Comment on filtre un signal audio

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Comment on filtre un signal audio
Séance 6, importante, 1 heure Version avril
2005 Auteur Jean-Paul Stromboni
Objectifs de la séance

• Il sagit dintroduire le concept de filtre , de
  filtre en temps discret, les propriétés et les
  représentations basiques des filtres.
• on énumère quatre propriétés importantes des
  filtres discrets
• on analyse le cas du filtre linéaire et
  stationnaire (en anglais LTI)
• on distingue des représentations équivalentes
  des filtres que lon relie à léquation aux
  différences la fonction de transfert en z, la
  réponse harmonique, la réponse impulsionnelle
• on crée un filtre discret avec Goldwave

Savez vous répondre aux questions suivantes ?
Le filtre suivant est il causal ? Quelle est la fonction de transfert du filtre
Que réalise selon vous le filtre ? Quelle est la réponse impulsion-nelle de
Ce filtre est il IIR ou FIR Comment trouver la réponse harmonique du filtre précédent ?
Celui là est il stable ? Que vaut le gain statique de
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Un filtre est un opérateur capable de modifier la
composition fréquentielle dun signal audio.

• Quand on programme un filtre, on obtient un
  filtre discret cela consiste à programmer le
  calcul des valeurs successives du signal filtré à
  partir des échantillons dun signal à filtrer
• En particulier, on utilise un banc de filtre pour
  découper des bandes de fréquences dans les
  spectres des signaux à compresser

• Traduit dans le domaine fréquentiel, filtrer
  cest multiplier le spectre du signal à filtrer
  par la réponse harmonique (ou fréquentielle) du
  filtre

entrée du filtre
signal filtré
Filtre programmé
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Linéarité, stationnarité, causalité, et stabilité
sont des propriétés essentielles des filtres

• Linéarité, le principe de superposition
  sapplique
• Stationnarité, ou invariance temporelle dit que
  la relation dentrée sortie est indépendante du
  temps
• Causalité assure quà linstant nTe, la sortie
  yn ne dépend pas dinstants futurs, (nk)Te, kgt0.
  Il faut distinguer
• signal causal, ou signal nul pour nTelt0
• filtre causal, dont la sortie reste nulle tant
  que son entrée est nulle
• Stabilité (au sens E.B.S.B) si lentrée reste
  bornée en amplitude, la sortie est bornée en
  amplitude aussi (doù lappellation E.B.S.B).

Vérifier les propriétés des filtres ci-dessous
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Léquation aux différences (ou EaD) permet de
programmer un filtre

• Voici la forme générale dune EaD
• On note léchantillon ou la valeur
• Les bk et les aj sont les coefficients du filtre,
  
• On note N lordre du filtre, et MN sa longueur
• Les xj constituent le signal dentrée du filtre
  et les yk le signal de sortie ou signal filtré.
• Un filtre qui calcule yn à partir des seuls xj
  est dit non récursif ou FIR (pour Finite Impulse
  Response)
• Un filtre qui utilise les yk, avec k lt n pour
  calculer yn est récursif ou IIR
• Exemples, pour Te 1/2000 s
• dérivateur
  discret
• filtre intégrateur discret
• 
  filtre passe bas
• filtre
  préaccentuateur

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On peut aussi représenter un filtre linéaire et
stationnaire avec sa réponse impulsionnelle
La relation dentrée sortie dun filtre linéaire
et stationnaire (LTI, pour Linear Time Invariant)
est un produit de convolution
h caractérise le filtre
Si d(nTe) est la fonction de Kronecker,
limpulsion discrète, (1 si n 0, 0 sinon), on
vérifie aisément
Si on note h(nTe) la réponse impulsionnelle,
cest-à-dire la sortie dun filtre en réponse à
lentrée d(nTe), on déduit de la linéarité et de
la stationnarité que
réponse impulsionnelle de F

