UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Departamento de Fundamentos del An

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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRIDDepartamento de
Fundamentos del Análisis Económico I

• Teoría de juegos
• Juegos dinámicos con información incompleta
• Rafael Salas
• mayo de 2004

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Juegos dinámicos con información incompleta

• Hemos visto juegos estáticos con información
  completa.
• Vamos a continuar analizando juegos dinámicos con
  información incompleta. Aparece una complejidad
  añadida. Tenemos que incorporar la racionalidad
  secuencial (o la exclusión de amenazas no
  creíbles en los juegos bayesianos).
• Selten (1975) propone una solución de tales
  juegos mediante el equilibrio bayesiano perfecto
  EBP para ello tenemos que hacer unos supuestos
  bajo los cuales los jugadores establezcan
  creencias sobre por qué nodo va a pasar el juego
  y que luego esas creencias, y las mejores
  respuestas de acuerdo a ellas, sean consistentes.
  Este concepto de equilibrio lo utilizaremos para
  resolver juegos de señalización.

3
Juegos dinámicos con información incompleta

• EL EBP refina el concepto de ENB con esa idea de
  racionalidad secuencial. No obstante, no refina
  el concepto de ENPS. Para conseguirlo Fundenberg
  y Tirole (1991) proponen un refinamiento aún
  mayor, el equilibrio bayesiano perfecto en
  subjuegos EBPS, que refina todos los conceptos
  anteriores
• ENPS
• EBPS
  EN
• EBP ENB

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Juegos dinámicos con información incompleta

• En el EBPS los jugadores establecen creencias y
  restricciones sobre todos los C.I. por los que
  puede pasar el juego. El EBN sólo impone
  restricciones sobre los C.I. (y sus nodos) en la
  trayectoria de equilibrio.
• El EBPS es algo más restrictivo que el EBP, pues
  impone restricciones sobre todas las posibles
  trayectorias y no sólo sobre los nodos sobre los
  que pasa la trayectoria de equilibrio.

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Juegos dinámicos con información incompleta

• Esquema
• A. EBP Selten (1975)
• B. EBPS Fundenberg y Tirole (1991)
• C. Juego de señalización
• Existen otros refinamientos adicionales como el
  equilibrio secuencial ES (Kreps y Wilson 1982)
  que no veremos...

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Equilibrio bayesiano perfecto

• Un conjunto de estrategias que
• (1) Son mejores respuestas dadas unas creencias o
  conjeturas en cada nodo dentro de cada conjunto
  de información. Para ello se supone que los
  individuos establecen creencias sobre todos los
  nodos de cada C.I.
• (2) Además las creencias tienen que ser
  consistentes con las estrategias óptimas, ex
  post, de acuerdo con la regla de Bayes.

7
Ejemplo

1
A
L
2
D
(2,0,0)
I
3
3
I
I
D
D
(1,2,1)
(3,3,3)
(0,1,2)
(0,1,1)
8
Ejemplo Existen 4 equilibrios de Nash

L
A
I I
I D
D I
D D
Comprueba que sólo existe un ENPS
9
y EBP?
Establecemos creencias (?(x), ?(y)) sobre los dos
nodos (x, y) del único C.I. con más de un nodo
del juego

1
A
L
2
D
?(y)
?(x)
(2,0,0)
I
3
3
y
x
I
I
D
D
(1,2,1)
(3,3,3)
(0,1,2)
(0,1,1)
10
Equilibrio bayesiano perfecto

• Un conjunto de estrategias condicionadas a cada
  C.I. y un sistema de creencias sobre cada nodo de
  todo C.I. tales que
• (1) Las estrategias son óptimas (mejores
  respuestas) en cada C.I. dada el sistema de
  creencias
• ?x?H Ui(si, s-i) ?(x) ? ?x?H Ui(si, s-i) ?(x)
• para todo i , ? si?Si ?x?H y ?H (?C.I.)
• (2) Además las creencias tienen que ser
  consistentes con las estrategias de equilibrio
  ?(x) ?(x?s) / ?(H?s)
• La probabilidad condicionada de alcanzar x si se
  alcanza H.
• Impone sólo restricciones en los C.I en las
  trayectorias de equilibrio, donde ?(H?s)gt0

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EBP
La trayectoria de equilibrio pasa por x o por
y Si pasa por x, la consistencia impone ?(x)1
en cuyo caso tenemos un EBP (A,I, D ?(x)1,
?(y)0)

