Trazado de grafos mediante m

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Trazado de grafos mediante métodos dirigidos por
fuerzas
Tesis de Licenciatura en Ciencias de la
Computación

• Revisión del estado del arte y presentación de
  algoritmos para grafos donde los vértices son
  regiones geográficas

Tesistas Andrés Aiello y Rodrigo I.
Silveira aaiello, rsilveir_at_dc.uba.ar Directores
Manuel Abellanas y Gregorio Hernández
Peñalver Universidad Politécnica de Madrid
Departamento de ComputaciónFacultad de Ciencias
Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires
2
Sobre este trabajo

• Esta tesis es sobre trazado de grafos.
• Acerca de métodos dirigidos por fuerzas.
• Está compuesta por dos partes
• Una completa revisión del estado del arte.
• Un conjunto de algoritmos para un nuevo problema
  cuando los vértices del grafo representan
  regiones geográficas.

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Contenido

• Introducción al trazado de grafos.
• Revisión del estado del arte de los métodos
  dirigidos por fuerzas.
• Algoritmos para grafos donde los vértices son
  regiones geográficas.
• Conclusiones y trabajo futuro.

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Qué es el trazado de grafos
Graph drawing is the best possible field I can
think of it merges aesthetics, mathematical
beauty and wonderful algorithms. It therefore
provides a harmonic balance between the left and
right brain parts Donald Knuth, Simposio Graph
Drawing '96.

• Consiste en encontrar para cada vértice del grafo
  una posición en el plano.
• Si las aristas se dibujan como segmentos, esto
  define un dibujo o trazado del grafo.
• Hay infinitas formas de dibujar un grafo.
• La intención es que el dibujo resultante sea
  estéticamente bueno.

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Ejemplo

• Dos trazados del mismo grafo

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Criterios estéticos

• Definen qué hace que un trazado sea estéticamente
  bueno.
• Los más comunes
• Minimizar cruces.
• Minimización de área.
• Distribuir vértices uniformemente.
• Maximización del ángulo entre ejes.
• Mostrar simetría.
• Longitud uniforme de aristas.

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Pueden entrar en conflicto

• Ej. simetría vs. evitar cruces.

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Familias de algoritmos

• Para clases específicas de grafos
• Arboles.
• Grafos dirigidos.
• Planares.
• Para grafos generales
• Para trazado ortogonal.
• Algoritmos dirigidos por fuerzas.
• Algoritmos espectrales.

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Métodos dirigidos por fuerzasrevisión del
estado del arte
Parte 1
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Métodos dirigidos por fuerzas

• Modelan al grafo con un sistema físico.
• El trazado es obtenido buscando un equilibrio de
  ese sistema físico.
• Tienen dos partes bien diferenciadas
• Un modelo físico.
• Un algoritmo para buscar un equilibrio.

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Métodos dirigidos por fuerzas (2)

• El primero fue el spring embedder. Plantea una
  analogía con resortes (Eades, 84).
• Veinte años después del algoritmo de Eades,
  existen cientos de variantes distintas.
• El objetivo de la primer parte del trabajo es
  presentar de manera organizada todas las
  publicaciones relevantes de la literatura.

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Ventajas

• Intuitivos
• Sencillos de programar
• AlgoritmoDF(Grafo G)
• Asignar posición inicial a los vértices.
• Repetir hasta que el sistema esté en equilibrio
• Seleccionar un vértice v en G.
• Mover v de manera que las fuerzas del sistema
  disminuyan.
• Dan buenos resultados
• Muy flexibles
• Desventajas? Más adelante

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Spring embedder (Eades, 84)

• Presentó la analogía de los resortes.
• Modelo físico
• Fuerzas atractivas
• Fuerza repulsivas
• Criterios estéticos que considera
• Distribución de nodos uniforme.
• Longitud de aristas uniforme.

