SAYISAL

1
SAYISAL ÇÖZÜMLEME

• The Solution of Linear Systems(Dogrusal
  Sistemlerin Çözümü, AXB )
• Hazirlayan
• 098001116
• M.Hanefi CALP

2
Triangular Systems and Back Substitution

• We will now develop the back-substitution
  algorithm, which is useful for solving a linear
  system of equations that has an upper-triangular
  matrix.

3
a. Upper-Triangular Matrix (Üst Üçgen Matris)

• An nxn matrix A ai,j is called
  upper-triangular provided that the elements
  satisfy ai,j0 whenever igtj. 
• If A is an upper-triangular matrix, then AXB is
  said to be an upper-triangular system of linear
  equations.

4
(1)
5
Özetle

• Matrisin kösegeni altindaki elemanlari sifira
  esitse, bu matrislere Upper-Triangular Matrix
• (Üst Üçgen Matris) denir.
• Örnegin,
• gibi.

6
Theorem (Back Substitution)

• Suppose that   AXB  is an upper-triangular
  system with the form given above in (1).  If
  ai,i?0 for i1,2,.,n then there exists a unique
  solution.

7
The back substitution algorithm

• Back-substitution metoduyla AXB üst üçgen
  sistemini çözmek için tüm kösegen elemanlari
  sifirdan farkli ise ilk olarak,

8

•    
• and then use the rule  
• for  

9
Or, use the "generalized rule"  

• 
  for

10
Konuyla Alakali Alt Program

• Mathematica Subroutine
• (Back Substitution).

11
Pedagogical version for "printing all the
details."
12
Example

• Use the back-substitution method to solve the
  upper-triangular linear system  

13
Solution

• Use the menu "Input" then submenu "Create
  Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and
  vector B.

14
(No Transcript)
15
Sistemin çözümü

• Sonra back-substitution gerçeklerstirelim.

16
(No Transcript)
17
(No Transcript)
18
Çözümü dogrulayalim.
19
b. Lower-Triangular Matrix (Alt Üçgen Matris)

• Tanim An nxn matrix A ai,j is called
  lower-triangular provided that the elements
  satisfy ai,j0 whenever iltj. 
•  If A is an lower-triangular matrix, then AXB
  is said to be a lower-triangular system of linear
  equations.

20
(2)
21
Özetle

• Matris kösegeni üstündeki elemanlari sifira
  esitse bunun gibi matrislere Lower-Triangular
  Matrix (alt üçgen matris) denir. Örnegin,
• gibi.

22
Theorem (Forward Substitution)

• Suppose that AXB is an lower-triangular
  system with the form given above in (2).  
• If ai,i?0 for i1,2,.,n then there exists a
  unique solution.

23
The forward substitution algorithm

• Forward-substitution metoduyla AXB alt üçgen
  sistemini çözmek için tüm kösegen elemanlari
  sifirdan farkli ise ilk olarak,
• 
  hesaplariz.

24

• and then use the rule  

25
Konuyla Alakali Alt Program

• Mathematica Subroutine
• (Forward Substitution)

26
Example

• Use the forward-substitution method to solve
  the lower-triangular linear system  

27
Solution

• Use the menu "Input" then submenu "Create
  Table/Matrix/Palette" to enter matrix A and
  vector B.

28
(No Transcript)
29
Sistemin çözümü
Sonra forward-substitution gerçeklestirelim.
30
Çözümü dogrulayalim
Does AXB?
31
2.  Gauss-Jordan Elimination and Pivoting

• Theorem (Unique Solutions)
• Assume that A is an nxn matrix.The following
  statements are equivalent.

32
(No Transcript)
33
Not

• Bu yöntem, Gauss Eliminasyon Yöntemiyle ayni
  esasa dayanmaktadir. Ancak Gauss Eliminasyon
  yönteminde katsayilar matrisi üst üçgen matris
  haline getiriliyordu.
• Bu yöntemde ise katsayilar matrisi birim matris
  haline getirerek çözüme gidiyoruz.
• Birim matris ise, kösegen üzerindeki elemanlari 1
  olan matrise denir.

34
Konuyla Alakali Alt Programlar

• Mathematica Subroutine
• (Limited Gauss-Jordan Elimination)

35
Mathematica Subroutine (Complete Gauss-Jordan
Elimination)
36
Mathematica Subroutine (Concise Gauss-Jordan
Elimination)
37
Example

• Use the Gauss-Jordan elimination method to
  solve the linear system
•  

38
Solution

• Use the menu "Input" then submenu "Create
  Table/Matrix/Palette" to enter matrices A and M
  and vector B.

