Theorie der unscharfen Mengen

1
Theorie der unscharfen Mengen

• Wintersemester 2005/2006

2

Theorie der unscharfen
Mengen

• Vorlesung
• Montags, 09.1511.00h, MIB-1107
• Übung
• Freitags (ungerade Woche),
• 09.1511.00h, MIB-1107
• Veranstalter
• Dr. Tatiana Starostina
• E-mail Tatiana.Starostina_at_math.tu-freiberg.de
• Tel. 3786
• Sprechstunde nach Vereinbarung

3
Literatur

Theorie der unscharfen
Mengen

• 1). Dirk H. Träger
• Einführung in die Fuzzy-Logik
• Teubner, Stuttgart, 1994.
• 2). Hans Bandemer und Siegfried Gottwald
• Einführung in die Fuzzy Methoden
• 4. Auflage, Akademie-Verlag, Berlin 1993
• 3). Hans Bandemer and Siegfried Gottwald
• Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, Fuzzy Methods with
  Applications
• John Wiley Sons, Chichester 1995.
• 4). George J. Klir and Bo Yuan
• Fuzzy Sets and Fuzzy Logic Theory and
  Applications
• Prentice Hall, 1995.
• 5). Hans-Jürgen Zimmermann
• Fuzzy set theory and its applications
• 2nd ed., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht,
  1991.

4
Geschichte
Theorie der unscharfen
Mengen
Platon (427-347a.d.) Vermutung es gibt eine
dritte Region zwischen wahr und falsch
Aristoteles (384-322a.d.)
Das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten
(bestimmt die Entwicklung mathematischer und
logischer Systeme in den nächsten zwei
Jahrtausenden)
5
Geschichte
Theorie der unscharfen
Mengen
Moderne Philosophen wie G. Hegel und B. Russel
nahmen Platons Vermutung wieder auf.
Georg Hegel (1770-1831)
B. Russell (1872-1970)
Russel The law of the excluded middle is true,
when precise symbols are employed, but it is not
true, when symbols are vague, as, in fact, all
symbols are.
6
Geschichte
Theorie der unscharfen
Mengen
J. Lukasiewicz (1878-1956)
? systematische Alternative zur zweiwertigen
Logik ? wahr (1), possible (1/2),
falsch(0) ? später vier und fünfwertige Logik ?
schließlich unendlichwertige Logik alle Zahlen
im Intervall 0,1
? Verfahren zur numerischen Darstellung von
Unschärfe von Symbolen (in Anlehnung an Russel) ?
Definition der Ungenauigkeit oder Vagheit eines
Symbols unter Zuhilfenahme des Komplements es
gibt mindestens ein Element, das weder
vollständig zum Symbol noch vollständig zum
Komplement gehört ? Menge der Elemente, die nicht
eindeutig zugeordnet werden können frings
Fransen
M. Black (1909-1988)
7
Geschichte
Theorie der unscharfen
Mengen
Lotfi Zadeh (geb. 1921)

• grundlegender Artikel Fuzzy-Sets (1965)
• Theorie der unscharfen Mengen
• verbindet darin Blacks Idee der frings mit
  
• Lukasiewiczs unendlichwertiger Logik

Theorie der unscharfen Mengen wurde durch die
Beobachtung Lotfi ZADEHs ausgelöst, dass Menschen
anscheinend in Kategorien denken und
kommunizieren, die sich von den in Mengenlehre
und Logik verwendeten (dualen) Strukturen
unterscheiden. Dies war zwar schon früher
erkannt worden, aber ZADEH war der erste, den
diese Beobachtung zur Formulierung einer neuen
Theorie veranlasste.
8
Geschichte
Theorie der unscharfen
Mengen
70-iger Jahre einige europäische
Wissenschaftler befassten sich mit der unscharfen
Logik und entwickelten erste erfolgreiche
Anwendungen für industrielle Prozesse und
Regelungen
80-iger Jahre ? Entdeckung des praktischen
Nutzens in Japan erste fuzzy-geregelte
Waschmaschinen, Staubsauger ? höherer
Bedienkomfort, Aufsehen als denkende
Konsumgüter ? erster Fuzzy-Regler in
großtechnischer Anwendung ? Vermutung
als neues Universalwerkzeug der
Regelungstechnik ? Skepsis in Europa, besonders
in Deutschland ? Qualitätsverbesserung bei
Fuzzy-Einsatz oft durch zusätzliche Sensorik
erreicht
90-iger Jahre Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control von
Hochschulen aufgegriffen ? Fuzzy-Technologie
keine vorübergehende Mode, sondern Revolution,
die mit Denkgewohnheiten bricht und praktisch
vorzeigbar Vorteile bringt ? neuer Zweig der
Regelungstechnik ist entstanden ?
Querschnittswissenschaft, die auch in
nichttechnischen Bereichen Vorteile
verspricht
9
Ziele der Theorie der unscharfen Mengen
Theorie der unscharfen
Mengen

• 1) Modellverbesserung (Relaxierung)
• 2) Komplexitätsreduktion
• 3) Modellierung von Unsicherheit
• 4) bedeutungserhaltendes Schließen.