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Spring embedder (2)

• Algoritmo
• SpringEmbedder(Grafo G)
• Asignar una posición al azar a cada vértice de G.
• Repetir M veces
• Para cada v?V
• Calcular f(v) (usando las fuerzas de la
  diapositiva anterior)
• Para cada v?V
• pv pvC4f(v)
• Complejidad O(n3)

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Mejoras del SE

• FR (Fruchterman y Reingold, 91)
• Otras fuerzas
• Atractivas cuadráticas en la distancia (sin
  logaritmo).
• Repulsivas inversas a la distancia.
• Temperatura global para acelerar convergencia.
• GEM (Frick et al., 95)
• Fuerzas similares a las de FR.
• Temperatura local para cada vértice.
• Detección de oscilaciones y rotaciones.
• Misma complejidad que FR y SE.
• Pero en la práctica es uno de los más rápidos.

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Mejoras del SE (2)

• SM (Sugiyama y Misue, 95)
• Algunos resortes están magnetizados.
• Hay campos magnéticos que influyen en la
  dirección de esos resortes.

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KK (Kamada y Kawai, 89)

• Un único tipo de fuerzas (resortes) entre todos
  los pares de vértices, con longitudes ideales
  distintas.
• Criterio estético que considera
• La distancia entre vértices debe ser igual a la
  distancia teórica.
• Mantiene implícitamente los dos criterios
  anteriores.

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KK (2)

• Enfoque basado en energía
• Equivalente a usar fuerzas lineales.
• Para encontrar el mínimo de la energía usan
  Newton-Raphson.

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DH (Davidson y Harel, 89)

• Enfoque basado en energía.
• Modelo definido por una suma de potenciales
• Distribución de nodos.
• Longitud de aristas.
• Cruces de aristas.
• Distancia nodo arista.
• Espacio de dibujo.
• Extremadamente flexible.

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DH (2)

• Algoritmo utiliza Simulated Annealing
• Idea básica
• Para cada v?V
• Elegir al azar una nueva posición para v.
• Si la energía disminuye con esa posición, la
  acepto.
• Sino, con cierta probabilidad, la acepto igual.
• Cuánto moverse en cada paso depende de una
  temperatura que va decreciendo.
• Al comienzo los movimientos son grandes.
• Y se van haciendo cada vez más cortos.
• Es de los algoritmos más lentos.

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Comparación

• No hay muchos estudios que los comparen.
• Los pocos que hay (Brandenburg, 95), (Behzadi,
  99) concluyen que
• Todos obtienen trazados estéticamente agradables.
• El más flexible es DH.
• GEM y KK son los más rápidos, mientras que DH es
  el más lento.
• Conclusión no hay un ganador universal.

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Ejemplos

• Mismo grafo, distintos algoritmos

KK
SE
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Desventajas

• Tres puntos débiles
• Alto costo computacional (en tiempo).
• Pueden caer en mínimos locales pobres.
• Encontrar los óptimos globales es NP-Hard.
• Falta de fundamentos teóricos.

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Aspectos numéricos

• Todos los algoritmos dirigidos por fuerzas
  minimizan una función.
• La forma en que lo hacen marca las diferencias
  entre cada uno.
• Todos usan alguna técnica numérica.
• Aunque en la mayoría de los casos, está
  implícita.
• Hacerla explícita es importante!

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Fuerzas vs. energía

• Los algoritmos se dedican a
• Buscar un equilibrio de un sistema físico (ej.
  spring embedder, FR, GEM).
• O a minimizar una función de energía (ej. KK,
  DH).
• Pero son equivalentes
• La fuerza neta que afectan a un nodo constituye
  el gradiente (negativo) de su energía.
• Mínimos de energía son equilibrios del sistema de
  fuerzas.

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Método del gradiente

• Consiste en moverse siempre hacia (menos) la
  dirección del gradiente.
• La función que estamos minimizando es la energía
  del trazado.
• El spring embedder mueve cada nodo en la
  dirección de la fuerza neta
• Que es igual a moverse en la dirección opuesta al
  gradiente.
• El spring embedder y sus derivados (FR, SM, etc.)
  usan el método del gradiente.