39
(No Transcript)
40
Sistemin çözümü
.  
Ilk olarak arttirilmis matris
41
Sonra Gauss-Jordan elimination gerçeklestirelim.
42
Çözümü dogrulayalim.
43
(No Transcript)
44
Pivoting (Yok etme)

• Gauss eliminasyonun uygulanmasi esnasinda
  kösegen üzerinde sifir degerli eleman bulunmasi
  problem olacaktir. Bu durumda sifira bölme söz
  konusu olacagindan sonuca gidilemeyecektir. Bu
  problemi önlemek için pivot elemanin en büyük
  olacak sekilde esitlikler arasinda degisiklige
  gidilir.
• Hem kösegen üzerindeki sifir elemanlar varsa o
  giderilir hem de yuvarlatma hatalari sifira/aza
  indirilmis olur.

45

• Sadece pivot elemanin büyük yapilmasi durumuna
  veya sadece satirlarin(veya sütunlarin) yer
  degistirmesi durumuna kismi pivotlama, bütün
  satirlar dikkate alinarak büyük elemanlar
  seçilmesi durumuna veya hem satirlarin hem de
  sütunlarin kendi aralarinda yer degistirmeleri
  durumuna ise tam pivotlama denir.
• Ancak, çogunlukla kismi pivotlama kullanilir.

46
Example

• Asagida verilen denklem sistemini Gauss
  eleminasyon yöntemi ile çözünüz?

47
Solution

• Denklem sistemi dizey notasyonunda yazilirsa,

48
Adim 1

• Dizeyin ve karsilik gelen vektörün birinci satiri
  a1,1 e bölünür.

49
Adim 2

• Ikinci satirin birinci elemani, a2,1 dizeyin
  ve karsilik gelen vektörün birinci satir ile
  çarpilarak ikinci satirdan çikartilir.

50
Adim 3

• Üçüncü satirin birinci elemani, a3,1 birinci
  satir ve karsilik gelen vektörün birinci satiri
  ile çarpilarak üçüncü satirdan çikartilir.

51
Bu adim sonunda katsayi dizeyinin birinci sütunu
sifirlanmis olur. Bu asamadan sonra a2,2 ikinci
satira ve karsilik gelen vektörün ikinci satirina
bölünür.
52

• Benzer sekilde a3,2 ikinci satir ve karsilik
  gelen vektörün ikinci satiri ile çarpilir ve
  üçüncü satirda çikartilir.

53
(No Transcript)
54

• Son olarak a3,3 üçüncü satir ve karsilik gelen
  vektörün üçüncü satirina bölünerek üst üçgen
  dizey elde edilmis olur.

55

• Bu asamadan sonra son satirdan baslayarak
  bilinmeyenler tek tek yerine koymak suretiyle
  hesaplanir.

56
3. Tri-Diagonal (Üç-Kösegen) Matrisler

• Definition (Tridiagonal Matrix) 
• An  nn  matrix A is called a tridiagonal matrix
  if  ai,j0 whenever
  .
• Diagonal (Kösegen) Matrisler, sadece köseleri
  üzerinde deger bulunan diger elemanlari sifir (0)
  olan matrise denir.
• Üç-Kösegen Matris ise kösegen ve kösegenin alt ve
  üstündeki kösegen degerleri hariç, diger
  elemanlari sifir (0) olan matrislerdir.

57
(No Transcript)
58
Tri-Diagonal Matris
59

• Tridiagonal matris, kösegenlerinde ve kösegen
  elemanlarinin sag ve solunda (veya alt ve
  üstünde) birer tane eleman olan matris
• xx....... xxx...... ..xxx.... ....xxx..
  ......xxx ..........xx.. seklindeki
  matrislerdir.

60
 If A is tridiagonal, then a tridiagonal system is
61
A tri-diagonal linear system can be written in
the form    
62
Konuyla Alakali Alt Program
Mathematica Subroutine (tri-diagonal linear
system)
63
Example

• 31x31lik bir A matrisi olsun.
• iken AXB lineer sistemini
• ondalik aritmetik kullanarak çözelim.

64
Solution
The column form for B is                       
                                       
65
(No Transcript)
66
The matrix A can be constructed with the command.
67
(No Transcript)
68
We can print out the system to be solved if we
wish.
69
(No Transcript)
70
Solve the system Mathematica's built
in  LinearSolveA,B  procedure.  
71
(No Transcript)
72
4. The Matrix Inverse (TERS MATRIS)

• nxnlik bir A kare matris varsayalim. Bu matrisin
  ek matrisinin o matrisin determinantina bölünmesi
  ile elde edilen matrise o matrisin ters matrisi
  denir. ile gösterilir.

