UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Microeconomía Superior II
• Optimización (2)
• Rafael Salas
• marzo de 2006

2
Dos problemas equivalentes
Empresa
Empresa y mercado
Estática comparativa
Optimización
Producción
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Problema dual (primera etapa)

• Elegimos un nivel de productoY
• Tomamos como dados los precios de los inputs w
  (y del output P)
• Maximizamos beneficios...
• ...minimizando los costes

4
Definimos la isocoste

• Dado un vector de precios w...
• éste es el conjunto de puntos z en el espacio de
  los inputs...
• ...que consiguen un nivel de costes de los
  factores C determinado.
• Forman un hiperplano (línea recta)...
• C?wizi

5
Líneas isocostes
Coste creciente
Usamos ésto para derivar el óptimo
6
Minimización de costes
z2
Qué condiciones cumple z?

z
z1
7
Dados los inputs i y j ...
RMST
Qué sucede si alteramos la tecnología? En la
práctica
Obtenemos la misma CPO (condición de tangencia)
que con el problema primal
8
La solución general...

• obtenemos los valores de los inputs que
  minimizan el coste para cada input...
• ...a través de los multiplicadores de Lagrange...
• ...y, por supuesto, el valor del coste mínimo.
• Ambos valores pueden escribirse como funciones
  de los precios (w) y del output (Y).

Veamos...
9
Las funciones de demanda de factores condicionada
z1 z1c (Y,w1 ,...,wm ) ... ...
... zm zmc (Y,w1 ,...,wm )
ü ý þ
Nivel de producto especificado
vector de precios de los inputs
10
Las funciones de demanda condicionada de factores

• La f. de demanda condicionada de factores es no
  creciente en sus precios
• Homogéneas de grado 0 en w

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Las funciones de costes
Si introducimos z1c (Y,w1 ,w2 ) y z2c (Y,w1 ,w2 )
en la definición de los costes obtenemos la
función de costes C (Y,w1 ,w2 ) w1z1c (Y,w1
,w2 ) w2 z2c (Y,w1 ,w2 ) Indica el mínimo
coste obtenible, dados los precios de los
factores y un nivel de producto (es análoga a la
f. de gasto en el problema dual del consumidor)
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La función de costes
min S wi zi
C(w, Y)
G(z) ³Y
vector de precios de los inputs
Nivel de producto especificado
13
La función de costes va a ser un concepto útil

• Dado que es una función de óptimo...
• ...tiene propiedades interesantes.
• Lo cual es cierto para todas las funciones de
  producción F.
• Como veremos en aplicaciones a lo largo del curso

Veamos...
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La f. de costes es no decreciente en wi
C
C(w, Y)
wi
15
La f. de costes es creciente en Y
C
C(w, Y)
wi
16
La f. de costes es cóncava en precios
C
B
D
A
w1
17
La f. de costes es homogénea de grado 1 en w
C(tw,Y) t Siwi zi tC(w,Y)
z2
z1
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Lema de Shephard
Pendiente z1
C
wi
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Práctica

• Deriva la demanda condicionada de factores y la
  función de costes de
• Y z11/2 z2 1/2
• Y (z11/2 z2 1/2)2
• Y L1/2 K 1/2, K25
• Comprueba el lema de Shepard
• Deriva la demanda condicionada de factores dada
  la función de costes siguiente
• C A w1a w2 b Y

.
20
Práctica

• Calcule las funciones de costes correspondientes
  a
• Ya z1 b z2
• Ymin(z1/a , z2/b)
• Y a z1 2 b z2 2
• donde a y b gt 0
• Cuidado con los casos no difereciables y con el
  último caso!
• Indique los rendimientos a escala que poseen a
  partir de la función de costes.

.
21
Problema dual (segunda etapa)

• Una vez resuelto el problema de minimización de
  costes
• Tomamos el precio del output P como dado.
• Usamos la función de costes C(w,Y) para plantear
  la maximización del beneficio.
• Derivamos de esta forma Y que maximiza
  beneficios...
• Derivamos de nuevo la oferta de producto y la
  demanda de factores

PPY- C(w,Y)
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Maximización de beneficios oferta de producto

• Solución
• ? P/ ? Y 0 ? P ?C(w,Y)/?Y
• ? P Cmg Y

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Maximización de beneficios demanda de factores

• Solución
• ? P / ? z1 0 ? P ?Y/?z1 w1
• ? P / ? z2 0 ? P ?Y/?z2 w2
• ? P Pmg z1 w1
• ? P Pmg z2 w2

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Las funciones de oferta de producto y demanda de
factores
P dC (w, Y)/dY
Precio igual al coste marginal
Se deduce la oferta de producto Ys (w,P)
P dY/dz1w1
Valor de la productividad igual al precio del
factor
Se deduce la demanda de factores z1d (w,P)
25
Práctica

• Deriva la oferta de producto y la demanda de
  factores, a partir de las funciones de costes,
  de
• Y z11/2 z2 1/2
• Y (z11/2 z2 1/2)2
• Y L1/2 K 1/2, K25

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