1
?
A
L
?
2
?
D
?(y)0
?(x)1
(2,0,0)
I
?
?
3
3
y
x
I
I
D
D
?
?
?
?
(1,2,1)
(3,3,3)
(0,1,2)
(0,1,1)
12
EBP
Como el EBP no impone restricciones sobre los
C.I. fuera de la trayectoria de equilibrio,
existe otro EBP en este caso Si ?(y)1, tenemos
otro EBP (L,I, I ?(x)0, ?(y)1)

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Refinamientos

• 1. Comprueba cómo EBP ? EN
• 2. Comprueba cómo EBN no implica ENPS
• 3. El EBPS, que si impone restricciones sobre
  las creencias fuera de las trayectorias de
  equilibrio, refina el concepto de ENPS (y
  obviamente el de EBP).
• El EBPS es un EBP en todo los subjuegos, con lo
  cual las creencias tienen que ser consistentes
  con la regla de Bayes en todos los subjuegos
  (fuera o en la trayectoria de equilibrio).

14
Práctica

• Calcula los EN, EBP y ENPS de

1
?
e
C
?
3
E
F
?
?
2
2
y
x
?
(0,3,1)
L
L
A
A
?
?
?
?
(-1,-1,0)
(2,1,2)
(-1,-1,0)
(1,1,0)
.
15
Juegos de señalización

• Siguiente juego dinámico con información
  incompleta
• 2 jugadores uno con información privada y el
  otro, no.
• 2 etapas Primero mueve el jugador 1 informado,
  que envía una señal y después recibe la respuesta
  del otro.
• La acción del jugador 1 es una señal para el
  jugador 2, que puede creérsela o no. Se trata de
  encontrar el EBP.
• Existen dos tipos de soluciones
• Equilibrio separador si la señal revela el tipo
  de jugador 1
• Equilibrio agrupador si la señal no lo revela

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Formalización

• El jugador 1 es de dos tipos (generalizable a N)
  
• T1t1,t2 con unas probabilidades ?(t1) y
  ?(t2)
• El jugador 1 posee un conjunto de acciones (o
  señales). Suponemos que son 2
• Aa1,a2
• El jugador 2 posee un conjunto de acciones (o
  respuestas). Suponemos que son 2
• Bb1,b2
• Aunque se pueden genaralizar a más acciones.

17
Formalización

• Estrategias puras Como en cualquier juego es un
  plan de acciones completo (una acción para cada
  conjunto de información).
• Para verlas representamos el juego en forma
  extensiva...

18
Forma extensiva

19
Estrategias puras

• Jugador 1 posee 2 C.I. uninodales, tantos como
  tipos de jugador que es (información completa) y
  4 estartegias puras
• ?a1(t1), a1(t2)?
• ?a1(t1), a2(t2)?
• ?a2(t1), a1(t2)?
• ?a2(t1), a2(t2)?
• Jugador 2 posee 2 C.I., tantos como señales del
  1, con dos nodos cada uno que definan 4
  estartegias puras
• ?b1(a1), b1(a2)?
• ?b1(a1), b2(a2)?
• ?b2(a1), a1(a2)?
• ?b2(a1), b2(a2)?

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Creencias

• El jugador 2 establece las siguientes creencias
• p ?(t1?a2) 1- p ?(t2?a2) q
  ?(t1?a1) 1- q ?(t2?a1)

b1
(2,1)
b1
q
2
1
p
2
(1,3)
a1
a2
?
?
?
(0,0)
b2
t1
(4,0)
b2
?(t1)1/2
?
N
?(t2)1/2
t2
(2,1)
b1
b1
(2,4)
?
?
?
a2
a1
(1,2)
2
1
2
b2
(0,1)
1-p
1-q
b2
21
Juegos de señalización

• Hay que encontrar el EBP del juego
• ?a(tj), b(ai), ?(tj?ai)? ? t1,t2?T y ?
  a1,a2?A tales que
• El jugador 1 maximiza su utilidad
• U1(a(tj), b(ai), tj) ? U1(a(tj), b(ai), tj),
  ? t1,t2?T
• El jugador 2 maximiza su utilidad esperada,
  después de observar la señal de 1 y dadas sus
  creencias
• U2(a(t1), b(ai), t1) ?(t1?ai) U2(a(t1),
  b(ai), t2) ?(t2?ai)
• ? U2(a(t1), b(ai), t1) ?(t1?ai) U2(a(t1),
  b(ai), t2) ?(t2?ai)
  
  
• ? a1,a2?A

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Juegos de señalización

• Veámoslo con el ejemplo. Antes veamos que hay dos
  equilibrios posibles
• Equilibrios separador cuando el jugador 1 envía
  distintos mensajes para cada tipo, con lo cual se
  revela su tipo. Son
• ?a1(t1), a2(t2)? y ?a2(t1), a1(t2)?
• Equilibrios agrupador cuando el jugador 1 no
  envía el mismo mensaje para cada tipo, con lo
  cual no se revela su tipo. Son
• ?a1(t1), a1(t2)? y ?a2(t1), a2(t2)?

