MODELE GEOMETRIQUE DE LA PROPAGATION DE LA LUMIERE

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Introduction à loptique géométrique
Filières SM et SMI, année 2006-2007
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Chapitre I Modèle géométrique de la propagation
de la lumière

Chapitre II Les lois de Snell-Descartes


Chapitre III Les systèmes optiques centrés


Chapitre IV Formation des images par des
surfaces simples

Chapitre V Les associations de surfaces simples


Chapitre VI Instruments doptique


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Modèle géométrique de la propagation de la lumière
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Loptique géométrique a pour but détablir les
caractéristiques de la trajectoire empruntée par
les rayons lumineux.
I Transfert d'information
Suivant lidée générale, l'information issue
de l'objet nécessite, pour activer le récepteur
(œil, appareil photographique, photocellule...),
un transport d'énergie. Il est naturel de penser
que ce transport d'énergie, donc d'information,
est la lumière.
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Les processus de transport d'énergie peuvent être
de deux sortes 
- par échange d'une particule transportant de
l'énergie cinétique,
objet
récepteur
particule matérielle
- par propagation d'une onde, transfert d'énergie
sans échange de masse.
objet
récepteur
onde
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II Rayon lumineux. Notion
fondamentale de loptique géométrique
Lénergie lumineuse se propage suivant une courbe
appelée rayon lumineux. Si les propriétés du
milieu ne dépendent pas du point considéré
(milieu homogène), alors les rayons sont
rectilignes.
Les rayons lumineux seront représentés en
indiquant le sens de la propagation de l'énergie
lumineuse.
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II.1 ? Faisceau lumineux
Un faisceau lumineux est un ensemble de rayons
lumineux.
a
O
faisceau cylindrique
faisceau conique divergent tous les rayons sont
issus d'un point O
O
faisceau conique convergent tous les rayons se
dirigent vers un point O
Un pinceau lumineux est un faisceau conique de
petite ouverture angulaire.
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II.2 ? L'indépendance des rayons lumineux
Formons sur un écran l'image A d'un objet A par
une lentille.
L'image A n'est pas modifiée si on ajoute au
dispositif optique une autre source lumineuse.
écran
A

source
La propagation de l'énergie lumineuse le long
d'un rayon lumineux est indépendante des autres
rayons lumineux.
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II.3 ? Principe du retour inverse
Si un rayon lumineux traverse un système optique
de A vers D alors, la propagation de la lumière
dans le sens opposé, c'est-à-dire de D vers A est
physiquement réalisable.
Le trajet suivi par la lumière ne dépend pas du
sens de propagation.
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II.4 ? La notion de rayon virtuel
Considérons un faisceau de rayons parallèles se
propageant parallèlement à l'axe d'une lentille
mince divergente à la sortie de la lentille, ces
rayons lumineux forment un faisceau de sommet F
à droite de la lentille, tout se passe comme si
l'on avait en F une source lumineuse ponctuelle.
On dit également que F est une source virtuelle.
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III - Limite de validité du modèle géométrique
Nous plaçons devant le rayonnement directif dun
laser, un diaphragme à ouverture circulaire
variable.
La loi de propagation rectiligne est une loi
limite, valable dans le cas des longueurs donde
faibles devant les dimensions des diaphragmes des
systèmes optiques.
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III.1 Caractère ondulatoire
Le modèle ondulatoire s'est progressivement
imposé devant l'impossibilité du modèle
géométrique à expliquer des phénomènes tel que la
diffraction, l'arc-en-ciel, le bleu du ciel...
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III.1.1 Principe de Huygens
"Les points d'égale perturbation lumineuse
forment un ensemble appelé surface d'onde. Chacun
de ces points se comporte comme une source
secondaire qui émet des ondelettes sphériques si
le milieu est isotrope. L'enveloppe de ces
ondelettes forme une nouvelle surface d'onde."
Christian Huygens (1 1)
sens de la propagation
surface donde à linstant tdt
source secondaire
surface donde à linstant t
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Surface donde à linstant tdt
Surface donde à linstant t
Ainsi, le principe de Huygens prévoit que, dans
un milieu homogène, isotrope, une onde plane se
propage en restant plane et une onde sphérique se
propage en restant sphérique.
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III.1.2 - Onde électromagnétique
Des sources diverses créent un champ
électromagnétique ( et ) qui est défini en
tout point de lespace M(x,y,z) à tout instant t.
Les variations spatiales et temporelles de ce
champ définissent une onde électromagnétique.
r
r
E
B
La vitesse de propagation v dépend de la nature
du milieu (dans le vide elle est maximale est
égale à c).
Pour une onde polarisée rectilignement, et sont
orthogonaux entre eux et dans un plan fixe.
r
r
E
B
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Une telle onde se propageant vers les x positifs
avec une vitesse v pourra avoir la forme générale

x
f

-

?
t
cos
A
E
v
A est l'amplitude de l'onde 
? est la fréquence circulaire ou pulsation. Elle
est reliée à la période T et à la fréquence ? de
la radiation par les relations 
1
?


et
?

