V Ondes Lumineuses

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V Ondes Lumineuses
V.1 Avant propos
La lumière
Onde électromagnétique
La propagation dune onde lumineuse est donc
caractérisée par la propagation dun champ
électrique et dun champ magnétique. La théorie
régissant cette propagation a été publiée la
première fois par James Clerk Maxwell (1831-1879)
en 1873 suite à ses travaux à luniversité de
Cambridge. La vérification expérimentale de
cette théorie na été réalisée quen 1888 par
Heinrich HERTZ (1857-1894). Il créa des ondes
électromagnétiques à laide dun dispositif
électrique. Bien que ces ondes (Hertziennes, ? gt
1 m) ne soient pas des ondes lumineuses, elles
vinrent confirmer la théorie de Maxwell.
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Les champs électriques sont produits par des
charges électriques ou des magnétiques variables
dans le temps
Les champs magnétiques sont produits par des
courants ou des charges électriques en mouvement.

• Une charge électrique en mouvement est entouré
  dun champ électrique E et dun champ magnétique
  H
• Si la charge électrique est au repos il ny a
  quun champ électrique.

Champ électrique
Il traduit la propriété de lespace autour dune
charge électrique. Le champ électrique est un
champ vectoriel. On peut définir en chaque point
de lespace une quantité qui traduit laction
dune force sur une charge électrique. Cette
force sécrit
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Généralement, on utilise les lignes de champs
pour matérialiser le champ électrique dans
lespace.

• La direction des lignes de champ en un point
  correspond à la direction du champ ou encore à la
  direction de la force exercée sur une charge
  positive.
• Les lignes de champs sont dirigées dune charge
  positive vers une charge négative.

Propriétés
Le champ électrique est irrotationnel

• Les lignes de champs ne sont jamais fermées
• Les lignes de champs ne se coupent jamais

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Champ magnétique
Il traduit la propriété dune région soumise à
une induction magnétique ou densité de flux
magnétique B

• Aimant permanent
• - conducteur parcouru par un courant

De même que précédemment, on utilise les lignes
de champs pour visualiser le champ magnétique. On
prend les conventions suivantes

• La direction des lignes de champ est par
  convention du pôle nord au pôle sud.
• La tangente en un point à une ligne de champ
  donne la direction que prendrait un aimant
  dessai placé en ce point.

Propriétés

• Les lignes de champs magnétiques sont toujours
  fermées. Il nexiste pas de charges libres
  (monopôle).
• La densité des lignes de champ magnétiques est
  une mesure de la densité de flux magnétique.

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V.2 Equations de Maxwell dans le vide
Les équations de Maxwell régissent les phénomènes
faisant intervenir des champs électrique E et
magnétique B. Elles sécrivent dans un espace
vide de matière mais où il y a une densité de
charge électrique ? et une densité de courant j
comme suit
ou
ou
ou
ou
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On trouve aussi souvent la notation suivante
En définissant des nouveaux champs
Pour le vide
?0 et ?0 sont des constantes.
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Remarque Les équations de Maxwell montrent
quun champ électrique oscillant génère un champ
magnétique oscillant et réciproquement
Si maintenant on se place loin des zones de
charges (?0) et des sources de courant (j0)
Les deux premières équations sont couplées et
sont comparables aux équations obtenues pour les
ondes acoustiques. Essayons de la même façon de
découpler ces équations, prenons par exemple le
rotationnel de la première équation
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A laide de la deuxième équation de Maxwell on
peut écrire
Si maintenant on utilise les relations existantes
entre les différents opérateurs vectoriels
Equation de Propagation
On sait que
On obtient finalement une équation ne contenant
que E.
Avec
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Le même raisonnement peut être appliqué au champ
magnétique B
On sait que
Equation de Propagation
Avec
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Ces deux équations font du champ
électromagnétique une onde. Les champs électrique
E et magnétique B se propagent à la vitesse C.
On va pouvoir donc utiliser les résultats du
chapitre III
V.3 Ondes planes sinusoïdales
En ce plaçant suffisamment loin de sa source, une
onde peut être considérée comme plane. Du fait de
la linéarité des équations de propagation on
cherchera des solutions de la forme dondes
planes harmoniques. Dans le cas dune onde
progressive on écrira
Les composantes du champ magnétique sont
déterminées à laide des équations de Maxwell.
La constante C est fondamentale en physique. Par
définition du mètre, elle est égale à 299 792 458
m/s. On prend généralement 300 000 km/s. Elle
représente la limite absolu de la vitesse de
déplacement.
Avec
et
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V.3.1 Relations entre les champs
Pour simplifier les calculs nous allons ici aussi
utiliser la notation complexe.
Champ E
avec
Champ véritable partie réelle
Champ B
avec
Pour les opérateurs de dérivation on a
En injectant dans les équations de Maxwell, on
obtient
Partie réelle uniquement
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• Les deux champs sont en phase
• Les deux champs sont orthogonaux au vecteur
  donde k ? Onde transversale
• forme un trièdre directe
• Les modules des champs sont proportionnels ?

