Problemas de Grafos y Tratbilidad Computacional

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Problemas de Grafos y Tratbilidad Computacional
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Cronograma

• 03/09 Técnicas de diseño de algoritmos,
• algoritmos robustos, algoritmos con
• certificados.
• 10/09 Teoría de NP-Completitud.
• 17/09 Algunos problemas de grafos.
• 24/09 Algunas subclases de grafos conocidas.
• Distribución de temas para TP

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Trabajo Práctico

• Se formarán grupos de 2 o 3 personas.
• Se le asignará a cada grupo una porción de una
  matriz similar a las columna de NP-Completitud de
  Johnson. Donde las columnas corresponden a
  problemas de grafos y las filas corresponden a
  las subclases de grafos vistas en las clases.

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Trabajo Práctico

• Se deberá presentar por cada celda (i,j) asignada
  un informe indicando si el problema j para la
  subclase de grafos i pertenece a alguna clase de
  problema conocida (P,NP-Completo, etc.). En caso
  que sea P, se deberá describir el o los
  algoritmos más eficientes (complejidad, tipo de
  algoritmo, técnica utilizada). En caso que sea
  NP-completo o similar, se deberá explicar como se
  prueba, la complejidad de la transformación
  polinomial, etc. Existen caracterizaciones por
  subgrafos prohibidas para el problema de
  reconocimiento.
• Cada grupo deben dar una exposición de aprox. 40
  min.

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Cronograma

• 01/10 Ejemplo de un desarrollo de un algoritmo de
  
• reconocimiento.
• 15/10 Estructura PC-Tree
• 22/10 Descomposición de grafos
• 29/10 Exposición de Alumnos
• 05/11 Exposición de Alumnos
• 12/11 Exposición de Alumnos

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Cronograma

• 19/11 Consultas
• 26/11 Coloquio
• 03/12 Coloquio

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Bibliografía Básica

• A. Brandstadt, V. Bang Le and J. Spinrad, Graph
  classes A survey, SIAM, 1999.
• G. Brassard, P. Bratley, Fundamental of
  Algorithmics, Prentice Hall, 1996.
• M. Garey, D. Jonhson, Computers and
  Intractability A Guide to the Theory of
  NPCompleteness , W. Freeman and Co., 1979.
• M. Golumbic, Algorithmic graph theory and perfect
  graphs, Academic Press, 1980. (Second Edition
  2004)
• J. McHugh, Algorithmic Graph Theory, Prentice
  Hall, 1990.
• T. McKee and F. McMorris, Topics in intersection
  graph theory, SIAM, 1999.
• C. Papadimitriou, Computational Complexity,
  Addison-Wesley, 1995.

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Qué es un algoritmo?

• Un algoritmo es una sucesión finita de
  instrucciones bien definidas tal que
• i) No hay ambigüedad en las instrucciones.
• ii) Después de ejecutar una instrucción no
  hay ambigüedad respecto de cual es la instrucción
  que debe ejecutarse a continuación.
• iii) Después de un número finito de
  instrucciones ejecutadas se llega siempre a la
  instrucción STOP (Un algoritmo siempre para).

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Problema y Algoritmo

• PROBLEMA
• instancia de un problema
• datos de entrada de una instancia (E)
• solución (S)
• ALGORITMO
• técnica para la resolución de un problema
• función f tal que f (E) S

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Complejidad

• La complejidad de un algoritmo es una función que
  calcula el tiempo de ejecución en función del
  tamaño de la entrada de un problema.
• Peor Caso
• Caso Promedio

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Notaciones

• Dadas dos funciones f y g N ? R decimos que
• f(n) O (g(n)) si ? c? 0 y n0 ?N tal que f(n) ?
  c g(n)
• ? n ? n0 .
• f(n) ? (g(n)) si ? c? 0 y n0 ?N tal que f(n) ?
  c g(n)
• ? n ? n0 .
• f(n) ? (g(n)) si ? c,c? 0 y n0 ?N tal que
• c g(n) ? f(n) ? c g(n)
  ? n ? n0
• . Si f(n) O (g(n)) se dice que f es de orden n

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Tratabilidad Computacional

• Cuándo un algoritmo es suficientemente eficiente
  para ser usado en la práctica?
• Qué pasa si tengo complejidades como las
  siguientes?
• n 80
• 1.001n

POLINOMIAL bueno EXPONENCIAL malo
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Tratabilidad Computacional

• Cuándo decimos que un problema está
  computacionalmente bien resuelto o tratable
  computacionalmente?
• Cuando hay un algoritmo polinomial para
  resolverlo.

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Técnicas de diseño de algoritmos

• Algoritmos golosos
• Dividir y conquistar
• Backtracking
• Recursión
• Programación dinámica
• Algoritmos Probabilísticos

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Algoritmos Golosos

• Técnica primitiva que se usan principalmente para
  problemas de optimización.
• La idea es generar una solución paso a paso de
  manera tal que en cada paso trata de lograr la
  mayor mejora posible.
• Ejemplos algoritmo de Dijkstra para el problema
  de caminos mínimos, algoritmo de Prim y algoritmo
  de Kruskal para Arboles Generadores Mínimos.
• No siempre es devuelven las mejores soluciones.

