LE CERCLE AU CYCLE 3

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LE CERCLE AU CYCLE 3

• A. Husson L. Bizot M. Roirand

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SOMMAIRE

• Introduction
• Le cercle dans les programmes aux cycles 1 et 2.
• Le cercle dans les programmes au cycle 3.
• I Le cercle Définition
• II Pistes dexploitation en CE2
• III Pistes dexploitation en CM1
• IV Pistes dexploitation en CM2
• Conclusion
• Transversalité en Français
• Prolongements
• Sources

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LE CERCLE DANS LES PROGRAMMES AUX CYCLES 1 ET 2

• Compétence attendue à la fin du cycle 1
• Dessiner un rond (Découvrir le monde,
  Découvrir les formes et les grandeurs).
• Compétence attendue à la fin du cycle 2
• Reconnaître, nommer et décrire les figures
  planes et les solides usuels.
• Il faut noter que le cercle ne figure pas dans
  les programmes du cycle 2. Cependant il est
  souvent introduit pendant létude du triangle,
  du carré et du rectangle.

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le cercle dans les programmesau cycle 3

• Pour le cycle des approfondissements, les
  programmes de lécole primaire stipulent que
• L'objectif principal de l'enseignement de la
  géométrie du CE2 au CM2 est de permettre aux
  élèves de passer progressivement d'une
  reconnaissance perceptive des objets à une étude
  fondée sur le recours aux instruments de tracé et
  de mesure.
• A la fin du cycle 3, les élèves devront avoir
  acquis les compétences suivantes
• Reconnaître, décrire et nommer les figures et
  solides usuels.
• Utiliser la règle, l'équerre et le compas pour
  vérifier la nature de figures planes usuelles et
  les construire avec soin et précision.
• Formule de la longueur du cercle

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I Le cercle

• Définition
• Un cercle est une courbe plane fermée,
  constituée des points situés à égale distance
  d'un point nommé centre.
• Le terme cercle désigne uniquement la courbe ou
  circonférence, la surface étant appelée disque.
• Cette définition est adaptée au CM2, il faudra
  simplifier les termes en CE2 et CM1.

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I Pistes dexploitation en CE2

• Compétences attendues en fin de CE2
• -Vérifier la nature dune figure plane en
  utilisant la règle graduée et léquerre.
• -Construire un cercle avec un compas.
• -Reconnaître quune figure possède un ou
  plusieurs axes de symétrie, par pliage ou à
  laide du papier calque.
• -Tracer, sur papier quadrillé, la figure
  symétrique dune figure donnée par rapport à une
  droite donnée.
• -Utiliser en situation le vocabulaire côté,
  sommet, angle, milieu.

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Activités de découverte

• Les élèves disposent de verres , de gobelets ,de
  pièces de monnaie ,de boîtes de conserves
  cylindriques , de jetons et de feuilles blanches
  .
• Consigne tracer des cercles avec les objets que
  vous avez.
• Cest en construisant des objets de nature
  géométriques et en résolvant des problèmes que
  lélève sera progressivement amener à concevoir
  certaines propriétés , à les formuler ,à les
  utiliser.

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Introduction possible pour le cercle

• En Ce1 les élèves se sont exercés à reconnaître,
  nommer, décrire et tracer les figures planes
  tels le carré, le triangle, le rectangle . Les
  seuls instruments quils connaissent sont la
  règle et léquerre.
• Une situation problème est présentée aux élèves
  
•  Vous devez tracer les figures suivantes
• Un triangle , un rectangle, un carré ,et enfin
  un cercle à laide de votre règle et de votre
  équerre. 
• Problème Les élèves ne peuvent pas tracer de
  cercle avec la règle et léquerre.

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Présentation dun nouvel outil le compas
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• Un certain temps doit être consacré à la
  découverte de ce nouvel instrument . Il est
  indispensable que les élèves sexercent à
  lutiliser avant de prétendre pouvoir tracer des
  cercles.

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ACTIVITES PREPARATOIRES

• Le compas sera abordé comme un outil de
• comparaison et de report de longueur.
• Activité de report de longueur
• Matériel
• Une feuille blanche sur laquelle des points
  portant
• le nom de lettres sont situés, un compas, la
  carte
• dun pays vierge avec un seul point qui désigne
  la
• ville à découvrir.
• Lécartement du compas est déterminé par un
  segment AB figurant sur la feuille blanche.
• Les élèves doivent placer la pointe du compas sur
  la première lettre du nom de la ville et reporter
  la longueur du compas afin de trouver la seconde
  lettre de cette ville.

