Presentaci

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ICI-I PRODUCCIONES
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Introducción
Ahora en calculo II vamos a encontrar una
diferencia de lo que habíamos visto tanto en
introducción al calculo como en calculo I, la
diferencia es que siempre habíamos trabajado en
un plano bidimensional, y ahora en calculo II nos
encontramos con que esto a cambiado a un plano
tridimensional como se puede apreciar en la
figura. Ahora se nos agrega el eje de coordenadas
z, además de los conocidos eje x y eje y. El eje
z corresponde a la altura de una proyección en el
plano de coordenadas.

• Ahora vamos a poder trabajar en tres planos
•    plano xz
•    plano xy
•    plano yz

Plano yz
Lo otro que vamos a utilizar, es que cuando demos
la ubicación de un punto dentro del plano
tridimensional debemos nombrar los tres puntos
( ej (x, y, z) ).
Plano xz
Plano xy
Los dos problemas fundamentales de la geometría
analítica del espacio, al igual que la del plano,
son dada una ecuación matemática hallar su lugar
geométrico, y dado un lugar geométrico hallar su
ecuación matemática.
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Distancia entre dos puntos
Sean P1, P2 puntos cualquiera del espacio. Por
cada uno de estos puntos pasan tres planos,
paralelos a los planos coordenados, los que
conforman un octoedro (figura 1.2). Los puntos P1
y P2 son vértices opuestos. Sean A1 (x2, y2, z1)
y B(x2, y1, z1) los puntos que muestra la figura.
En el triangulo P1 AP2 , recto en A, la distancia
que separa P1 de P2 según Pitágoras es
P2
P1
B
A
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En términos de coordenadas, esto equivale a
d 2 (x1 x2) 2 (y1 y2) 2 (z1 z2) 2
Es claro entonces, que la distancia entre dos
puntos del espacio es una extensión de la
distancia entre puntos del plano.
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Punto de División
P2
z2
P
z
B
P1
z1
A
y2
y1
y
x1
x
x2
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Los triángulos P1PA y P1P2B, rectos en A y B
respectivamente, son semejantes (Fig. anterior).
Se tiene
De forma análoga se obtiene las restantes
coordenadas de P.
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Vectores
Magnitudes escalares
Son aquellas como la temperatura, la masa y el
tiempo. Sólo influye el tamaño o cantidad y se
especifican por medio de un número acompañado de
una unidad de medida.
Ejemplo 500 gramos
Aquí se encuentran magnitudes tales como
velocidad, aceleración, fuerza, etc. Sólo están
bien definidos cuando se conoce su dirección y
sentido, además de su Módulo.
Magnitudes vectoriales
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Si en el plano o en el espacio tenemos dos
puntos P y Q distintos, por ellos pasa una recta.
Este segmento de recta se dice que está dirigido
cuando definimos un punto inicial y un punto
terminal. Por ejemplo, si el punto inicial es P y
el terminal Q , el segmento de recta vendría a
ser PQ.
En caso de que P y Q coincidan tenemos un
punto.
Así , la distancia entre P y Q nos indica el
módulo del vector. La recta que contiene a los
dos puntos y su inclinación nos dan la dirección.
El sentido está determinado por la punta de
flecha que va en el punto terminal del segmento
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Vector conjunto de todos los segmentos de recta
dirigidos equivalentes
Dos segmentos dirigidos representan al mismo
vector si tienen la misma medida, la misma
dirección y el mismo sentido
Ejemplo
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Podemos representar un vector por medio de una
letra minúscula o mayúscula con una flecha en su
parte superior, o bien, con letras en letras en
negrita. Si el punto inicial de un vector v es A
y el final es B, escribimos v AB
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Vector de posición
z
O
y
y
x
x
O
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Suma y resta de vectores
En el plano, dados los vectores a y b con
origen común , a b corresponde a la diagonal
del paralelógramo que tiene origen común con a y
b. Otra manera de sumar vectores es poner uno
a continuación del otro. La suma corresponde a un
nuevo vector cuyo origen coincide con el del
primer vector , y su extremo coincide con el del
último.
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Suma de vectores
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Sabemos que la resta es la operación inversa de
la suma. Entonces, para restar vectores debemos
cambiarle el signo al sustraendo.
Geométricamente, cambiar el signo es equivalente
a invertir el sentido del vector.
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(No Transcript)
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Producto por escalar (ponderación)
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La ecuación general de un cono en el espacio
tiene la forma
Si a ? b, entonces el cono es elíptico, y si a
b circular recto
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Producto Vectorial
En ?3 , los vectores unitarios canónicos i
(1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1), son
linealmente independientes y generan el espacio
?3. Esto significa que cualquier vector de ?3
puede ser escrito como combinación lineal de los
vectores de esta base canónica. Sea a (a1,a2,a3
) vector cualquiera de ?3, entonces
a a1(1,0,0) a2 (0,1,0) a3 (0,0,1) Es decir
( a1,a2,a3 ) a1 i a2 j a3 k
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es igual a
y es igual a
( a2 b3 - a3 b2 , a3 b1 a1 b3 , a1 b2 -
a2 b1 )
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Triple producto escalar
Para tres vectores a ,b , c del espacio , su
triple producto escalar (T.P.E.) viene dado por
Propiedades del triple producto escalar
propiedad de rotación
con esto se prueba que los vectores son
coplanarios (están en un mismo plano)

