Explorando os quadrados m

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Explorando os quadrados mágicos (3x3)

• Didática da Matemática
• Prof. Ilydio Pereira de Sá

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• DESAFIO
• Usando apenas os números de 1 a 9, complete o
  quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na
  horizontal, na vertical e na diagonal) sejam
  iguais a 15.

Não olhe a solução antes de tentar resolver ...
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Usando apenas os números de 1 a 9, complete o
quadrado abaixo, de forma que todas as somas (na
horizontal, na vertical e na diagonal) sejam
iguais a 15.
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4
9
2
4
9
5
3
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5
3
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8
8
1
6
1
6
1º) 15 3 5
2º) 5 3 2
2 ? 4
4
FAÇA ESSE AGORA Usando apenas os números de 3 a
11, complete o quadrado abaixo, de forma que
todas as somas (na horizontal, na vertical e na
diagonal) sejam iguais a 21.
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6
11
4
6
11
7
5
9
7
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10
10
3
8
1º) 21 3 7
2º) 7 3 4
4 ? 6
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JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA
O termo central do quadrado mágico de ordem 3 é
sempre igual à terça parte da soma mágica, ou
seja, se designarmos por x o termo central e por
S o valor da soma mágica, sempre teremos x S/3.
VEJAMOS
Inicialmente, chamamos a atenção para o fato de
que a soma dos dois números extremos de qualquer
fila (horizontal, diagonal ou vertical) é sempre
igual à S x, veja um exemplo Na segunda fila
horizontal temos D x E S, logo D E S
x
A B C
D x E
F G H
Vamos somar os termos de duas linhas paralelas,
por exemplo, a primeira e a terceira. Teremos
A B C S F G H S
Somando os dois membros dessas igualdades,
teremos
A F B G C H 2S
6
A F B G C H 2S
(A H) (F C) (B G) 2S
Acontece que, como vimos anteriormente, essas
somas obtidas (A H), ( (F C) e (B G) são
todas iguais a S x. Logo, teremos
(S x) (S x) (S x) 2S Ou ainda 3. (S
x) 2S, ou 3 S 3x 2S, o que acarreta 3S
2S 3x, ou ainda 3x S e, para finalizar x S
/ 3
Analogamente, você poderia provar que, em
qualquer quadrado mágico de ordem ímpar e igual a
k (k x k), o termo central deverá ser igual a S /
k.