73
Gauss yok etme yöntemiyle bir matrisin tersini
bulmak için önce matris saga genislemis matris
olarak tanimlanir. Saga genisleme, tersi
bulunacak matrisin sagina esit boyutlu bir birim
matris eklemekle yapilir. Eger a matrisi (nxn)
boyutlu bir matrisse, bunun sagina yine ayni
boyutta bir birim matris eklenerek AI seklinde
(nx2n) boyutlu matris olusturulacaktir.
74
Konuyla Alakali Alt Program

• Mathematica Subroutine
• (Complete Gauss-Jordan Elimination)

75
Example

• Use Gauss-Jordan elimination to find the inverse
  of the matrix.  

76
Solution

• Enter the matrix  A  and the augmented matrix
  .  

Form the augmented matrix                
77
(No Transcript)
78
Get the inverse of  A  out of  this
augmented(arttirilmis)matrix, and store it in
the matrix  B.
79
5- LU Factorization (Lu Ayristirma)

• The nonsingular matrix A has an
  LU-factorization if it can be expressed as the
  product of a lower-triangular matrix L and an
  upper triangular matrix U
• ALU
•   

80

• Bir denklem takiminin çözülmesi için Gauss-jordan
  yöntemine göre daha karmasikça görünen fakat daha
  verimli bir yöntem kisa adiyla LU ayristirma
  yöntemidir.
• Gerçekte LU ayristirma yöntemi, bir matrisin
  çarpanlara ayrilmasi esasina dayanir. Fakat
  matrisler, bu yöntemde rastgele veya keyfi
  çarpanlara degil, alt üçgen L ve üst üçgen U
  matrislerden olusan çarpanlara ayrilacaktir.

81

• M bilinmeyenli bir AXB denklem takimini alalim.
  Katsayilar matrisi A, (MxM) boyutlu bir matristir
  ve bu matris
• ALU biçiminde yazilabilir. Eger, L ve U
  matrisleri elde edilebilirse denklem takimi
  LUxb olarak yazilir.
• Bu denklem yeniden düzenlenerekL(Ux)Lyb sonucu
  elde edilecektir. (Uxy alinmistir.)

82

• Böylece islem, esitligin sol tarafinda Uxy
  taniminin yapilmasiyla devam edecek, sonra da sol
  tarafta alt üçgen matrisin olmasi nedeniyle
  geriye dogru yerine koyma islemi yapilarak çözüm
  elde edilecektir.
• Bu yöntemde bütün islem, ALU esitligini saglayan
  L ve U matrislerinin bulunmasi üzerine
  kurulmustur.

83
Semalize edilmis hali
84
Mathematica Subroutine (LandU)
85
Example

• Given   . 
•  
• Find matrices L and U so that LU A.  

86
Solution
Use the LandU subroutine and construct matrices L
and U so that LU A.
87
(No Transcript)
88
Does  L.U A ?  
89
(No Transcript)
90
(No Transcript)
91
6. Jacobi and Gauss-Seidel Iteration

• a. Jacobi
• Consider that the nn square matrix A is split
  into three parts, the main diagonal D, below
  diagonal L and above diagonal U.  
• We have  A D - L - U.

92
(No Transcript)
93
(No Transcript)
94
Konuyla Alakali Alt Programlar
Mathematica Subroutine (Jacobi Iteration) 1
95
2
96
3
97
Example

• Use Jacobi iteration to solve the linear system  

98
Solution

• Enter the matrix A, vector B and starting vector
  P.

99
(No Transcript)
100
(No Transcript)
101
Determine if the method has converged.  
102
Use 20 iterations.
103
Determine if the method has converged.  
104
Use 30 iterations.
105
Determine if the method has converged.  
106
b. Gauss-Seidel Iterasyon Yöntemi

• The solution to the linear system AXB can be
  obtained starting with P0, and using iteration
  scheme.

107
Konuyla Alakali Alt Programlar

• Mathematica Subroutine
• (Gauss-Seidel Iteration)
• 1

108
2
109
Example

• Use Gauss-Seidel iteration to solve the linear
  system  

110
Enter the matrix A, vector B and starting vector
P.
111
Use 10 iterations.
112
Use 20 iterations.
113
-- SON --