Logikbegriff von Philosophie getrennt, neue Erkenntnisse kamen von Mathematikern
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Quellen
Kneele http//de.wikipedia.org/wiki/Euklidische_Geometrie The Calculus of Logic Cambridge and Dublin Mathematical Journal Vol. III (1848), pp. 183-98 http//homepages.enterprise.net/rogerp/george/boole.html
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