T
T
?
?
x

-
est la phase au point x.
f
v
A un instant donné, E est une fonction
sinusoïdale de x.
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La distance ? entre deux maxima ou deux minima
successifs est appelée longueur d'onde.
??
On a alors les relations

v

ce qui définit la longueur d'onde
vT
?
ou en l'exprimant avec la fréquence ? de la
radiation
v

?
?
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III.1.3 - Spectre
Il est important de situer le phénomène lumineux
visible dans l'échelle des longueurs d'ondes ou
des fréquences.
Le domaine visible s'étend approximativement de
0,4 à 0,7 µm
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III.1.4 - Théorème de Malus
Le chemin AB devant être le plus court, le rayon
est perpendiculaire aux deux surfaces d'ondes.
Définition  Dans un milieu isotrope, les rayons
lumineux sont localement perpendiculaires aux
surfaces donde.
rayons lumineux
A
O
La notion de surface donde est primordiale dans
la théorie de propagation des vibrations. Ceci
montre limportance du théorème de Malus qui
relie directement cette notion caractéristique de
loptique ondulatoire, à la notion de rayon
lumineux qui est fondamentale en optique
géométrique.
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III.2 Caractère corpusculaire
C'est Einstein, en 1905, qui pour rendre compte
des effets photoélectriques a introduit la notion
de corpuscule de lumière ou photon l'énergie de
la lumière se propage par quanta d'énergie h?
(h 6,62?10-34 J/s est la constante de Planck et
? la fréquence du rayonnement).
Ce modèle corpusculaire ne rend pas compte de
l'aspect ondulatoire de la lumière.
On ne l'utilise que si le nombre de photons mis
enjeu est très faible.
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III.3 Electrodynamique quantique
La théorie la plus complète du rayonnement
lumineux est l'électrodynamique quantique qui
tient compte à la fois du caractère ondulatoire
et corpusculaire de la lumière.
Remarque Naturellement ces modèles ne s'excluent
pas ainsi, la trajectoire d'un photon coïncide
avec le rayon lumineux qui lui-même est confondu
avec la normale aux surfaces d'ondes.
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Un critère simple, qui ne sera pas justifié ici
repose sur la comparaison entre la dimension
caractéristique D d'un obstacle placé sur le
trajet de la lumière et la longueur d'onde ?, et
offre le choix suivant
Optique géométrique Optique ondulatoire Optique quantique
Validité D gtgt ? D ? D ltlt ?
Préoccupations Rayon lumineux, réflexion, réfraction, dispersion, photométrie Ondes lumineuses, interférence, diffraction, diffusion Processus atomiques, vibrations des molécules
Apparition 17éme 19éme 20éme
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IV Indice optique dun milieu transparent
Un milieu est transparent s'il permet la
propagation de la lumière, sans absorption.
Pour les milieux matériels, la transparence
dépend de la longueur d'onde du rayonnement.
C'est le cas des isolants comme les verres qui
sont transparents dans le visible, mais absorbent
l'infrarouge lointain et l'ultraviolet. Il n'y a
que le vide qui soit transparent à toute longueur
d'onde.
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L'indice optique n d'un milieu transparent est
défini par
c

n
v
où c est la vitesse de propagation de la lumière
dans le vide, et v la vitesse de propagation de
la phase de l'onde dans le milieu.
C'est un nombre sans dimension, toujours
supérieur à 1. Plus n est grand, plus le milieu
est dit réfringent.
Lindice n du milieu est généralement donné pour
la radiation jaune (? 589 nm), ce qui
correspond à un indice absolu moyen sur le
spectre visible.
Milieu Air Eau Crown Flint Diamant
Indice n 1,003 ?1,33 ?1,52 ?1,67 2,42
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Un milieu transparent dont l'indice optique
dépend de la longueur d'onde est dit dispersif.
C'est en fait le cas de tous les milieux
matériels, même si la variation d'indice peut
parfois être négligée sur un petit domaine
spectral.
Pour la plupart des milieux utilisés en optique,
l'indice n(?) peut s'exprimer selon la formule
empirique de Cauchy
b


a
n
où a et b sont des constantes positives pour le
verre, a ? 1,5 et b  1,5?10-14 m2.
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V - Le principe de Fermat
V.1 - Le chemin optique
Soient A et B deux points aux extrémités d'un
trajet sur un rayon lumineux et un point M de ce
rayon où la vitesse de la lumière est notée v(M).
dl
La durée de parcours de l'élément dl MM est

M
M


dt
c
c

)
M
(
n
car
Pendant cette durée dt, la lumière parcourt dans
le vide le trajet


cdt
dL
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On appelle chemin optique le long du trajet AB
l'expression
ò

d
)
M
(
n
L
l
AB
AB
Unité L étant une longueur s'exprime en mètres.
V.2 - Enoncé du principe de Fermat
Ce principe est indépendant de la nature
ondulatoire de la lumière et permet de bâtir
toute l'optique "géométrique" à partir de la
seule notion de rayon lumineux.
Pierre de Fermat (1601 1665)
Parmi tous les trajets possibles entre A et B, un
seul est emprunté par la lumière
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"Le trajet effectivement suivi par un rayon
lumineux entre deux points A et B est tel que le
temps de parcours de la lumière entre ces deux
points est stationnaire "
L
A
dM
L
B
M
Stationnaire signifie que pour une variation dM
du point M, la variation de chemin optique
dL  L - L (pour deux chemins optiques
infiniment voisins L et L) est un infiniment
petit par rapport à ?dM?.
Dans la plupart des cas, cette stationnarité
correspond à un minimum.
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V.3 - Premières conséquences
V.3.1 - Propagation rectiligne dans un milieu
homogène
Dans un milieu homogène, n cte, par suite

AB
n
L
AB
et on sait que l'arc AB minimal est la ligne
droite.
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V.3.2 - Retour inverse de la lumière
Soit entre A et B le chemin optique LAB. Nous
pouvons écrire
ò
ò
ò

-


d
)
M
(
n
)
d
)
M
(
n
d
)
M
(
n
L
(
l
l
l?
AB
BA
BA
AB
ceci, si correspond à un élément de trajet
orienté de B vers A , donc LAB  LBA
Ces deux trajets sont stationnaires le trajet
suivi par la lumière ne dépend pas du sens de
parcours.
FIN