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por una propiedad de los determinantes se tiene
que
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Usando
se tiene
en donde ? es el angulo entre a y ( b x c ). En
consecuencia
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Volumen del paralelepípedo entre a, b, y c
Demostración
Consideremos la caja de aristas coterminales a,
b, c . es claro que el volumen de la caja viene
dado por
Volumen ( área de la base ) (altura)
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Triple producto vectorial
El triple producto vectorial ( T.P.V) de tres
vectores en el espacio corresponde a
a x ( b x c )
Propiedades del triple producto vectorial

1-. a x ( b x c ) ( a o c ) b ( a o b ) c
combinación lineal del triple producto vectorial
2-. a x ( b x c ) ( a o c ) b ( b o c ) a

3-. a x ( b x c ) ? ( a x b ) x c
no asociatividad
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Proyección vectorial
En ciertos problemas de física o de ingeniería,
es necesario descomponer un vector en una suma de
vectores componentes. Este hecho viene a ser el
proceso inverso de sumar vectores y obtener un
vector resultante
b ? denota un vector perpendicular con b. Vamos
a determinar s y t
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de forma análoga
27
La componente y la proyección se encuentran
ligadas por la relación
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La Recta
La recta en el espacio corresponde al lugar
geométrico de todos los puntos que satisfacen un
sistema lineal en tres variables, de la forma
Para determinar la ecuación de la recta usaremos
vectores
Una recta puede determinarse por uno de sus
puntos y por su dirección, esta se especifica en
términos de un vector no nulo llamado vector
director
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A (a1,a2,a3) un punto del plano
GRAFICA
d (d1,d2,d3) ? 0 vector director
P
A
a trasladado
r
a
AP trasladado
Determinemos la recta que pasa por A y de
dirección d
AP a r AP a r , y como AP es // a d,
entonces r a td
De aquí (x,y,z) - (a1,a2,a3) t (d1,d2,d3)
Igualando componentes x a1 t d1 y a2
t d2 z a3 t d3
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• Se llama recta por A en la dirección d al
  conjunto
• L X A td, t ? IR , donde d es el vector
  director de la recta L,
• La ecuación X A td se llama la ecuación
  vectorial. A partir de esta se obtiene la
  ecuación paramétrica

