UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

1
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Soluciones de juegos
• conceptos de dominación
• Rafael Salas
• marzo de 2005

2
Soluciones de los juegos

• Se trata de predecir lo que los jugadores
  racionales van a hacer, descentralizadamente
• Proceso de optimización
• Compatibilidad entre estrategias
• SOLUCIÓN DE UN JUEGO perfiles de estrategias
  óptimos y compatibles

3
Tipos de soluciones

• Los basados en principios de dominación
• Los basados en conceptos de equilibrio
• Existen conexiones entre ambos tipos de solución

4
Principios de dominación I

• (I) Principio de dominancia estricta
• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente
  dominadas
• NOTACIÓN PREVIA
• Dado un juego G1,...,n S1,...,Sn
  U1,...,Un.
• Dado un perfil de estrategias s(s1,...,sn) ?
  SS1xS2x...xSn
• donde s1?S1,..., sn?Sn
• Simplificadamente denominamos s(si,s-i) ? S
• Nótese que s-i(s1,...,si-1, si1 ,...,sn) ? S-i

5
Estrategias estrictamente dominadas

• DEFINICIÓN
• Dado un juego G1,...,n S1,...,Sn
  U1,...,Un.
• si es una estrategia estrictamente dominada para
  el jugador i si existe otra si tal que
• Ui(si,s-i) gt Ui(si,s-i), ?s-i ?S-i
• Es razonable que no use si, pues puede aumentar
  su utilidad independientemente de lo que haga el
  resto

6
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CO
2
4
CA
2
0
JUG 1
0
1
CO
1
4
En rojo, estrategias estrictamente dominadas
.
7
Estrategias estrictamente dominante

• DEFINICIÓN
• Dado un juego G1,...,n S1,...,Sn
  U1,...,Un.
• si es una estrategia estrictamente dominante
  para el jugador i si
• Ui(si,s-i) gt Ui(si,s-i), ?si ? si ?Si ?s-i ?S-i
• Nos da paso a una primera solución...

8
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CO
2
4
CA
2
0
JUG 1
0
1
CO
1
4
En azul, estrategias estrictamente dominantes
.
9
Equilibrio en estrategias estrictamente
dominantes EEED

• SOLUCIÓN Equilibrio en estrategias estrictamente
  dominantes EEED
• (si,s-i) es un EEED si y sólo si
• Ui(si,s-i) gt Ui(si,s-i), ?si ? si ?Si, ?s-i
  ?S-i, ?i
• Es decir si y sólo si (si,s-i) son estrategias
  estrictamente dominantes

10
4. Dilema de los presos
JUG 2
CA
CO
2
4
CA
2
0
JUG 1
0
1
CO
1
4
.
11
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
B
1000 , 1000
-200 , 1200
A
JUG 1
600 , 600
1200 , -200
B
.
12
4bis. Oligopolio
JUG 2
A
B
1000
1200
A
1000
-200
JUG 1
-200
600
B
600
1200
.
13
Ejemplo 5 Halcón-paloma
JUG 2
H
P
2-k
0
2-k
H
4
JUG 1
4
2
P
0
2
Para klt2
.
14
Ejemplo 9 Empresas rivales
JUG 2
L
NL
40
-50
40
L
100
JUG 1
100
-50
NL
-50
-50
.
15
Propiedades del EEED

• Si existe, es único
• Puede que no exista
• Ejemplo 5 con k ? 2
• Ejemplo10 Jugador 1 tiene dos estrategias puras
  s1, s2 y el jugador 2 tiene tres t1, t2, t3.
  Si U1(si, tj) ij y
  U2(si, tj) (i-2)(j-2) Binmore, p. 131
• Si existe es muy potente, requiere muy poca
  información. Por contrapartida es muy restrictivo

16
Principios de dominación II

• (II) Principio de dominancia débil
• Un jugador nunca juega estrategias débil
  dominadas

17
Estrategias débilmente dominadas

• DEFINICIÓN
• Dado un juego G1,...,n S1,...,Sn
  U1,...,Un.
• si es una estrategia débilmente dominada para el
  jugador i si existe otra si tal que
• Ui(si,s-i) ? Ui(si,s-i), ?s-i ?S-i
• En ese caso decimos que si domina débilmente a
  si
• El jugador no usará si

18
Estrategias débilmente dominante

• DEFINICIÓN
• Dado un juego G1,...,n S1,...,Sn
  U1,...,Un.
• si es una estrategia débil dominante para el
  jugador i si
• Ui(si,s-i) ? Ui(si,s-i), ?si ?Si ?s-i ?S-i
• Nos da paso a una nueva solución...