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Dividir y conquistar

• Consiste en descomponer la instancia del problema
  a ser resuelta en un número pequeño de
  subinstancias del mismo problema, resuelve
  sucesivamente e independientemente cada una de
  ellas, y combinando las subsoluciones obtenidas
  de manera tal que se obtenga la solución de la
  instancia original.
• Es una técnica top-town.
• Ejemplo Búsqueda binaria,Merge Sort,Quick Sort.

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Backtracking

• Técnica para recorrer sistemáticamente todas las
  posibles configuraciones de un espacio. Puede
  pensarse también que es una técnica para explorar
  implícitamente árboles dirgidos (o grafos
  dirgidos en general pero sin ciclos).
• No necesariamente se explora toda rama del árbol
  (poda).
• En general tiene complejidad exponencial.

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Recursión

• Es una forma generalizada de inducción matemática
  que puede acompañar otras técnicas tales como
  dividir y conquistar, backtracking, etc.
• Implícitamente utiliza un stack (pila).
• Ejemplos Torres de Hanoi, DFS.

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Programación Dinámica

• Técnica bottom-up. Empieza a solucionar
  instancias más pequeñas y va combinando estas
  para obtener soluciones para instancias cada vez
  más grandes, hasta llegar a la instancia original
  que quiere resolver.
• Sirve para problemas que cumplen principio de
  optimalidad, es decir, la solución óptima de
  cualquiera de estos problemas, se puede
  descomponer en soluciones óptimas de
  subproblemas.
• Ejemplos coeficientes binomiales usando
  triángulo de Pascal, multiplicación de n
  matrices, etc.

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Algoritmos probabilísticos

• Cuando un algoritmo tiene que hacer una elección
  a veces es preferible elegir al azar en vez de
  gastar mucho tiempo tratando de ver cual es la
  mejor elección.
• Tiempo promedio de un algoritmo determinístico.
  (ejemplo quicksort)
• Tiempo esperado promedio de un algoritmo
  probabilístico es el tiempo medio de los
  tiempos de resolver la misma instancia del mismo
  problema muchas veces
• Peor tiempo esperado tomando en cuenta el peor
  caso de todas las instancias de un cierto tamaño.

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Clasificación de algoritmos probabilisticos

• Algoritmos al azar para problemas numéricos la
  respuesta es siempre aproximada pero se espera
  que la solución sea mejor cuando más tiempo hay
  para ejecutar el algoritmo. (integral).
• Algoritmos de Monte Carlo se quiere una
  respuesta exacta. Por ejemplo problemas de
  decisión. Un algoritmo Monte Carlo da siempre una
  respuesta pero la respuesta puede no ser
  correcta. La probabilidad de suceso, es decir de
  respuesta correcta crece con el tiempo disponible
  para correr ese algoritmo. La principal
  desventaja es que en general no se puede decidir
  eficientemente si la respuesta es correcta o no.
  (determinar si dado un arreglo de n elementos,
  más de la mitad son iguales)

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Clasificación de algoritmos probabilisticos

• Algoritmos Las Vegas nunca dan una respuesta
  incorrecta pero pueden no dar ninguna respuesta.
  También la probabilidad de suceso, es decir de
  respuesta correcta crece con el tiempo disponible
  para correr ese algoritmo (protocolo para
  determinar un coordinador dentro de un anillo de
  n procesadores ).
• Algoritmos Sherwood en este caso el algoritmo
  siempre da una respuesta y la respuesta es
  siempre correcta. Se usan cuando algún algoritmo
  determinístico para resolver un algoritmo es
  mucho más rápido en promedio que en el peor caso.
  Al incorporar un factor de azar el algoritmo
  puede llegar a eliminar la diferencia entre
  buenas y malas instancias (quicksort con pivot
  random).

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Algoritmos Robustos

• Un algoritmo robusto es un algoritmo que resuelve
  un determinado problema para un subconjunto de
  instancias determinadas. Es decir, que si
  ejecutamos el algoritmo con un input de este
  subconjunto, el algoritmo lo resuelve
  satisfactoriamente y si el input no pertenece al
  subconjunto, o bien el algoritmo lo resuelve de
  todos modos o no lo puede resolver e informa que
  el input no pertenece al subconjunto de
  instancias esperadas.(Determinar el/los centro/s
  de un árbol).

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Algoritmos con certificados

• Un algoritmo que resuelve un determinado problema
  de decisión, no solamente da una respuesta sí o
  no, sino además entrega una estructura que
  permite certificar la correctitud de la
  respuesta, tanto para el sí como para el no.
  Claramente, los certificados se debieran poder
  verificar en tiempo polinomial. (verificar si un
  grafo es bipartito)