Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten

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Zur Kommunikation von Wahrscheinlichkeiten

• Relative Häufigkeiten sind grundsätzlich leichter
  zu erfassen
• als Wahrscheinlichkeitsaussagen
• An 30 von 100 solchen Tagen wie morgen regnet
  es
• Von 100 Männern im Alter von 40, die
  Nichtraucher sind erleiden 3 in den nächsten 10
  Jahren einen Herzinfarkt
• In einem von 20 Fällen ist meine Prognose
  falsch
• 10 von 100 Lesern missfällt diese Werbung

Aber Wahrscheinlichkeiten sind keine relativen
Häufigkeiten
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Beispiel Lotto

• Beim Lotto ist die Wahrscheinlichkeit bei einem
  Spiel einen 6er zu bekommen

• Einmal in 13 Millionen Spielen
• Einmal in 268 000 Jahren
• Es ist wahrscheinlicher, den Tag der Ziehung
  nicht mehr zu
• erleben, als zu gewinnen
• Simulationsexperiment

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Zur Risikokommunikation
Es gibt drei Arten der Beschreibung von
Risiken für die Gesundheit

• Absolutes Risiko
• Relatives Risiko
• Anzahl der zusätzlich geschädigten Individuen

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Beispiel 2 Perinatale Sterblichkeit und
Reaktorunfall von Tschernobyl

• Körblein und Küchenhoff (1997)
• Sterblichkeit 1987 von 0.8 auf 0.836 erhöht
• Risiko um 4.5 erhöht (relatives Risiko 1.045)
• ca. 317 zusätzlich verstorbene Kinder in
  Deutschland

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Beispiel 3 Wirkung von Pravastatin
Menschen mit hohem Cholesterinspiegel können
das Risiko eines erstmaligem Herzinfarkts sehr
schnell um 22 Prozent vermindern, wenn sie einen
häufig angewandten Wirkstoff namens Pravastatin
einnehmen

• Reduktion der Todesfälle von 41 auf 32 pro 1000
  Patienten
• mit hohem Cholesterin 4.1 auf 3.2. Differenz
  0.9.
• Reduktion um 22 (relatives Risiko 0.78) 22
  werden gerettet
• Es müssen 111 Patienten behandelt werden, um
  ein Menschenleben
• zu retten

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Medizinische Tests
1000 Personen
10 Erkrankt
990 Gesund
980 Test N
9 Test P
1 Test N
10 Test P
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Beachte Die Bedingung entspricht der
Bezugspopulation Sensitivität 9 von 10 Kranken
werden als solche erkannt P(Test positiv
Patient krank) 9/10 Spezifität 980 von 990
Gesunden werden als solche erkannt P (Test
negativ Patient gesund) 98/99 Positiver
prädiktiver Wert 9 von 19 Test P sind krank P
(Patient krankTest positiv) 9/19 Prävalenz 1
von 100 Personen ist krank P (krank)
1/100 Bezugspopulation von zentraler Bedeutung
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Fehlspezifikationswahrscheinlichkeiten
(bedingte) Klassifikationswahrscheinlichkeiten
Diagnose Klassifikation wahrer Status positiv negativ
positiv negativ Sensitivität Empfindlichkeit P(TK) Spezifität Treffsicherheit P(T-K-)
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Krankheitswahrscheinlichkeiten im Diagnosetest
In der Praxis interessieren in der Regel die
Klassifikationswahrscheinlichkeiten weniger, wohl
aber die Frage, ob ein Test-positives Tier
wirklich krank ist, d.h. (bedingten)
Krankheitswahrscheinlichkeiten
Klassifikation Test Wahrheit (goldener Status) positiv negativ
positiv negativ positiver prädiktiver Wert P(KT) negativer prädiktiver Wert P(K-T-)
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Beispiel

• Sensitivität P(TK) 0.98
• Spezifität P(T-K-) 0.95
• Prävalenz P(K) 0.2

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein
positiv getestetes Tier wirklich krank ist
? Prädiktiver Wert ????
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Lösung durch hypothetische Population
1000
200 krank
800 gesund
196 positiv
4 negativ
40 positiv
760 negativ
Positiver prädiktiver Wert
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Theorie Satz von Bayes
Def.
Multiplikationssatz
Satz von Bayes
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Satz von Bayes Diagnosetests
Kennt man Sensitivität, Spezifität und Prävalenz,
so gilt für den positiven prädiktiven Wert
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Lösung durch Satz von Bayes

• Sensitivität P(TK) 0.98
• Spezifität P(T-K-) 0.95
• Prävalenz P(K) 0.2

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert
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Diagnosetests Beispiel II

• Sensitivität P(TK) 0.98
• Spezifität P(T-K-) 0.95
• Prävalenz P(K) 0.01

Dann gilt für den positiven prädiktiven Wert
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Lösung durch hypothetische Population
10 000
100 krank
9 900 gesund
98 positiv
2 negativ
495 positiv
9 405 negativ
Positiver prädiktiver Wert
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Diagnosetests Beispiel BSE ???

