CORRELA

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CORRELAÇÃO linear de Pearson( r )
Prof. Ivan Balducci FOSJC / Unesp
2
Correlação Há um Relacionamento entre as
variáveis? Elas vão juntas? Aumentando uma
variável, então aumenta também a outra?
Exº de variáveis X ... Horas de estudo
Y ... Notas na Prova
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Exemplo 1 Notas vs Horas de estudo

• Variável independente é o número de horas
  estudadas.
• A nota do aluno é a var. dependente.
• A nota do aluno depende do nº de horas que ele
  estuda?
• Essas variáveis se relacionam?

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Diagrama de Dispersão

• Por convenção, a variável independente é
  considerada no eixo horizontal x.
• A dependente é considerada no eixo vertical y.

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Exemplo de Diagrama de Dispersão
Horas Notas 1 57 2 63 2 75 3 68 5 88 6 82
C1 Horas de Estudo C2 Notas dos Alunos
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Correlação Positiva Linear
y
y
y
x
x
x
(a) Positiva
(b) Forte positiva
(c) Perfeita positiva
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Correlação Negativa Linear
y
y
y
x
x
x
(d) Negative
(e) Strong negative
(f) Perfect negative
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Correlação Não Linear
y
y
x
x
(h) Correlação Não linear
(g) Nenhuma Correlação
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Exemplos Quanto à Intensidade do Relacionamento
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• Definição
• Coeficiente Correlação Linear r

• Mede a força do relacionamento linear entre
  valores pareados x e y na amostra

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Fórmula do Coeficiente de Correlação Linear

• Calculadoras Científicas (estatística)
• podem calcular r

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Notação Coeficiente de Correlação Linear

• n número de pares de dados presentes.
• S soma.
• Sx soma de todos os valores de x.
• Sx2 indica que cada x deve ser elevado ao
  quadrado e então aqueles quadrados somados.
• (Sx)2 indica que x deve ser somado e o
  total é elevado ao quadrado.
• Sxy indica que cada x deve ser primeiro
  multiplicadopor seu correspondente y. Após
  obter todos os produtos, somamos.
• r coeficiente correlação linear para a
  amostra

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Exemplo 2 Idade vs Pressão

• Dados de idade e pressão sanguínea.
• Calculamos ?x, ?y, ?xy, ?x2 e ?y2.

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Exemplo 2 Cálculo de r

• Substituímos na fórmula e resolvemos para r
• r (647634)-(345819)/(620399)-3452(61124
  43)-81920.5.
• r 0.897 0.90 aprox.
• O coeficiente de correlação sugere um
  relacionamento forte positivo entre a idade e a
  pressão sanguínea.

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interpretação do r

• A correlação é 0.9
• Há um relacionamento positivo e forte
• entre idade e pressão sanguínea

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Propriedades de r

• 1. 1 r 1
• 2. Valor de r não muda se todos os valores de
  ambas variáveis mudam (são convertidos) para a
  diferentes escalas
• 3. Trocando todos os valores x e y não mudarão r
• 4. r mede a força de um relacionamento linear

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Erros Comuns sobre Correlação

• 1. Evite concluir que uma correlação entre
  duas variáveis implica em causalidade.
• 2. Nenhum relacionamento linear não implica
  nenhum relacionamento. Há uma possibilidade de
  um relacionamento não linear.

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Correlação
O que se pode dizer sobre a intensidade do
relacionamento entre x e y ?
A magnitude refere-se à força de associação entre
x e y. Por exemplo
Correlação Interpretação r 0.00
Não há relacionamento entre x e y r 0.20
Baixo, relacionamento entre x e y r
0.40 Moderado relacianamento entre x e y
r 0.70 Alto relacionamento entre x e y
r 1.00 Perfeita correspondência entre x e
y
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Correlação
Quanto à direção da relação entre x e y ?
A direção se refere ao como os altos e baixos
valores em x e y estão associados. Por exemplo
Positiva Negativa Nenhuma Correlação
Correlação Correlação r 1.0
r -1.0 r 0.00
y
y
y
x
x
x
20
Regressão
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Regressão

• Analisa o relacionamento entre uma dependente
  variável e uma independente variável.
• Tenta explicar o relacionamento por ajustar uma
  linha (relacionamento linear).
• É estabelecida uma equação Y a bx

independente
dependente
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Linha de Regressão e Equação de Regressão
Regressão equação Y a b.X
Variável Dependente (Y)
Inclinação b
Intercepto a
Variável Independente (X)
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Modelo Regressão Linear

• Uma linha reta que melhor ajusta ou descreve os
  dados é dada pela equação
• Y a bX
• a é o intercepto em Y (valor de Y quando X 0)
• b é a inclinação da linha (taxa de mudança)

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Exemplo 1 nº de Frangos vs Batata frita

• Predizer o consumo french fries em função do nº
  de frangos consumidos
• Jantar nº Frangos nº fries
• 1 1 15
• 2 3 30
• 3 7 40
• 4 2 29
• 5 4 35
• 6 3 32

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Exemplo 1 nº de Frangos vs Batata frita

• a 18,34
• b 3,55
• r 0,87

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Exemplo 2 RelacionamentoAltura e Teor da droga
das folhas
Y variável Dependente teor da droga X
variável Independente altura da folha
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Equação de Regressão
Pode-se predizer o teor da droga a partir da
posição da folha
teor da droga
posição da folha
variável Dependente
Independente
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Exemplo 2 Altura das folhas e o teor das drogas
X Altura (m) YDroga (mg/g folha
seca) 1.3 81 1.9 65 2.4 61 2.6 69 3.0 77 3.7
44 4.1 45 4.3 46 4.9 39 5.6 49 6.2 31 6.8 2
8 7.0 46 7.4 31 8.6 38
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Avaliação Gráfica Inicial
Fazemos um gráfico para garantir que não estamos
diante de algum relacionamento não linear
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É Importante Traçar o Diagrama de Dispersão
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Quarteto de Anscombe
Em todos os 4 casos Y 30,5X e rxy0,816
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Teor da droga versus Altura da folha
Exemplo 2
É razoável considerar linear
Droga ( mg/g)
Altura (m)
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Escolhendo a linha de melhor ajuste
Desvio do ponto à linha
34
Equação de Regressão
Exemplo 5
Teor (mg/g) 79,3 - 6,30 x Altura (m)
O sinal menos indica um negativo relacionamento
entre concentração da droga e altura. A figura
apresenta uma inclinação negativa
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Predizendo o teor da droga
Exemplo 2
Predizer a concentração da droga em uma folha
situada a uma altura de 5 m da árvore Teor
79,3 - 6,30 x Altura 79,3 - 6,30 x 5
79,3 - 31,5
47,8 Concentração Prevista da droga 47,8 mg/g
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Extrapolação
Exemplo 2
Predizer o teor da droga em uma folha colhida a
15 m da árvore Teor da droga 79,3 - 6,30 x
Altura 79,3 - 6,30 x 15
79,3 - 94,5
-15,2 mg/g !?!?! resultado sem sentido
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Interpolação versus Extrapolação
Exemplo 2
Extrapolação
Interpolação
Extrapolação
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Interpolação vs Extrapolação
A Interpolação, em geral, é muito segura. A
Extrapolação só é válida quando pode-se garantir
relacionamento linear além da região de
observação. Exemplo 2 (os teores seriam
negativos em qualquer folha acima de 12 m)
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Termos que devem ser familiares

• Correlação
• baixa
• moderada
• forte

• Regressão Linear
• inclinação
• interpolação
• extrapolação

• Diagrama de dispersão