(x,y,z) (a1,a2,a3) t (d1,d2,d3)
X A td
Igualando componentes obtenemos su expresión
paramétrica
x a1 t d1 y a2 t d2 z a3 t
d3
Al despejar el parametro t en la expresión
obtenemos la ecuac. Cartesiana o Simétrica de la
recta.
X


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A partir de esta ecuación obtenemos la ecuaión de
la recta que pasa por los puntos P1 (x1,y1,z1) y
P2 (x2,y2,z2), entonces el vector director es
El Plano
El plano en el espacio es el lugar geométrico de
todos los puntos que satisfacen una ecuación
lineal de la forma Ax By Cz D 0
n
Determinemos la ecuación en el plano. P1
(x1,y1,z1) P (x,y,z) y un vector normal n
(A,B,C)
P
P1
La condición para que P este en el plano es que
P1 P n 0
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Esto quiere decir que (x - x1, y - y1, z - z1 )
( A, B, C ) 0 Esta es la llamada ecuación
vectorial del plano. Esta se puede llevar a la
ecuación punto-normal. A (x - x1)
B(y - y1) C(z - z1) 0
Ecuación reducida
a, b, c son las intersecciones con los ejes
coordenados.
Ecuación por tres puntos
( P - P1 ) o (P2 - P1) x (P3 - P1)
Esta ecuación corresponde a un triple producto
escalar, es posible escribirla en términos de un
determinante.
( P - P1 ) o (P2 - P1) x (P3 - P1)
0
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Distancia de un punto a un plano
Sean, Ax By Cz D 0 la ecuación de una
plano y (a1,a2,a3) un punto en el espacio,
encontremos una expresión para encontrar la
fórmula distancia punto-plano.
Determinemos la recta que pasa por (a1,a2,a3) y
que es perpendicular al plano. Si n (A,B,C) es
vector normal, entonces también es vector
director de la recta, entonces la paramétrica de
la recta es
(a1,a2,a3)
X (a1,a2,a3) t(A,B,C) esto es x a1 tA y
a2 tB z a3 tC
La recta se intersecta con el plano cuando
A(a1 tA ) B(a2 tB ) C(a3 tC ) D
0
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De aquí que para cierto valor t0 de t se tenga
que
Luego, el punto intersección de la recta y el
plano es
(a1 t0 . A, a2 t0 .B, a3 t0.C )
La distancia entre este punto y el punto
(a1,a2,a3) viene dada por
que al simplificar equivale a
Reemplazando el valor de t0 se tiene
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Fórmula Vectorial
Sea P un punto arbitrario en el plano, Q punto
exterior al plano, n vector normal en n, la
distancia d desde el punto Q al plano corresponde
a la magnitud de de la proyección del vector PQ
sobre el vector normal n del plano (la
componente).
El triangulo que forman el vector PQ, su
proyección sobre el normal, y el segmento bajado
perpendicular de Q a n, es
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Familias de Planos
Consideremos como punto de partida el plano de
ecuación Ax By Cz D 0 entonces
el plano Ax By Cz k 0, en donde k ? IR,
representa al conjunto de todos los planos que
son paralelos al plano dado. Esto se conoce como
familia de planos. Una familia interesante de
planos es aquellas que por la inter- sección de
dos planos dados en la forma
A1x B1y C1z D1 0 (1) A2x B2y
C2z D2 0 (2)
En este caso, cualquier punto que satisfaga ambas
ecuaciones se encuentra sobre la recta de
intersección de ambos planos.
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La ecuación
k1 (A1x B1y C1z D1) k2 (A2x B2y C2z
D2) 0
Representa todos los planos que pasan por la
intersección de los planos dados (1) y (2),
siempre que las constantes reales k1 y k2 no
sean cero simultáneamente. Esta ecuación se puede
reducir al dividir por k1 ? 0 a
A1x B1y C1z D1 k (A2x B2y C2z D2)
0
El número real k se llama parámetro.
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Distancia de un punto a una recta
Formula Vectorial
A
L
d
?
P
d
Q
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Planos Proyectores de la Recta
Suponemos que una recta se puede representar por
dos planos cualesquiera de la familia
A1x B1y C1z D1 k (A2x B2y C2z D2)
0
Dado que existe una número infinito de pares de
planos que definen la recta por intersección, es
natural escoger planos con ciertas
características que los hagan interesantes. Por
ejemplo, aquellos planos que pasan por la recta y
son perpendiculares a los planos coordenados,
llamados Planos Proyectores de la recta. Para su
determinación es suficiente eliminar una de las