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Otros métodos de optimización

• KK usa Newton-Raphson para buscar un equilibrio.
• DH usa Simulated Annealing.
• Tunkelang (99) usa gradiente conjugado.
• Branke et al. (96) usan algoritmos genéticos.
• El algoritmo baricéntrico de Tutte resuelve un
  sistema lineal con Gauss-Seidel.
• Muchos otros son posibles!

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Trazados 3D

• En lugar de buscar posiciones en el plano,
  buscamos en el espacio.
• Ventajas
• Más libertad de movimiento.
• Es más fácil llegar a un equilibrio
• Los cruces de aristas no son un problema.
• Desventajas
• Es necesario proyectar los resultados a 2D.
• Pueden aparecer cruces!

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A pesar de todo...

• Pruebas empíricas indican que se puede trasmitir
  más información (Dwyer, 00)
• El uso de programas interactivos de visualización
  hace que el usuario visualice el trazado 3D desde
  cualquier ángulo.
• Se hace necesario diseñar algoritmos para trazar
  grafos en 3D.

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Adaptar algoritmos a 3D

• Algunos son difíciles de llevar a 3D (ej.
  ortogonales, por capas)
• Los dirigidos por fuerzas no requieren casi
  adaptaciones!
• Los que modelan con resortes no tienen ningún
  problema.
• Tampoco los que usan funciones generales
• Otros como KK, GEM y SM requieren adaptar algunas
  partes.
• Pero sigue siendo relativamente fácil.

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Hay muchas otras adaptaciones posibles

• Para trazar grafos dinámicos.
• Para trazar grafos con restricciones
• Vértices con forma y tamaño.
• Aristas especiales (curvas, con pesos).
• Restricciones en la posición de los vértices.
• Para trazar grafos con clusters.
• Para trazar grafos grandes.
• Comentaremos muy brevemente sobre ellos.

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Grafos dinámicos

• Grafos que cambian a lo largo del tiempo
• Se quiere ir trazando el grafo a medida que
  cambia.
• Preservando el mapa mental

ti
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Grafos dinámicos (2)

• Los algoritmos dirigidos por fuerzas se adaptan
  muy bien a esta situación
• Se pueden agregar vértices ficticios (fijos) en
  las posiciones anteriores de cada vértices,
  conectados por resortes a sus respectivos
  vértices (Brandes et al., 00).
• Si se usa DH o similar, se agrega un potencial
  que penalice ubicar a un vértice lejos de su
  posición anterior.
• También suelen animarse los movimientos
• El spring embedder y derivados son ideales para
  esto.

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Restricciones

• Los grafos que se deben trazar en las
  aplicaciones concretas suelen venir con
  restricciones.
• Una muy común es forma y tamaño los vértices
  suelen ser dibujados con figuras geométricas.
• El tamaño y la forma deben ser considerados por
  los algoritmos, sino
• Algunos vértices pueden solaparse
• Algunas aristas pueden atravesar vértices

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Restricciones (2)

• Ejemplo

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Restricciones (3)

• Posibles soluciones
• Adaptar las longitudes ideales de los resortes
  para contemplar forma y tamaño (Wang y Miyamoto,
  95), (Harel y Koren, 02).
• Agregar potenciales o fuerzas que penalicen el
  solapamiento de vértices (Kamps et al., 95).
• Trazar el grafo normalmente, luego arreglar los
  solapamientos (Gasner y North, 98).
• Usar campos potenciales (Chuang et. al, 04).

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Restricciones (4)

• Otras consideraciones
• Aristas con pesos.
• Se pueden adaptar las longitudes ideales para
  contemplarlos (Ej. Erbacher et. al, 04).
• Aristas curvas.
• Se toman los puntos de control de las curvas como
  vértices, y se traza el grafo normalmente. (Ej.
  Finkel, 04)

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Restricciones (5)

• También puede haber restricciones en la posición
  de los vértices
• Un vértice debe estar fijo.
• Un vértice debe estar dentro de una región.
• La distancia entre dos vértices debe ser fija.
• Y muchas otras.
• Muchas soluciones posibles
• Son fáciles de integrar al spring embedder. Ej
• Antes de mover cada vértice, controlo que no se
  viole ninguna restricción.
• Si uso DH o similar, puedo agregar un potencial
  que penalice la violación de las restricciones.

