Comment calculer le spectre d

1
Comment calculer le spectre dun signal audio

• Séance 4, très importante, 1 heure
• Version 15 mars 2005
• Auteur Jean-Paul Stromboni

Objectifs et idées clefs de la séance

• Introduire le concept de spectre dun signal
  audio et expliquer comment un ordinateur calcule
  spectre et spectrogramme avec lalgorithme de
  FFT.
• loreille perçoit le spectre, la composition
  fréquentielle des sons.
• on décrit aussi bien un son avec le signal
  associé ou avec le spectre associé
• à lorigine du spectre, la décomposition en
  séries de Fourier (19ème siècle)
• la transformation de Fourier calcule le spectre
  dun signal en temps continu
• un ordinateur utilise la transformée de Fourier
  discrète et la FFT pour calculer le spectre à
  court terme et le spectrogramme

Savez vous déjà répondre aux questions suivantes
?
Quappelle ton spectre, et quelle est linfor-mation contenue dans le spectre dun signal ? Quest ce qui fait distinguer à loreille un piano et une flûte ? Un adulte et un enfant ?
Que calcule la transformation de Fourier, et à partir de quelle information ? Quand peut-on décomposer un signal audio en séries de Fourier ?
Mais qui était J. Fourier, quand vivait-il et que cherchait il à résoudre avec ses séries ? Quel est lintérêt de la FFT ?
Quand doit-on utiliser la Transformée de Fourier Discrète ou TFD ? Dessiner une fenêtre temporelle de durée 20ms et dexpression
Le signal est-il à bande limitée ? Que valent spectre et spectrogramme de
2
Loreille humaine perçoit la composition
fréquentielle des sons, cest-à-dire le spectre

• Tout un chacun sait (plus ou moins ?)
• différencier une note grave (basse fréquence,
  donc pitch élevé) et une note aigüe (fréquence
  élevée), sur une échelle de perception
  logarithmique allant de 20Hz à 20kHz
• reproduire un LA3 à 440 Hz
• reconnaître un instrument de musique selon la
  richesse harmonique de son timbre
• comparer lintensité des notes sur une échelle
  damplitude logarithmique
• Ces informations sur un son (pitch, timbre,
  intensité) constituent son spectre
• le spectre damplitude ou spectre regroupe
  lensemble des intensités des composantes
  fréquentielles du son amplitudef(fréquence)
• un son dont le spectre (damplitude) est nul
  au-delà dune fréquence Fmax est dit à bande
  limitée
• Le spectre varie au cours du temps
• En musique, cela crée le rythme, la mélodie, ou
  encore lexpression dune interprétation
• En parole, cela permet de percevoir phonèmes,
  diphones, et aussi lintonation, ou prosodie,
• On représente lévolution temporelle du spectre
  damplitude dans un spectrogramme amplitude
  g(instant, fréquence)

3
Un son est aussi bien décrit par les valeurs
ins-tantanées du signal associé que par son
spectre

• soit s(t) lexpression temporelle du signal
  associé
• t est linstant (en seconde)
• éventuellement, s(t) est défini dans une fenêtre
  temporelle débutant en t0 et de durée T
• on note S(f) le spectre associé à s(t)
• f est la fréquence exprimée en Hertz (Hz)
• on définit S(f) comme la transformée de Fourier
  de s(t) en distinguant les cas suivants
• la décomposition en série de Fourier initiale ne
  sapplique quà s(t) de durée T (ou
  T-périodique).
• si s(t) est apériodique, S(f) TFs(t).
• si le signal est échantillonné s(nTe) , on
  utilise la transformée de Fourier discrète et on
  exécute lalgorithme de FFT qui calcule le
  spectre.
• Dans lexemple de la note pure LA3, le spectre se
  réduit à une composante de fréquence f 440 Hz
• Est-ce un signal à bande limitée ?
• Lutilisation de la fréquence et du spectre peut
  aussi simplifier certains problèmes
• La décomposition en série de Fourier a été
  proposée au 19ème siècle par J. Fourier pour
  résoudre léquation de propagation de la chaleur
  (il cherchait à estimer ainsi lage de la terre !)