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• Maintenant pour découvrir la 3éme lettre, il faut
  mettre la pointe du compas sur la deuxième lettre
  de la ville et conserver le même écartement AB.
  Et ainsi de suite pour découvrir les autres
  lettres.
• Enfin, les élèves doivent joindre tous les points
  dans lordre pour découvrir le nom de cette
  ville.
• Cet exercice permet aux élèves dutiliser et
• de manier le compas afin de reporter une
• même longueur.
• Autre activité Le report de longueur sur une
• seule et même droite pour comparer des
• périmètres chaque report étant matérialisé
• par un arc de cercle.

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• Les élèves peuvent reporter bout à bout la
  longueur des côtés de chacune des figures sur
  deux droites différentes et mesurer la longueur
  totale des segments obtenus sur chaque droite
  pour connaître le plus long périmètre.
• Autre activité de manipulation du compas
  Sentraîner à tracer des cercles
• Scénario de construction pour tracer le cercle
• -Placer un point
• -Placer la pointe du compas sur le point
• -Faire pivoter le crayon du compas en
• appuyant bien sur la pointe et aller jusquau
• point de départ .

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Activités proposées en CE2

• 1)Enigmes
• Faire tracer deux cercles de centre A un de
• rayon 4 cm et lautre de rayon 7 cm.
• Proposer des énigmes du type
• Je suis un point situé à 9 cm du point A.
• Je suis dans la région bleue Vrai ou faux?
• Je suis dans la zone rose Vrai ou faux?
• Je suis dans la région blanche Vrai ou faux?

A
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• Je suis à 4 cm de A . Où suis je?
• Je suis un point à lextérieur du petit cercle et
  à moins de 7 cm du point A . Où suis-je?
• 2) Message
• Faire jouer les élèves par deux chacun place un
  point dans une région ou sur un cercle et rédige
  un message pour que le voisin , qui na pas eu
  connaissance du choix fait ,le découvre.
• 3) Le vocabulaire
• Tracer sur une feuille blanche et/ou sur du
  papier calque un grand cercle. Découvrir par le
  pliage, le diamètre , le rayon , les axes de
  symétrie du cercle.

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I Pistes dexploitation en CM1

• Compétences attendues en fin de CM1
• Utiliser en situation le vocabulaire géométrique
  segment, milieu, angle, axe de symétrie, centre
  dun cercle, rayon, diamètre.
• Vérifier la nature dune figure plane simple en
  utilisant la règle graduée, léquerre et le
  compas.
• Décrire une figure en vue de lidentifier parmi
  dautres figures ou de la faire reproduire.
• Compléter une figure par symétrie axiale.
• - Tracer une figure simple à partir dun
  programme de construction ou en suivant des
  consignes.

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Une possibilité de séquence en CM1

• Séance 1 Quest-ce quun cercle ?
• Séance 2 Comment tracer un cercle ?
• Séance 3 Utiliser les propriétés du cercle.
• Séance 4 Construire une figure simple à partir
  dun programme de construction.
• La séquence proposée peut-être traitée seule
• ou intégrée à une séquence sur les figures
• planes.

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Séance 1

• Objectifs
• Connaître le vocabulaire géométrique du cercle
  (centre, cercle, diamètre, rayon)
• Découverte
• Donner une ½ feuille (A5) à chaque élève, sur
  laquelle un point A est placé en son milieu.
• Consigne   Placez une vingtaine de points
  distants de 4 cm du point A.  (montrer des
  exemples si besoin).
• Mise en commun
• Que constatez-vous ? A quoi ressemble le tracé ?
  (un cercle)
• Faire remarquer que tous les points distants de
  4 cm vont se trouver sur le cercle.
• En arriver à la conclusion Un cercle est
  l'ensemble des points situés à égale distance
  d'un point, qui est le centre du cercle. 