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Ejemplos

• Aristas curvas
• (Finkel, 04)
• Restricciones en los vértices (He y Marriot, 98)

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Grafos con clusters

• Los grafos pueden tener clusters.
• Objetivo que el trazado refleje las agrupaciones
  entre vértices.
• Solución sencilla agregar vértices atractores
  (ej. Huang y Eades, 00)

41
Clusters (2)

• Ejemplos
• (Wang y Miyamoto, 95)
• (Huang y Eades, 00)

42
Grafos grandes

• La complejidad cúbica de los algoritmos
  clásicos los hace poco prácticos para grafos de
  más de unos pocos cientos de nodos.
• Dos formas de lidiar con grafos grandes
• Simulación de N-cuerpos.
• Algoritmos multinivel/multidimensionales.

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Grafos grandes (2)

• Simulación de N-cuerpos
• Problema común en la física.
• En nuestro caso, los cuerpos son los vértices.
• Objetivo evitar calcular todas las fuerzas
  repulsivas, que es O(n2).
• Motivación a medida que los vértices se alejan,
  las fuerzas repulsivas dejan de tener peso en la
  fuerza neta.
• No calcular todos los pares de fuerzas, sino sólo
  los de los vértices más cercanos.

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Grafos grandes (3)

• Algoritmos multinivel
• Separan el grafo en distintos niveles de
  abstracción.
• Partiendo del grafo original, se lo va
  simplificando hasta llegar a un grafo de unos
  pocos vértices.
• Se hace el trazado de ese grafo simple, se fijan
  los nodos ubicados y se agregan los del nivel
  siguiente (Gajer, 00), (Walshaw, 03) (Hachul 04).
• La cantidad de nodos no fijos es siempre
  pequeña.

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Ejemplos

• Grafos de unos 1.000 vértices (Gajer et al., 00)
• Grafos de 5.000, 15.000 y 88.000 vértices
  (Walshaw, 03)

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Trazado inicial

• La mayoría de los algoritmos parten de un trazado
  inicial al azar.
• El trazado inicial influye en dos factores
• Velocidad de convergencia.
• Calidad del resultado. Ej.

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Trazado inicial (2)

• Se pueden realizar trazados más elaborados. Ej.
• Para obtener trazados planos de grafos planares
  (Harel y Sardas, 95).
• Para evitar mínimos pobres (Behzadi, 99).
• Para acelerar la convergencia (Mutton y Rodgers,
  02).

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Comentarios

• La flexibilidad y sencillez de los algoritmos
  dirigidos por fuerzas ha hecho que surgieran
  cientos de variantes.
• Sin existir (hasta ahora) un compendio ordenado y
  completo de los algoritmos existentes.
• En esta tesis se intentó abarcar a todos los
  trabajos relevantes.
• En esta presentación sólo hemos mencionado
  algunas de las principales variantes.

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Algoritmos para grafos donde los vértices son
regiones geográficas
Parte 2
50
Contenido

• Introducción.
• Análisis y definición de los criterios estéticos.
• Algoritmos propuestos.

51
Nuestro problema

• Dado un grafo G (V,E) y un conjunto de
  regiones R, donde R es la región (no
  vacía) del plano representada por el vértice
  , encontrar un trazado de G en el plano que
  sea estéticamente bueno y donde para
  todo vértice

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Nuestro problema (2)

• Consideraciones generales
• Regiones representadas por polígonos o discos.
• Presentamos nuevas soluciones.
• Los algoritmos se basaron en SE y DH pero pueden
  utilizarse las mismas ideas en cualquier otro.

53
Nuestro problema (3)

• Trabajo previo
• No encontramos trabajos previos para nuestra
  problema particular, sino para restricciones
  parecidas pero que no alcanzan.
• Restricciones sobre la posición de vértices
• Restricciones respecto a otros vértices. (Kamps
  et al., 95) (Wang y Miyamoto, 82).
• Restricciones lineales arbitrarias. (He y
  Marriot, 98).
• Restricciones no lineales. (Hansen et al., 02).
• Limitar los movimientos. (DiBattista et al., 99).