• On peut donc utiliser la réponse impulsionnelle h
  (ou RI) pour caractériser un filtre LTI et
  calculer la sortie par produit de convolution de
  lentrée avec h.
• Calculer les réponses impulsionnelles de
  
  et

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La fonction de transfert en z représente le
rapport sortie sur entrée H(z)Y(z)/X(z).
On définit la transformation en z (Tz) par
adaptation de la transformation de Laplace aux
signaux discrets

1. Théorème du retard de Tz (pour Te1s)

1. Transformée en z du produit de convolution

La fonction de transfert en z sobtient à partir
de léquation aux différences par transformée en
z à conditions initiales nulles
Quelle est la fonction de transfert de ?
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La réponse harmonique regroupe les mo-difications
du spectre opérées par le filtre

• Voici par exemple la réponse harmonique RH (ou
  réponse fréquentielle) calculée par Matlab du
  filtre

• Quel est leffet du filtre sur la note pure LA3 ?
• donner le facteur datténuation ou gain
• donner le déphasage
• Quel est le gain du filtre à fréquence nulle ?
• À quelle fréquence le filtre divise til par 2 ?
• À quelle fréquence retarde til de 45 ?
• Quel est le gain minimum du filtre, et pour
  quelle fréquence ?

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On peut relier réponse harmonique, répon-se
impulsionnelle et fonction de transfert
Pour un filtre dentrée x(nTe), de sortie y(nTe)
et de réponse impulsionnelle h(nTe), on vérifie à
la fois
La réponse harmonique (ou fréquentielle) dun
filtre notée ici RH , est la transformée de
Fourier discrète (TFD) de sa réponse
impulsionnelle
De plus, la fonction de transfert dun filtre est
la transformée en z de sa réponse
impulsion-nelle, et réciproquement. En effet
cqfd !
Quelle est la périodicité de RH ?
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On peut relier réponse harmonique, répon-se
impulsionnelle et fonction de transfert
Du fait de lidentité de la transformée en z et
de la transformée de Fourier discrète du signal
h(nTe) sil est causal, on passe de lune à
lautre par un changement de variable
Question dapplication préciser les
représentations du filtre
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On détermine la stabilité E.B.S.B. et le gain
statique avec la fonction de transfert

• En utilisant la formule des résidus (donnée à
  titre documentaire en annexe) pour linversion de
  la transformée en z, on établit la condition
  suivante de stabilité au sens E.B.S.B. les
  pôles de la fonction de transfert du filtre
  doivent être tous de module strictement inférieur
  à un.

• En cas de stabilité E.B.S.B., un filtre dentrée
  constante atteint un régime permanent où la
  sortie est constante aussi. On nomme alors gain
  statique le rapport sortie sur entrée.
• Dans EaD, le régime permanent fait disparaître
  le temps n xn1 xn X, yn yn-1
  Y
• Dans FTz, faire tendre z vers 1 donne le gain
  statique

Application le filtre préaccentuateur est-il
stable ? Quel est le gain statique du dérivateur ?
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Pour créer un filtre, Goldwave utilise les
coefficients de léquation aux différences
Le menu de Goldwave Effects/Filter/User defined
permet de définir et de nommer des filtres selon
léquation aux différences
Pour le filtre monfiltre, retrouver les
coefficients a(i) et b(j) à partir de lEaD
Application comment programmer les filtres
dérivateur et pré-accentuateur précédents ?
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Voici les effets du filtre monfiltre sur le son
du fichier piano_c3.wav, fe 2kHz.
On voit la note non filtrée, puis la note filtrée
Quel est leffet de monfiltre sur piano_c3 et sur
son spectre ?
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Annexe la formule des résidus offre un moyen
dinversion de la transformée en z
Pour inverser H(z), on peut utiliser une table de
transformées en z ou la formule des résidus soit
On définit le résidu de
en pôle dordre de
par
Application inverser X(z) ci-dessous
Question à creuser comment prouver avec la
formule des résidus la condition de stabilité
EBSB donnée plus haut, sachant (1) que la
sortie dun filtre LTI est un produit de
convolution avec la réponse impulsionnelle et
(2) que la transformée en z de la réponse
impulsionnelle est la fonction de transfert ?
?