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Séance 1 suite

• Phase dinstitutionnalisation
• Demander aux élèves ce quils savent à propos de
  cette figure,
• cest à dire du cercle.
• Les élèves parleront peut-être des termes de
  rayon, diamètre,
• centre
• Si les élèves utilisent ces termes leur demander
  de venir expliquer
• aux autres de quoi il sagit sur le cercle au
  tableau.
•  Sinon ou sil manque des termes 
• Dire oralement en plaçant les points et en
  traçant  Au tableau nous
• avons un cercle de centre A et de rayon AB. Je
  place aussi CD un
• diamètre de ce cercle.
•  Demander les particularités des points A, B, C,
  D.
• (B,C,D sont sur le cercle de centre A  AB-AC-AD
  sont des rayons du
• cercle  CD est un diamètre).
• Expliquer / Rappeler les termes de centre, rayon,
  diamètre.
• Synthèse et trace écrite Ecrire la définition
  du cercle dans le cahier.

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Séance 2

• Objectifs
• Utiliser le compas pour tracer un cercle.
• Connaître le vocabulaire géométrique du cercle
  (centre, cercle, diamètre, rayon)
• Rappel de la définition du cercle et du
  vocabulaire associé à cette notion.
• Recherche collective Je voudrais que vous
  reproduisiez cette figure avec sa légende sur vos
  cahiers mais comment allez vous faire ? Qui peut
  mexpliquer ?
• Un débat commence sur la méthode de construction
  du cercle.
• Les élèves mentionneront certainement lutilité
  du compas.
• Rebondir en demandant   A quoi sert un
  compas ? Comment lutilise-t-on ?
• Sils nen parlent pas, présenter loutil
  visuellement.  
• Inviter un élève à venir au tableau reproduire
  la figure.
• Un élève viendra montrer comment on trace un
  cercle avec un compas, il mettra en avant le fait
  quavec le compas on peut reporter une longueur
  (celle du rayon dans notre cas ou celle des
  points C, D)
• Entraînement au tracer de cercles libre puis avec
  des mesures données par le maître.
• Observations Le diamètre est égal à deux fois le
  rayon. Plus le rayon est grand, plus le cercle
  est grand (introduire la notion de disque).
• Synthèse et trace écrite Tracer et légender un
  cercle de 3 cm de rayon sous la définition écrite
  la veille.

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Séance 3

• Objectifs
• Utiliser le compas pour tracer un cercle.
• Comprendre et appliquer la définition du cercle.
• Rappel de la définition du cercle et du
  vocabulaire associé à cette notion.
• Situation problème Jeu du trésor. Les élèves
  doivent trouver un point sur une carte en
  saidant dindications telles que Le trésor est
  caché à plus de 5 cm de la maison, moins de 3 cm
  de la bibliothèque et exactement 6 cm de lécole
• Cette activité ludique à pour but dillustrer la
  définition du cercle et permet aux élèves de
  sentraîner à reporter une mesure et tracer avec
  un compas.
• Mise en commun Explication et comparaison des
  procédures.
• Synthèse orale Retour sur la définition du
  cercle et la prise de mesures avec le compas.

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Un exemple simple du jeu du trésor
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Séance 4

• Objectifs
• Utiliser le compas correctement.
• Construire une figure simple à partir dun
  programme de
• construction.
• Explication de lactivité Insister sur le fait
  que le programme de construction vise à tracer
  une seule figure car les élèves ont tendance à
  construire une figure pour chaque consigne.
• Entraînement Construire une figure en
  respectant le programme donné.
• Correction collective Les élèves justifient et
  expliquent leurs productions.
• Synthèse et trace écrite Fiche sur la
  construction dune figure.
• Activité complémentaire Déterminer entre 3
  programmes de construction lequel correspond à la
  figure donnée.

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III Pistes dexploitation en CM2

• 1/ DEFINITION DU CERCLE ET VOCABULAIRE
  SPECIFIQUE.
• Ces aspects ayant été abordés en CM1, il sagit
  essentiellement dune
• remémoration des connaissances antérieures sur le
  cercle. Il peut être
• intéressant de commencer la séquence par un
  problème nécessitant la
• mobilisation de ces connaissances.
• OBJECTIFS
• - Comprendre que le cercle est un ensemble de
  points situés à la même distance dun autre point
  appelé centre.
• - Comprendre et savoir utiliser le vocabulaire
  géométrique cercle, centre du cercle, rayon,
  diamètre.
•  
• Exemple de petit problème
• 20 bateaux partis de différents endroits sont en
  route pour la Réunion dans le
• cadre d'une course. Ils sont actuellement ex-æquo
  à 800 m de lîle. En
• remplaçant 800m par 8cm sur ton dessin, reproduis
  cette situation en plaçant
• les bateaux à la bonne distance de lîle.