10
Die wichtigste Anwendungen der unscharfen
Mengen(methodische Sicht)
Theorie der unscharfen
Mengen

• Theoretische Anwendungen
• Mathematik (Algebra, Logik usw.)
• Ökonomie
• Psychologie.

• Modellbasierte und algorithmische Anwendungen
• Unscharfe Optimierung
• Unscharfes Clustern
• Unscharfe Petri-Netze
• Unscharfe mehrkriterielle Analyse
• Unscharfe Netzplantechnik.

11
Die wichtigste Anwendungen der unscharfen Mengen
Theorie der unscharfen
Mengen

• Informationsverarbeitung
• Unscharfe Datenbanken
• Fuzzy-Programmiersprachen.

• Wissensbasierte Anwendungen
• Fuzzy Control
• Unscharfe Datenanalyse
• Fuzzy-Expertensysteme.

12
Theorie der unscharfen
Mengen
Anwendungsgebiete

• Wirtschaftswissenschaften
• Entscheidungstheorie
• Finanzdienstleistungen
• Mathematik - Topologie
• - Algebra
• - Graphen und Netze
• - Optimierung usw.
• Naturwissenschaften
• - Physik (Quantenmechanik, Strömungsdynamik)
• - Chemie (Wirkstrukturanalyse)
• - Medizin
• - Geologie, Ökologie usw.
• Ingenieurwissenschaften
• - Regelung und Steuerung (Elektrotechnik,
  Maschinenbau)
• - Automatisierung
• - Qualitätssicherung (unscharfe Datenanalyse).

13
Theorie der unscharfen
Mengen
Typen der Unsicherheit
14
Theorie der unscharfen
Mengen
Klassische Mengen
15
Theorie der unscharfen
Mengen
Klassische Mengen
Beispiel
Die Grundmenge X ist über folgende Fahrzeuge
gegeben
Dreirad Traktor Trabant VW
Golf Porsche Formel1 Flugzeug
-Wagen
ca. 2km/h 50 km/h 100 km/h 180 km/h
250 km/h 350 km/h 800 km/h
16
Theorie der unscharfen
Mengen
Klassische Mengen
Beispiel
Die Menge A der schnellen Fahrzeuge AFlugzeug
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche
Formel1 Flugzeug
17
Theorie der unscharfen
Mengen
Klassische Mengen
Beispiel
Die Menge A der schnellen Fahrzeuge AVW Golf,
Porsche, Formel1, Flugzeug
Dreirad Traktor Trabant VW Golf Porsche
Formel1 Flugzeug
18
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Mathematische Notation nach ZADEH

• für endliche unscharfe Mengen

• für stetige unscharfe Mengen

19
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
20
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Beispiel
Abb. Darstellung der unscharfen Menge
Schnell (Dreirad 0), (Traktor 0,1),
(Trabant 0,2), (VW Golf 0,4), (Porsche 0,6),
(Formel1 0,7), (Flugzeug 1).
21
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Unscharfe Mengen werden durch Zugehörigkeitsfunkti
onen (ZGF) repräsentiert. Die Art der Darstellung
ist von der Grundmenge X abhängig. X hat
endlich viele Elemente Besitzt X sehr viele
Elemente oder X ist ein Kontinuum,
z.B. kontinuierliche Messgrößen
? ? diskrete Darstellung von
ZGF parametrische Darstellung von ZGF
22
Theorie der unscharfen
Mengen
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktio
nen
1) Trapezförmige
mit a lt b lt c lt d .
2) Dreieckförmige (Trianguläre)
23
Theorie der unscharfen
Mengen
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktio
nen

• 3) Monoton fallende Funktion
• lineare Funktion (L-Funktion)

• geglättete Funktionen

24
Theorie der unscharfen
Mengen
Häufig auftretende Typen der Zugehörigkeitsfunktio
nen

• 4) Monoton steigende Funktion
• lineare Funktion (?-Funktion)

• geglättete Funktion
• (geglättete ?-Funktion)

25
Theorie der unscharfen
Mengen
Weitere Typen der Zugehörigkeitsfunktionen
Zadehs S-Funktion Die Funktion des
Exponentialtyps
26
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Definitionen
Beispiel Zimmermann, 1991
80, 100, 120, 140, 160
Träger
27
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Definitionen
28
Theorie der unscharfen
Mengen
?-Niveaumengen
29
Theorie der unscharfen
Mengen
Klassische Mengen
Operationen
30
Theorie der unscharfen
Mengen
Unscharfe Mengen
Operationen
31
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
32
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
33
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
34
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
35
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
36
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
37
Theorie der unscharfen
Mengen
Operationen von unscharfen Mengen
38
Theorie der unscharfen
Mengen
Folgerung
39
Theorie der unscharfen
Mengen
Eigenschaften von klassischen Mengen
40
Theorie der unscharfen
Mengen
Eigenschaften von unscharfen Mengen
M a, b, c
41
Theorie der unscharfen
Mengen
Eigenschaften von klassischen Mengen
42
Theorie der unscharfen
Mengen
Eigenschaften von unscharfen Mengen