V.3.2 Polarisation
La polarisation définit lorientation du champ
électrique dans le temps.

• Polarisation elliptique
• Polarisation rectiligne
• Sans polarisation La lumière naturelle

On sait que le champ électrique est transversale
avec
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Polarisation circulaire
Cest un cas particulier de la polarisation
elliptique, on a ici
polarisation droite - polarisation gauche
Polarisation rectiligne
Cest un cas particulier de la polarisation
elliptique, on a ici
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V.4 Aspect energétique
La puissance P transportée par un champ
électromagnétique à travers une surface S est le
flux du vecteur de Poynting
Exemple dune onde plane
et
avec
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Déterminons maintenant lexpression du vecteur de
Poynting
Remarque Deux ondes polarisées dans des
directions orthogonales ninterfèrent pas. La
puissance total est donc obtenue par la somme des
carrés des amplitudes des composantes
La moyenne temporelle est égale à
ou encore
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V.5 Conditions de continuité des ondes
électromagnétiques
Milieu 1
Milieu 2
Pour établir les expressions entre les
différentes ondes (incidente, réfléchie et
transmise), il faut écrire les relations de
continuité à linterface
Onde incidente
Onde transmise
Onde réfléchie

• Soit une surface S limitée par un contour
  rectangulaire C petit.

On sait que les équations de Maxwell sont
vérifiées de partout, notamment la première
Milieu 1
A1
B1
Milieu 2
A2
B2
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En intégrant sur la surface S
En utilisant la formule de Stokes on peut écrire
ou encore
donc
Finalement
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Un raisonnement analogue sur la deuxième équation
de Maxwell conduit à
Milieu 1

• On considère maintenant la même surface mais avec
  des cylindres

Milieu 2
On sait que
? permittivité du milieu
La formule dOstrogradsky ou de la divergence,
nous permet d écrire
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Le vecteur est dirigé suivant la normale à
la surface, donc on doit juste tenir compte des
composantes normales des champs E.
Le même raisonnement sur conduit à
Finalement les 4 équations de continuité sont
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V.6 Réflexion et transmission des ondes
électromagnétiques
V.6.1 Incidence normale
On supposera que londe est polarisé
rectilignement suivant Oy ? E // Oy
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• Equation de continuité en x0

Continuité des composantes tangentielles de E
Continuité des composantes tangentielles de B
Si on utilise les valeur des indices de
réfraction des deux milieux
On peut définir les coefficients de réflexion r
et de transmission t
et
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V.6.2 Incidence quelconque
Considérons un rayon de lumière non polarisée
tombant sur linterface entre deux milieu. Les
différents paramètres du problèmes sont

• ?i Angle dincidence
• ?r Angle de réflexion
• ?r Angle de réfraction

Daprès la loi de Snell, on peut écrire des
relation entre les différents angles
Polarisation parallèle au plan dincidence
A tout instant, on peut décomposer londe
incidente en deux composantes perpendiculaires

• Une dont le champ électrique est contenu dans le
  plan dincidence ? appelée E (figure
  ci-contre)
• Une dont le champ électrique est perpendiculaire
  au plan dincidence ? appelée E? (figure page
  suivante)

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En utilisant les relations de continuité établies
précédemment, il est possible de définir des
coefficients de transmission et de réflexion pour
les deux polarisation
Polarisation perpendiculaire au plan dincidence
Londe réfléchie est alors totalement polarisée
perpendiculairement au plan dincidence. Langle
dincidence ?i correspondant est appelé angle de
Brewster.
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(No Transcript)