4
À lorigine du spectre, la décomposition en
séries de Fourier dun signal de durée finie

• Le problème posé par Fourier consistait à décrire
  une fonction du temps s(t) de durée T avec une
  somme de fonctions sinusoïdales
• 
  
• n est entier
• le terme n de fréquence n/T est lharmonique Hn
• le terme de fréquence nulle est la composante
  continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n0)
• le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F
• Par exemple, voici la décomposition dun signal
  triangulaire défini sur lintervalle -T/2,T/2
• Préciser les amplitudes de CC, F, H3, H5 et H7

5
La décomposition en séries de Fourier établit le
spectre dun signal périodique ou de durée T

• Que vaut f(t) entre T/2 et T/2 ?
• Que vaut f(t) à lextérieur de cet intervalle ?
• Que représente le diagramme ci-dessous ?
• Quand T tend vers linfini, 1/T tend vers 0
• Les raies ci-dessus se rapprochent et le spectre
  devient une fonction continue de la fréquence.

6
La transformation de Fourier établit le spectre
dun signal quelconque

• Définition de la transformation de Fourier (i2 -
  1)
• Quelques propriétés de TF utilisées dans la suite
• Linéarité
• TFproduit de convolution produit
• Définition du produit de convolution
• Dualité de TF et TF-1 (permuter t et f, )

7
La transformation de Fourier établit le spectre
dun signal apériodique ou de durée infinie

• Quelques transformées utilisées dans la suite
• La distribution ou impulsion de Dirac
• la transformée de limpulsion de Dirac est
• Définition de la fonction peigne de Dirac
• La transformée dun peigne est un peigne

8
La transformation de Fourier établit le spectre
dun signal apériodique ou de durée infinie

• Quelques transformées utilisées dans la suite
• la transformée du cosinus contient 2 raies
• La fonction rectangle (ou fonction porte)
• La transformée de la fonction rectangle est la
  fonction sinus cardinal

9
La transformée de Fourier discrète établit le
spectre dun signal en temps discret x(nTe)

• Transformée de Fourier discrète
• La périodicité de TFD est
• On ne conserve que N échantillons successifs pour
  calculer la transformée de Fourier à court terme
• Et on ne calcule que M fréquences fk de X(f)
• On aboutit à lalgorithme de FFT (ou Fast Fourier
  Transform), car le calcul du spectre est plus
  rapide en particulier si NM2K

10
Le spectrogramme représente lévolution du
spectre à court terme au cours du temps

• On sait par exemple que le spectre du signal
  vocal est constant durant 30ms, on utilisera une
  fenêtre de 240 échantillons avec la fréquence
  déchantillonnage 8 kHz.
• On découpe laxe des temps en zones de 30
  millisecon-des (240 échantillons), et on calcule
  le spectre de chaque fenêtre par FFT 240 points.
• Le spectrogramme qui affiche tous ces résultats
  et indique donc lévolution temporelle du
  spectre.
• Spectrogramme de la note piano_c3.wav (par
  WaveLab)
• (retrouver laxe des temps et laxe des
  fréquences)

11
Calcul du spectre avec Matlab
fe8000 t01023(1/fe) s0.5cos(2pi880t)
f01023/1024fe plot(f,abs(fft(s,1024))) grid
, figure f2-512511/1024fe spec
fftshift(fft(s,1024)) plot(f2,abs(spec))
N? M?
Quest ce qui change ici ?
12
Calcul du spectrogramme avec Matlab
fe8000 t016000(1/fe) s0.5cos(2pi880t)
0.75cos(4000pit) f-512511/1024fe spec
fftshift(fft(s(11024),1024)) plot(f,abs(spec)),
grid, figure specgram(s,2048,fe,ones(1,1024))
colorbar
Fenêtre Amplitude N M
Fenêtre Amplitude N M overlap
13
Quelques propriétés de la distribution de Dirac
qui seront réutilisées dans la suite

• La distribution de Dirac peut être présentée
  comme la limite dune impulsion de largeur h et
  de hauteur 1/h quand h tend vers 0.
• En conséquence, lopération suivante permet de
  prélèver une valeur sur le signal s(t)
• Le produit de convolution par d(t-T) décale le
  signal s(t) de T

14
Revenons aux origines du spectre la
décomposition en séries de Fourier

• Le problème consiste à décrire une fonction s(t)
  de durée T sous la forme suivante
• 
  
• n est entier
• le terme n de fréquence n/T est lharmonique Hn
• le terme de fréquence nulle est la composante
  continue CC ou valeur moyenne de s(t) (n0)
• le terme de fréquence 1/T est dit fondamental F
• Fourier propose une méthode basée
  sur les propriétés des fonctions sinus et
  cosinus.
• Notons
• Et notons
• On vérifie aisément
• On en tire