19
Equilibrio en estrategias débilmente dominantes
EEDD

• SOLUCIÓN Equilibrio en estrategias débilmente
  dominantes EEDD
• (si,s-i) es un EEDD si y sólo si
• Ui(si,s-i) Ui(si,s-i), ?si ? si ?Si, ?s-i
  ?S-i, ?i
• Es decir si y sólo si (si,s-i) son estrategias
  débilmente dominantes

20
Ejemplo 11 EEDD múltiple
JUG 2
L
R
1
1
1
L
0
JUG 1
0
0
R
1
0
.
21
Propiedades del EEDD

• De existir, puede ser múltiple (Ejemplo 11)
• Puede que no exista
• Ejemplo 5 con k gt 2
• Ejemplo 10 ampliado a más estrategias
• Ejemplo 1 Batalla de los sexos
• Ejemplo 2 Juego de las monedas
• Ejemplo 3
• Sigue siendo muy restrictivo y por tanto
  impreciso (aunque menos que EEED).
• EEED (si existe) implica EEDD (Ejemplo4, 5 klt2,
  9)
• EEDD (si existe) no implica EEED (Ejemplo 10)
• No obstante, requiere muy poca información.

22
Principios de dominación III

• (III) Principio de eliminación iterativa estricta
• Un jugador nunca juega estrategias estrictamente
  dominadas
• Todos los jugadores lo saben
• Se pueden eliminar
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más
  general que el EEED, pero con una racionalidad
  aceptable...

23
Solución

• Equilibrio por eliminación iterativa de
  estrategias estrictamente dominadas EEIEED
• El orden de eliminación no influye en el
  resultado
• Si existe, es único
• Es más general que EEED, pero no que EEDD

24
Ejemplo 12 no EEED ni EEDD, pero si EEIEED
JUG 2
I
C
D
0
2
1
1
A
1
0
JUG 1
3
1
0
B
0
0
2
.
25
Ejemplo 13 no EEED ni EEDD, pero si EEIEED
JUG 2
I
D
2
100
A
0
4
JUG 1
40
0
B
8
20
.
26
4. Dilema de los presos EEED y EEIEED
JUG 2
CA
CO
2
4
CA
2
0
JUG 1
0
1
CO
1
4
.
27
Ejemplo 10 EEDD y no EEIEED
JUG 2
t1
t2
t3
1
0
-1
1
s1
2
3
JUG 1
0
0
0
s2
4
2
6
.
28
Principios de dominación IV

• (IV) Principio de eliminación iterativa débil
• Un jugador nunca juega estrategias débilmente
  dominadas
• Todos los jugadores lo saben
• Se pueden eliminar (todas las existentes en cada
  fase)
• Da lugar a un nuevo concepto de equilibrio más
  general todos los anteriores, pero con una
  racionalidad dudosa...

29
Solución

• Equilibrio por eliminación iterativa de
  estrategias débilmente dominadas EEIEDD
• El orden de eliminación si influye en el
  resultado (para evitarlo quitamos todas las
  estrategias débilmente dominadas en cada fase)
• Puede ser múltiple
• Es más general que EEED, EEDD y que EEIEED

30
Ejemplo 14 no EEED ni EEDD, ni EEIEED, pero si
EEIEDD
JUG 2
A
B
5
4
A
2
3
JUG 1
3
3
B
0
3
.
31
Práctica soluciona el siguiente ejemplo 15 con
los conceptos de equilibrio vistos.
JUG 1
H
T
O
1
-1
3
-1
H
1
1
JUG 2
-1
1
2
T
-1
1
1
.
32
Práctica soluciona el siguiente ejemplo 16 con
los conceptos de equilibrio vistos.
JUG 2
I
M
D
0
1
-2
10
U
5
4
JUG 1
1
0
-1
D
5
10
1
.
33
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Soluciones de juegos
• conceptos de dominación
• Rafael Salas
• marzo de 2005