Modellierung von Mehrk

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Modellierung von Mehrkörpersystemen

• In dieser Vorlesung werden einige spezielle
  Probleme behandelt, die die Modellierung
  komplexer mechanischer Systeme begleiten.
• Es wird erklärt, wie diese Probleme in Dymola
  angegangen worden sind.
• Insbesondere wird die Wahl der Zustandsvariablen
  und der Konnektoren erläutert.
• Es wird aufgezeigt, wie Matrizenkalkül es
  ermöglicht, die Definitionen äusserst kompakt zu
  halten.

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Übersicht

• Mehrkörpersysteme
• Wahl der Zustandsvariabeln
• Kinematische Schleifen
• Mechanische Konnektoren
• Mechanische Körper
• Mechanische Gelenke
• Beispiel

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Was ist ein Mehrkörpersystem?

• Ein Mehrkörpersystem besteht aus einer
  Kombination mechanischer Teile, die miteinander
  verbunden sind und sich im dreidimensionalen Raum
  bewegen.

Hmm! Vielleicht noch nicht das allerschnittigste
Modell
aber Abstraktion ist ja schliesslich alles.
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Die Wahl der Zustandsvariablen

• Bisher wurden bei den mechanischen Systemen, die
  wir betrachtet haben, die Differentialgleichungen
  immer mit den Massen gekoppelt. Dies schien
  sinnvoll zu sein, da das DAlembertsche Prinzip
  ja für die einzelnen Massen definiert werden
  muss.
• Eine Masse, die fest mit der Erde (d.h. mit dem
  Inertialsystem) verankert ist, führt aber nicht
  zu Differentialgleichungen. Differentialgleichung
  en gibt es erst, wenn sich die Masse relativ zum
  Inertialsystem bewegt.
• Somit mag es sinnvoller sein, die Integratoren
  mit den Relativbewegungen zwischen Körpern zu
  identifizieren. Dies wurde in der
  Mehrkörpersystembibliothek (MKS Bibliothek) von
  Dymola auch so implementiert.
• In der MKS Bibliothek werden die
  Relativpositionen und Relativgeschwindigkeiten
  zwischen miteinander verbundenen Körpern als
  Zustandsvariabeln definiert.

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Strukturelle Singularitäten I

• Bei der getroffenen Wahl der Zustandsvariablen
  ergeben sich keine strukturellen Singularitäten
  bei Mehrkörper-systemen in Baumstruktur.
• Bei kinematisch geschlossenen Schleifen ergeben
  sich strukturelle Singularitäten, da solche
  Strukturen weniger Freiheitsgrade aufweisen als
  Verbindungen zwischen benachbarten Körpern. Man
  denke zum Beispiel ans Scherengitter, welches nur
  einen Freiheitsgrad aufweist.

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Strukturelle Singularitäten II

• Um die strukturellen Singularitäten zu vermeiden,
  wird eines der Gelenke bei jeder kinematisch
  geschlossenen Schleife als Schneidegelenk (cut
  joint) definiert.
• Schneidegelenke definieren keine Integratoren und
  vermeiden dadurch die Einführung struktureller
  Singularitäten. Dies ist effizienter, als sich
  auf den Pantelides Algorithmus zu verlassen.

y
x
Schneidegelenke
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Algebraische Schleifen

• Geschlossene kinematische Schleifen führen
  unweigerlich auch zu bösen algebraischen
  Schleifen in den resultierenden
  Gleichungssystemen. Diese sind normalerweise
  sehr gross, da sie sich über alle Variablen der
  kinematischen Schleife erstrecken.
• Das automatische Auffinden geeigneter
  Schneide-variablen ist teuer und ineffizient.
• Die Schneidegelenke von Dymola enthalten
  An-weisungen, die es dem Schneidealgorithmus
  er-möglichen, schnell geeignete Schneidevariablen
  zu ermitteln.

constrain(q, qd, qdd)
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Wahl der Potential- und Flussgrössen

• Die MKS Bibliothek stellt sich auf den
  Standpunkt, dass die Position eines Körpers (und
  damit auch dessen Geschwindigkeit und
  Beschleunigung) ein Potential darstellt, während
  die Kräfte, die auf den Körper einwirken, als
  Flussgrössen angesehen werden.
• Das Inertialsystem definiert somit die
  Potentialgrössen und setzt sie zu null
  (entsprechend dem elektrischen Potential beim
  elektrischen Erdknoten).

