Quadrados M

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Quadrados Mínimos
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Situação

• Em diversas ciências com uma dimensão
  experimental, é necessário modelizar os fenômenos
  a partir de tabelas de dados experimentais.
• A modelização consista em inúmeros casos em
  procurar a função que expressa melhor a relação
  entre os dados.

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Problema

• O objetivo do método de mínimos quadrados é
  determinar uma função, a partir de combinação
  linear de funções simples, que aproxima um
  conjunto de pontos.
• Existem métodos polinomiais (aproximação com
  polinômio), mas elas não sempre fornecem
  aproximações aceitáveis. O método de mínimos
  quadrados permite estender as aproximações com
  funções não polinomiais.

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Exemplo 1
Esse conjunto de pontos aparece como uma parabola.
5
Exemplo 2
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Caso discreto

• A partir de uma tabela de valores (discretas),
  que representam vários pontos de uma função
  teórica (f(x)), tentamos determinar uma função
  j(x) combinação linear de funções gi(x)
  (j(x)a1g1(x)...angn(x)) de tal forma que o
  desvio de j - f seja mínimo para os valores da
  tabela.
• O que significa mínimo nesse caso?

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Caso contínuo

• No caso contínuo, dada uma função f(x) contínua
  no intervalo a,b e escolhidas as funções g1(x),
  .., gn(x), o objetivo é determinar constantes a1,
  ..., an de tal forma que j(x)a1g1(x)...angn(x)
  se aproxima ao maximo de f(x) no intervalo a,b.
• O que significa aproximar nesse caso?

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Considerando um conjunto de valores (x1,f(x1)),
  ..., (xm,f(xm)) e n (com nm) funções gn(x), o
  objetivo é encontrar um conjunto de coeficientes
  a1, .., an de tal forma que a função
  j(x)a1g1(x)..angn(x) se aproxima ao máximo de
  f(x).
• O criterio para decidir da aproximação é
  minimizar a soma dos quadrados da diferencia
  entre as duas funções nos xi ou seja minimizar

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Minimizar é minimizar a
  função
• Para minimizar essa função F, devemos encontrar
  os pontos críticos da função, ou seja os valores
  (a1,...,an) tal que

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Elemento de calculo
• Para derivar, considerando os termos com ai

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Elemento de calculo

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Com a condição
• obtemos assim o sistema a resolver

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• As equações desse sistema são chamadas equações
  normais. Ele pode ser escrito
• Onde e
• A matriz desse sistema é simétrica.

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Considerando os vetores
  e e o produto escalar de dois
  vetores
• Os coeficientes aij podem ser escritos
• e bi
• Demontra-se que se as funções g1(x),...,gn(x)
  forem tais que os vetores sejam
  linearmente independentes, o sistema admite uma
  solução única. Demonstra-se também que esta
  solução é o ponto em que a função F atinge seu
  valor mínimo.

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Método dos quadrados mínimos

• Caso discreto
• Se os vetores tiverem a propriedade suplementar
  seguinte , nesse caso os vetores
• são ortogonais entre si e a matriz A do
  sistema é diagonal.
• Exemplo de funções ortogonais seria de Fourier
  (aproximação de funções periódicas), polinômios
  de Legendre, Gram, Chebyshev.

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Método dos quadrados mínimos

• Caso contínuo
• Para aproximar uma função em um intervalo a,b
  com j uma combinação linear de funções
  (g1,...,gn) de coeficientes (a1,...,an), o método
  de quadrados mínimos propõe de minimizar a área
  entre as curvas das duas funções, ou seja
  minimizar

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Método dos quadrados mínimos

• Caso contínuo
• Aplicando o mesmo princípio que no caso discreto,
  trata-se de minimizar a função
• Obtemos um sistema de equações lineares
• Aab, onde A(aij), a(a1,...,an) e
  b(b1,...,bn).
• aijltgi,gjgt e biltf,gigt com

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Método dos quadrados mínimos

• Caso não linear
• Existem casos que precisam ser aproximados por
  funções que não são resultados de combinação
  linear de funções simples.
• Por exemplo, podemos precisar de aproximar uma
  função com

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Método dos quadrados mínimos

• Caso não linear
• Para resolver o caso não linear, é necessário
  linear a função escolhida para a aproximação.
• No caso de , se queremos aproximar f(x)
  com essa função, podemos tentar aproximar
  ln(f(x)) com , ou seja
  , que é um caso linear.
• É importante notar que os parâmetros obtidos não
  são ótimos em relação com o critério de quadrados
  mínimos.

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Método dos quadrados mínimos

• Teste de alinhamento
• Uma vez a função não linear em a1,..,an
  escolhida, para testar se ela é um bom escolhe
  podemos
• Linearizar essa função,
• Fazer o diagramo de dispersão dos novos dados
• E observar se os pontos do diagramo estiverem
  alinhados.

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Exercício

• A tabela abaixo mostra as alturas e pesos de uma
  amostra de nove homens entre as idades de 25 e 29
  anos, extraída ao acaso entre funcionários de uma
  grande indústria
• Faça o diagrama de dispersão dosdados e observer
  que parece existir uma relação linear entre a
  altura e o peso.
• Ajuste a reta que descreva o comportamento do
  peso em função da altura, isto é pesof(altura),
  e ajuste a reta que descreva o comportamento da
  altura em função do peso, isto é alturaf(peso).
• Estime o peso de um funcionário com 175 cm de
  altura e estima a altura de um funcionário com
  80kg com cada uma das duas equações.

Altura 183 173 168 188 158 163 193 163 178 cm
Peso 79 69 70 81 61 63 79 71 73 kg
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Solução

• b) 52.7570x-20.0780 e 0.01590.6029
• c) Com o primeiro ajuste 1.75-gt72.2467 e
  80kg-gt1.897
• Com o segundo ajuste 1.75-gt72.14 e 80kg-gt1.871

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Exercício

• Ajuste os dados
• Usando a aproximação y1/(a0a1x). Faça o gráfico
  para 1/y e verifique que esta aproximação é
  viável
• Idem para yabx
• Compare os resultados

x -8 -6 -4 -2 0 2 4
y 30 10 9 6 5 4 4
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Solução

• y1/(0.19580.0185x)
• y5.5199(0.8597)x