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• Comparer les différentes symbolisations de lîle
  utilisées par les élèves. Symbolisation la plus
  simple un point noté I (île).
• Mettre en évidence que la méthode qui consiste à
  tracer un cercle de rayon 8cm est plus efficace
  que celle dans laquelle on place 20 points à 8cm
  de lîle.
• On retrouve alors la définition du cercle
  ensemble de points situés à la même distance dun
  autre point appelé centre du cercle.
• Le cercle est tracé au tableau en notant I le
  centre et en désignant A et B deux bateaux
  diamétralement opposés et C un autre bateau.
  Interroger les élèves sur la nature du point I,
  centre du cercle, des segments AI, BI et
  CI, rayons du cercle, du segment AB, diamètre
  du cercle.
• Faire remarquer aux élèves que la longueur du
  diamètre est égale au double de celle du rayon et
  quil existe une infinité de cercle et de rayons.

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• Remarque
• Si le terme n'apparaît pas dans les programmes,
  il peut être intéressant
• d'aborder la notion de disque. Certains élèves
  ont en effet tendance à
• les confondre et à employer le terme cercle pour
  désigner la surface
• comme la circonférence.
• Exemple de problème
• Dans un champ dherbe, un mouton est attaché à un
  piquet par une
• corde de 9 m.
• Consigne Représente la situation et colorie la
  surface où peut brouter
• le mouton.
• Maintenant, le fermier décide dattacher le
  mouton à son piquet avec
• une barre en fer de la même longueur que la
  corde.
• Consigne Change de couleur pour montrer où le
  mouton va pouvoir
• brouter de lherbe.
• Remarque
• Le vocabulaire  arc de cercle  peut également
  être abordé
• (souvent employé en géométrie).

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2/ reproduction, CONSTRUCTION

• Les problèmes de reproduction ou de
  constructions de
• configurations géométriques diverses mobilisent
  la connaissance
• des figures usuelles. Ils sont l'occasion
  d'utiliser à bon escient le
• vocabulaire spécifique et les démarches de
  mesurage et de
• tracé.
• Remarque
• Les programmes de construction restent complexes
  pour les
• élèves de cycle 3 en particulier lorsquil sagit
  den produire .
• Cependant, leur élaboration permet aux élèves de
  vivre la
• nécessaire précision du vocabulaire et de la
  succession des
• différentes étapes de tracés.

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• EXEMPLE DE PROGRESSION
• Reproduire une figure complexe constituée de
  plusieurs cercles.
• Reproduire une figure complexe constituée de
  plusieurs figures planes (dont le cercle).
• Pouvoir expliquer oralement sa démarche de
  reproduction.
• Trouver parmi plusieurs programmes de
  construction lequel correspond à la figure
  présentée.
• A partir d'un programme de construction,
  construire une figure
• complexe constituée de plusieurs figures planes
  (cercle(s), carré(s),
• rectangle(s), triangle(s) rectangle(s)).
• Elaborer le programme de construction d'une
  figure complexe
• constituée de plusieurs figures planes dont le
  cercle après avoir
• reproduit cet ensemble de figure.

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• Il peut être intéressant délaborer un programme
  de construction
• collectivement, par exemple à destination dune
  autre classe.
• Lensemble de figures peut être crée par les
  élèves.
• Une grille décriture dun programme de
  construction peut être
• envisagée en lien avec les textes prescriptifs en
  français.
• Exemple d'activité en binômes
• La moitié de la classe a une figure complexe
  composée de plusieurs
• Figures planes, l'autre moitié en a une autre.
• Chaque élève reproduit sa figure puis élabore un
  programme de
• construction.
• Les 2 élèves du binôme s'échangent leur programme
  de construction
• et chaque élève doit construire la figure
  décrite.
• La validation se fait par comparaison avec la
  figure d'origine.

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3/ Le périmètre d'un cercle

• Dans la partie Grandeurs et mesures des
  programmes figure la
• formule de la longueur du cercle i.e périmètre
  ou circonférence.
• Formule P p D ou P 2 p R avec p
  3,14 au centième près.
• Il y a donc nécessité d'introduire Pi (ainsi que
  la touche Pi de la
• calculatrice).
• OBJECTIF Calculer le périmètre d'un cercle en
  utilisant sa formule.
•  
• PRE-REQUIS Savoir calculer le périmètre du carré
  et du rectangle.
• Multiplication d'un
  nombre entier par un nombre décimal.
•  
• Le nombre Pi peut être introduit de différentes
  façons pour que
• les élèves lui donnent du sens et ainsi éviter de
  le présenter aux
• élèves arbitrairement.