?
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Mechanische Konnektoren
connector Frame Position r03 "Abstand des
Frames vom Inertialsystem" Real S3,
3 "Transformationsmatrix des Frames zum
Inertialsystem" Velocity v3 "Absolute
Geschwindigkeit des Frames" AngularVelocity
w3 "Absolute Winkelgeschwindigkeit des
Frames" Acceleration a3 "Absolute
Beschleunigung des Frames"
AngularAcceleration z3 "Absolute
Winkelbeschleunigung des Frames" flow Force
f3 "Am Frame angreifende Kraft" flow
Torque t3 "Am Frame angreifendes
Drehmoment" end Frame
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Mechanische Körper I

• Mechanische Körper definieren das DAlembert
  Prinzip für die angreifenden Kräfte und
  Drehmomente.

model BodyBase "Inertia and mass properties of a
rigid body" extends Frame a Mass m
Position rCM3 "Distance from frame to center of
gravity" Inertia I3, 3 equation f
m(a cross(z, rCM) cross(w, cross(w,
rCM))) t Iz cross(w, Iw) cross(rCM,
f) end BodyBase
Das DAlembertsche Prinzip wird sodann für den
Schwerpunkt formuliert.
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Mechanische Körper II
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Mechanische Körper III
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Mechanische Körper IV
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Mechanische Körper V
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Mechanische Körper VI
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Mechanische Körper VII
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Mechanische Gelenke I
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Mechanische Gelenke II
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Kausalitäten I

• Die Kausalität der Gleichungen hängt ab vom
  gestellten Problem.
• Beim direkten Problem (dem Simulationsproblem)
  sind die Kräfte und Drehmomente gegeben, während
  die Bewegung gesucht wird.
• Beim inversen Problem (dem Planungsproblem) sind
  die gewünschten Bewegungen vorbestimmt, während
  die Kräfte und Drehmomente, die eingesetzt werden
  müssen, um die gewünschten Bewegungen zu
  erzielen, gesucht sind.

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Kausalitäten II

• Die Effizienz des erzeugten Codes hängt sehr
  stark von der Formulierung der Gleichungen ab.
  Kleine Änderungen der Formulierung können die
  Effizienz so verändern, dass die Anzahl
  resultierender Gleichungen am Ende entweder
  linear mit der Anzahl Körper steigt oder mit
  deren vierter Potenz.
• Aus diesem Grund verlässt sich die MKS Bibliothek
  nicht auf die automatische Umwandlung der
  Gleichungen unter Verwendung des Pantelides
  Algorithmus und der Heuristiken zur Ermittlung
  kleiner Sätze von Schnitt-variablen.

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Kausalitäten III

• Die Matrizenschreibweise, die bisher verwendet
  wurde, ist zwar sehr elegant und kompakt und
  darum gut geeignet für den Unterhalt der MBS
  Bibliothek, sie eignet sich aber nicht für das
  automatische Umformen der Gleichungen.
• Aus diesem Grund werden in Modelica alle
  Matrizengleichungen vor der Ermittlung der
  Kausalität symbolisch expandiert.

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Ein Beispiel I
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Ein Beispiel II
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Ein Beispiel III
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Ein Beispiel IV
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Ein Beispiel V
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Referenzen

• Otter, M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1996),
  Modeling of Multibody Systems with the
  Object-Oriented Modeling Language Dymola, J.
  Nonlinear Dynamics, 9(1), pp.91-112.