variables en la familia para cierto valor del
parámetro k.
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Superficies
Superficie Gráfica de una ecuación de tres
variables de la forma F(x,y,z) 0. Por
consiguiente la ecuación ax by cz d 0 es
una superficie cuadrática cuando F(x,y,z) 0 es
el lugar geométrico de un polinomio de 2 grado.
Ax2 By2 Cz2 Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz
K 0
Planos Para trazar la gráfica de un plano es
conveniente hallar la traza de la gráfica en los
planos coordenadas, es decir, la recta que
intersecta la gráfica del plano con cada uno de
lo planos coordenados (xy, xz, yz). Por ejemplo
la ecuación del plano es ax by cz d 0, con
z 0 se obtiene ax by d 0 siendo esta
ecuación la traza de la gráfica del plano en el
plano xy. Análogamente se encuentra las dos
trazas restantes.
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Cilindros
Un cilindro es el lugar geométrico de todos los
puntos que satisfacen relaciones del tipo.
f(x,y) 0 f(x,z) 0 f(y,z) 0
En el 1er caso, el cilindro tiene eje // al eje
z, en el 2do // al eje y, y en el 3ero // al eje
x. En la forma general de la ecuación cuadrática,
el cilindro se caract. por tener omitida una de
sus variables, la x, la y o bien la z.
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Un cilindro en el espacio se puede considerar
como la superficie generada por una recta que se
mueve a lo largo de una curva plana dada de tal
forma que siempre queda // a una recta fija que
no está en el plano de tal curva. La curva plana
se llama directriz del cilindro y la recta
movible elemento o determinante del cilindro.
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Esferas
Es un lugar geométrico de todos los puntos que
mantienen una distancia constante a un punto
fijo. La distancia constante se denomina radio y
el punto fijo centro.Si el centro es el punto
(h,j,k) y el redio es r, entonces un punto
cualquiera en la esfera de coordenadas (x,y,z)
satisface la ecuación ( x h )2 - ( y k)2
( z j )2 r2
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Elipsoides
El elipsoide es el lugar geométrico de todos los
puntos que satisfacen la relación
Las trazas sobre los planos coordenados, cuando
existen, son o elipses o un punto. Si a b,
entonces es una superficie de revolución que se
obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del
eje z. Lo mismo ocurre si a c, b c. Si a b
c la superficie es una esfera.
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Conos
El cono es el lugar geométrico de todos los
puntos que satisfascen una relación de la forma
Cono Eliptico
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Paraboloide Eliptico

El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de
todos los puntos que satisfacen una relación de
la forma.
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La ecuación general del Paraboloide elíptico en
el espacio tiene la forma
Si a b , se tiene un paraboloide de revolución,
que se obtiene haciendo girar la traza xz
alrededor del eje z.
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Paraboloide Hiperbólico

El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico
de todos los puntos que satisfacen una relación
de la forma.
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La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico
en el espacio tiene la forma
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Hiperboloide de una Hoja

El Hiperboloide de una Hoja es el lugar
geométrico de todos los puntos que satisfacen una
relación de la forma
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La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja
en el espacio es
Si a b se tiene una superficie de revolución,
haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.
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Hiperboloide de dos Hojas

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja
en el espacio es
Si b c se tiene una superficie de revolución,
haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.
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El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar
geométrico de todos los puntos que satisfacen una
relación de la forma