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• Mettre en évidence que le périmètre d'un cercle,
  c'est un
• peu plus de 3 fois son diamètre.
• Par groupes de 3 ou 4, les élèves tracent un
  cercle dans la
• cour avec le grand compas de classe.
• Comment mesurer la circonférence ?
• Recueil des idées des élèves
• - avec la règle voir que ce n'est pas possible
  compte tenu
• de la différence de forme même si lon considère
  des toutes
• petites portions de cercle.
• - certains élèves peuvent penser au rapporteur
  vue sa forme.
• - avec quelque chose de souple comme de la
  ficelle qu'on
• dépliera ensuite.

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• Doit-on renouveler cette opération à chaque fois
  qu'on doit mesurer la
• circonférence d'un cercle ? Discussion pour
  trouver une méthode plus
• efficace.
• Quelle était la seule mesure vérifiable ou connue
  avant de tracer le cercle?
• Rayon ou diamètre.
• Combien de fois le rayon ou le diamètre est-il
  contenu dans la
• circonférence?
• On ne peut pas car le rayon est droit, et le
  cercle est courbe.
• Rappeler alors lutilisation de la ficelle.
• Et on se rapproche de la formule car le diamètre
  est contenu 3 fois,
• mais il en reste un peu...
•  
• Présenter Pi comme un nombre qui arrondi est égal
  à 3,14 et permet de
• calculer la longueur du cercle par la formule P
  p D
• Amener les élèves à remarquer que si l'on utilise
  la formule en
• remplaçant le diamètre par le rayon multiplié par
  2 on obtient le même
• résultat car le diamètre est égal au double du
  rayon.

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• Travail en lien avec la proportionnalité
•   Approximation du rapport entre la circonférence
  et le diamètre.
• Dans "J'apprends les maths CM2" (Brissiaud), on
  propose de tracer des cercles de
• diamètre 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm,7cm,8cm sur une
  feuille A4.
• Puis découper dans une autre feuille A4, 7 bandes
  de papier de longueur 29,7cm et de
• largeur 2cm pour mesurer les périmètres des
  cercles tracés.
• Remplir un tableau de 2 colonnes (diamètre et
  périmètre en cm). Laisser la première
• ligne du tableau qui correspond à un cercle de
  diamètre 1cm.
• Poser les questions quelle est la différence
  entre le périmètre du cercle de diamètre
• 8cm et celui du diamètre 7cm ? Même question avec
  les deux cercles de diamètre 7cm et
• 6cm...
• Peut-on prévoir approximativement le périmètre
  d'un cercle de 1cm de diamètre, c'est-à-
• dire la valeur de l'unité?
• Vérification Trace un cercle de 1cm , mesure le
  périmètre et complète la première ligne du
• tableau.
• L'élève découvre Pi.

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Transversalité en français

• Lélaboration de programmes de construction en
  CM2, bien que complexe, peut-être loccasion de
  travailler la production décrit en français. En
  effet, cet exercice nécessite de maîtriser la
  syntaxe et la conjugaison des phrases
  injonctives.
• Pour réaliser cette activité les élèves devront
  aussi mobiliser le vocabulaire géométrique avec
  une grande précision et respecter lorganisation
  spatiale de ce type dénoncé.

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ProlongenemtsTICE

• Pour trouver la liste de sites contenant des
  activités en ligne
• www.cartables.net
• www.espacefr-education.com
• www.espacefr.com
• Logiciel Carmetal
• Logiciel Geogebra

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Prolongement en Arts visuelsKandinsky
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Sources

• Les programmes de lécole primaire,B.O. du 19
  juin 2008
• Manuel de maths CE2, collection diagonale, 2003
• Manuel PE2, hachette éducation
• De la maternelle à luniversité, bulletin de
  lAPMEP, numéro 419
• Pour apprendre la géométrie en dessinant
• www.crdp.ac-grenoble.fr
• Les cercles dans les œuvres de Kandinsky
• www3.ac-nancy-metz.fr
• Aide mémoire de géométrie
• www.mapmev.info
• Apprentissages géométrique et résolution de
  problèmes, Hatier ERMEL