54
Nuestro problema (4)

• Ejemplo

55
Similitudes y diferencias

• Representar una región vs. estar dentro.
• Criterios estéticos.
• Algoritmos.

56
Criterios estéticos

• Análisis de criterios previos.
• Presentación de nuevos criterios.
• Criterios especiales para segmentos.

57
Criterios estéticos previos

• Minimizar cruces entre aristas.
• Maximizar el ángulo entre aristas adyacentes.
• Maximizar el ángulo entre aristas que se cruzan.
• Mostrar simetría.
• Distribución uniforme de los vértices.
• Longitud uniforme de aristas.

58
Criterios estéticos

• Análisis de criterios previos.
• Presentación de nuevos criterios.
• Criterios especiales para segmentos.

59
Criterios estéticos nuevos

• Los vértices deben estar ubicados cerca del
  centro de sus regiones.
• Los vértices no deben estar cerca de los bordes.

60
Criterios estéticos nuevos

• Análisis de criterios previos.
• Presentación de nuevos criterios.
• Criterios especiales para segmentos.

61
Algoritmos propuestos

• Por qué no utilizar los algoritmos ya
  presentados?
• Algoritmos utilizados
• Spring Embedder.
• DH.

62
Adaptaciones

• Forma de proyectar.
• Longitud ideal de las aristas.
• Longitudes fijas NO!
• Longitudes variables
• Fuerzas centrípetas.
• Evitar vértices muy cercanos a los bordes.
• Minimizar cruces entre aristas.

63
Adaptaciones aristas de longitud variable (2)

• Longitud ideal de aristas
• Distancia mínima
• Distancia máxima
• Distancia entre centros
• Distancia de compromiso

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Adaptaciones fuerzas hacia el centro (SE)

• Fuerza centrípeta
• Idea de nodo ficticio

65
Adaptaciones fuerzas hacia el centro (DH)

• Penalizar distancia entre un vértice y su centro.
• Potencial

66
Adaptaciones evitar vértices muy cercanos a los
bordes

• Implementado en DH.
• Primera idea
• Segunda idea
• Por qué elegir la segunda?

67
Adaptaciones minimizar cruces entre aristas

• Implementado sobre DH.
• Distancia entre todo par de aristas.

68
Adaptaciones minimizar cruces entre aristas (2)

• Distancia mínima entre vértices y cruces.

69
Adaptaciones SER2 y DHR2

• Implementación en Java.
• Incluyen todas las ideas presentadas.
• Pueden probarse en http//www.luchemos.org.ar/rodr
  igo/tesis.

70
Adaptaciones SET

• Criterio que intenta cumplir los nodos no deben
  estar cerca de las aristas.
• Agrega fuerza de repulsión nodo-arista.
• Distancia ideal es la formada por el triángulo
  equilátero.

71
Ejemplos

• Malla 4x4 utilizando DHR2 y SER2

72
Ejemplos (2)

• DH, SER2 y DHR2

73
Ejemplos (3)

• República Argentina SER2 y DHR2

74
Conclusiones y aportes

• Revisión del estado del arte
• Abarca la mayor parte de los trabajos publicados
  hasta el momento.
• Incluye los trabajos más recientes.
• Provee una visión consistente, comparativa y
  transversal del tema.

75
Conclusiones y aportes (2)

• Algoritmos para grafos donde los vértices son
  regiones geográficas
• Se presenta y analiza un nuevo problema.
• Se estudian criterios estéticos generales y se
  presentan los propios del problema.
• Se proponen algoritmos para los criterios
  definidos.
• Nuevo potencial para evitar cruces de aristas.

76
Trabajo futuro

• Optimización de los algoritmos.
• Problema de grafos grandes.
• Otros tipos de regiones.
• Trazado inicial.
• Y muchos más!

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Muchas gracias! Preguntas?

• Para más información http//www.luchemos.org.ar/r
  odrigo/tesis