• Sensitivität P(TK) 0.99 (???)
• Spezifität P(T-K-) 0.99 (???)
• Prävalenz P(K) 0.001 (???)

Dann gilt für den postitiven prädiktiven
Wert P(KT) Übung
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Diagnosetests und (kleine) Prävalenzen
Wenn die Prävalenz gering ist,

• ist die (absolute) Anzahl falsch positiver
  Diagnosen hoch
• ist der positive prädiktive Wert gering

Achtung Bei der Bewertung von diagnostischen
Verfahren, falls die Prävalenz der Erkrankung
sehr klein ist (BSE, HIV, )
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Begriff der Zufallsgröße

• Ergebnisse von Zufallsexperimenten werden als
  Zahlen dargestellt
• Beispiele
• Punkte beim Werfen zweier Würfel
• Zeit beim Warten auf den Bus
• Ja 1 nein 0

Formal Abbildung
Im Beispiel
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Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

• Zur Charakterisierung von Zufallsgrößen benutzt
• man die Verteilungsfunktion. Sie ist für eine
• Zufallsgröße definiert als

Im Beispiel
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Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten
Zufallsgröße

• Zur Charakterisierung von diskreten Zufallsgrößen
  
• benutzt man die Wahrscheinlichkeitsfunktion.
• Sie ist definiert als
  .

Im Beispiel
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Erwartungswert und Varianz diskreter
Zufallsgrößen

• sei eine diskrete Zufallsgröße mit den
  möglichen
• Werten .
• Dann sind der Erwartungswert und die
  Varianz
• wie folgt definiert

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Beispiel Einfacher Würfel
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Erwartungswert von linear transformierten
Zufallsgrößen

• Für eine Zufallsvariable gilt (mit beliebigen
  Konstanten
• a und b)

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Binomialverteilung Idee
Betrachtet wird ein Bestand mit

• insgesamt N Tieren
• davon sind M erkrankt
• und (N-M) nicht erkrankt

Frage Wenn man aus diesem Bestand zufällig n
Tiere auswählt (mit Zurücklegen), wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass hiervon m Tiere
erkrankt sind?
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Binomialverteilung Formal
ist Zufallsvariable mit möglichen Realisierungen
Dann gilt
Frage
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Binomialverteilung Definition
Die Zufallsvariable der Summe aus n unabhängigen
0-1-Variablen , heißt
binomial-verteilt mit Parametern n und P, kurz
XBin(n, P)
Es gilt
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Binomialkoeffizient Definition
Die Größe
heißt Binomialkoeffizient.
Beispiel
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Binomialverteilung Anwendungen
Die Binomialverteilung kann stets angewendet
werden, wenn dichotome bzw. binäre, d.h. nomial
skalierte Merkmale mit nur zwei
Merkmalsausprägungen vorliegen

• krank vs. gesund
• schwarzbunt vs. braun
• Niedersachsen vs. Bayern
• Grenzwert überschritten vs. unterschritten
• Versuch war erfolgreich vs. nicht erfolgreich

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Binomialverteilung Beispiel

• Hormonuntersuchung bei Kälbern

Wahrscheinlichkeit für Antibiotika positiv P
1/10 gezogene Stichprobe
n 5
etc.
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Binomialverteilung Eigenschaften

• Anzahl der erwarteten erkrankten Tiere
• E(X) n P
• Beispiel E(X) 5 0.1 0.5
• Varianz
• Var(X) n P (1-P)
• Beispiel Var(X) 5 0.1 0.9 0.45

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Weitere diskrete Verteilungen

• hypergeometrische Verteilung
• wenn die Auswahl ohne Zurücklegen erfolgt
  und die
• Gesamtheiten klein sind
• Poisson-Verteilung
• wenn die Ereignisse sehr selten sind