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Juegos de señalización

• Equilibrios agrupadores (pooling eq.) posibles
• ?a1(t1), a1(t2)? ?q1/2 p?(0,?) puede ser
  cualquiera pues está fuera de
  la trayectoria de equilibrio
• M.R. Jug 2 b2(a1) si q1/2
• b1(a2), ? p
• M.R. Jug 1 a ello ? a2(t1), a2(t2)? No es EBP
  (no hay compatibilidad)

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Juegos de señalización

• Equilibrio agrupador
• ?a2(t1), a2(t2)? ?p1/2 q?(0,?) puede ser
  cualquiera pues está fuera de
  la trayectoria de equilibrio
• M.R. Jug 2 b1(a1) si q ? 2/3 b2(a1) si q ? 2/3
• b1(a2), ? p
• M.R. Jug 1 a ello ?a1(t1), a2(t2)? si q ? 2/3
  ?a2(t1), a2(t2)? si q ? 2/3
• Encontramos el siguiente EBP si q ? 2/3
• ?a2(t1), a2(t2)? ?b2(a1), b1(a2) p1/2 q ?
  2/3?

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Juegos de señalización

• Equilibrios separadores (separating eq.)
  posibles
• ?a1(t1), a2(t2)? ?q1 p0
• M.R. Jug 2 b1(a1) si q1
• b1(a2), si p0
• M.R. Jug 1 a ello ?a1(t1), a2(t2)? ? EBP
• Formalmente
• ?a1(t1), a2(t2)? ?b1(a1), b1(a2)? p0 q 1

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Juegos de señalización

• Equilibrio separador
• ?a2(t1), a1(t2)? ?q0 p1
• M.R. Jug 2 b2(a1) si q0
• b1(a2), si p1
• M.R. Jug 1 a ello ?a2(t1), a2(t2)? ? No es
  EBP(no hay compatibilidad)
• Hay dos EBP en total uno separador y otro
  agrupador.

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Práctica

• (1) Un empresario pide un crédito a un banco,
  para financiar un proyecto de inversión. Existen
  empresarios con proyectos con rendimientos altos
  A y bajos B con p(A)1/4 y p(B)3/4. Los
  proyectos con rendimientos B se aceptan por parte
  del banco, con bajos costes administrativos. Los
  otros pueden rechazarse con mayores costes
  administrativos

a
(2,2)
2
1
2
aA
aB
a
?
?
?
(1,1)
(0,0)
r
A

?(A)1/4
?
N
?(B)3/4
B
(-1,-1)
a
?
(1,1)
?
?
aB
aA
(0,0)
2
1
a
2
r
.
28
Práctica (2)

• El jugador 1 es de dos tipost1 blando, t2
  duro con unas probabilidades ?(blando)
  ?(duro) 1/2

D
(0,1)
D
q
2
1
p
2
(1,1)
whisky
leche
?
?
?
(2,0)
ND
t1
(3,0)
ND
?(t1)1/2
?
N
?(t2)1/2
t2
(1,-1)
D
D
(0,-1)
?
?
?
leche
whisky
(3,0)
2
1
2
ND
(2,0)
1-p
1-q
ND
29
Práctica
(3) Modelo de Spence (1973) Una empresa
demanda trabajo de dos tipos con diferente
productividad (?A , ?B). El tipo de trabajador es
información exclusiva de los trabajadores. La
probabilidad de que un trabajador sea de un tipo
u otro es de conocimiento común. También es de
dominio público que que el trabajador con ?A
tiene ventajas comparativas en adquirir un nivel
de educación e ? (0,?). Los costes de adquirir
educación son ci(e)cie, ?iA,B, cAlt
cB Los trabajadores ofrecen un contrato (w,e),
que la empresa acepta o rechaza, según sean sus
beneficios positivos o negativos. La función de
producción de la empresa es Yi ?i ?iA,B, ? A
gt ? B
.
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Esquema
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