Processamento de Linguagem Natural

1

• Processamento de Linguagem Natural
• Ilson Wilmar Rodrigues Filho, Dr.
• http//www.inf.ufsc.br/ilson
• ilson_at_inf.ufsc.br
• João Bosco da Mota Alves, Dr.
• jbosco_at_inf.ufsc.br

2
Bibliografia

• BARROS, F. A. ROBIN, J. Processamento de
  Linguagem Natural. Departamento de Informática,
  Universidade Federal de Pernambuco, Recife, março
  de 1997.
• FERNANDO, P. MENEZES, B. Linguagens Formais e
  Autômatos. Porto Alegre Instituto de Informática
  da UFRGS Sagra Luzzatto Editores, 1997.
• GAL, A. LAPALME, G. Prolog for Natural
  Language Processing. John Wiley Sons Ltd.,
  1991.
• GAZDAR, G. MELLISH, C. Natural Language in
  Prolog. Addison-Weslwy Publishing Company, 1989,
• JOSÉ NETO, J. Introdução à Compilação. Rio de
  Janeiro. LTC Livros Técnicos e Científicos
  Editora S. A., 1987.

3
Bibliografia

• MONARD, M. C. NICOLETTI, M. do C. Programas
  Prolog para Processamento de Listas e Aplicações,
  Janeiro de 1993 Versão 2.0
• MOREIRA, N. Processamento de Linguagem Natural,
  Mestrado de Lingüística Portuguesa Descritiva,
  Faculdade de Letras da Universidade do Porto
• NUNES, M. das G. V. at al. Introdução ao
  Processamento das Línguas Naturais. São Carlos
  Notas Didáticas do ICMC No. 38, Instituto de
  Ciências Matemáticas e de Computação, 1999.
• PINERO, R. B. Lenguajes Formales y Autómatas.
  Centro de Inteligencia Artificial, Instituto
  Tecnológico y de Estudios Superiores de
  Monterrey. Enero de 1997.
• TOWSEND, C. Técnicas Avançadas em Turbo Prolog,
  Rio de Janeiro Editora Campus, 1990.

4
Avaliação

• Exercícios para serem resolvidos individualmente
  e um
• trabalho (que pode ser feito em grupo) que deve
  ser
• entregue no dia da apresentação (seminário).
• Média Final N1 x 0.4 N2 x 0.3 N3 x 0.3
• onde N1 Média Aritmética dos exercícios
• N2 Nota do Trabalho
• N3 Nota da Apresentação do trabalho
  (seminário)

5
Processamento de Linguagem Natural

• O processamento de linguagem natural é o
  estudo dos sistemas computacionais para
  compreensão e geração de línguas naturais faladas
  e escritas.

6
Divisões do PLN

• lingüística computacional ou processamento de
  linguagem natural tratamento da língua escrita.
  
• reconhecimento e síntese de voz tratamento da
  língua falada.

7
Outras Denominações

• Processamento de Linguagem Natural
• Inteligência Artificial
• Lingüística Computacional Lingüística
• Outros termos propostos Processamento
  Computacional das Línguas, Engenharia da
  Linguagem. Especificamente para a língua
  portuguesa tem sido sugerido Processamento
  Computacional do Português, Processamento
  Computacional da Língua Portuguesa.

8
Histórico

• PLN nasceu com o computador
• 2a Guerra militares americanos tinham interesse
  de traduzir automaticamente conversações gravadas
  dos russos
• A comunidade científica precisava de traduções de
  trabalhos estrangeiros - a cada dia fazia-se
  novas descobertas científicas.

9
Tradução Automática

• A possibilidade de fazer tradução automática de
  publicações sobre tecnologia e ciência deixou os
  cientistas animados.
• Essa foi uma das razões para que pesquisas fossem
  financiadas na área.

10
Primeiros Sistemas de PLN

• Primeiros trabalhos sobre PLN
• tradução automática - começaram em
• 1946. Eram trabalhos sobre tradução
• russo-inglês.
• ? tradução palavra por palavra
• ? traduções listas de palavras
• chaves.

11
Histórico

• ? 1948 Preocupação com as regras de construção
  de frases foi levada em consideração (num
  trabalho do inglês Pichens).
• ? Primeiro congresso sobre tradução automática
  foi realizado no ano de 1952, nos EUA, no MIT
  Massachusetts Institute of Technology com a
  participação de 18 pesquisadores.

12
O Relatório ALPAC

• ? Relatório ALPAC (Automatic Language
  Processing Advisory Comitee) - relatório
  encomendado pelo governo norte-americano à
  Academia de Ciências daquele país sobre as
  pesquisas em tradução automática. O relatório
  publicado em 1966 teve um teor fortemente
  negativo que provocou o corte das verbas de
  financiamento

13
Renascimento do Interesse na Tradução Automática

• ? Anos 80 renascimento do interesse na tradução
  automática, na Europa, em função da criação da
  Comunidade Européia.
• ? 1982 projeto EUROTRA - sistema de
• tradução automática para nove línguas
• de países que constituíam a Comunidade
• Européia.

14
Modelos Conceituais

• ? Modelos formais ou modelos
• baseados em regras
• ? Modelos estatísticos
• ? Modelos conexionistas

15
Áreas de Aplicação de técnicas de PLN

• (1) Acesso a banco de dados
• (2) Recuperação de informação
• (3) Extração de informação
• (4) Tradução automática
• (5) Geração de resumos.

16
Acesso a Banco de Dados

• ? Acesso a banco de dados são feitos usualmente
  utilizando-se query languages

17
Recuperação de Informação

• ? Recuperação de Informação é o estudo e
  desenvolvimento de técnicas que permitam
  encontrar documentos relevantes de uma coleção de
  documentos.

18
Recuperação de Informação
19
Extração de Informação

• ? Na extração de informação procura-se por
  informações diretamente nos textos , mostrando a
  informação ao invés de documentos.
• ? Técnicas utilizadas baseadas na busca de
  determinadas palavras chaves (denominadas de
  tags), tais como
• - Nome de pessoas
• - Nome de empresas

20
Tradução Automática

• ? Tradução automática é a tradução por
• computador de frases dadas numa língua para
  
• outra língua.
• ? Os primeiros trabalhos utilizavam
• dicionários bilingües e faziam
  tradução
• palavra a palavra.
• ? A teoria lingüística começou a ser
  incorporada
• nos sistemas de tradução automática
  com os
• trabalhos de Noam Chomsky.

21
Gramática

• ? Segundo Chomsky, o conhecimento que o falante
  de uma língua natural teria da mesma poderia ser
  descrita através de um conjunto finito de regras.
• ? Tais regras seriam universais, ou seja,
  valeriam para todas as línguas. Elas poderiam
  gerar um número infinito de frase de uma língua.
• ? Uma frase seria gramatical (pertencente à
  língua) ou agramatical (não pertencente à
  língua).

22
Problemas em Processamento de Linguagem Natural

• ? Homonímia Lexical um exemplo clássico é manga
  parte de uma peça de vestuário destinada a
  cobrir os braços / manga fruto da mangueira

23
Problemas em Processamento de Linguagem Natural

• ? Ambigüidade sintática a sentença aceita duas
  análises sintáticas diferentes. Exemplo
• Viajando pela primeira vez para a
• Europa, cruzei com um grupo de jovens
• brasileiros.
• Quem viajou pela primeira vez? Eu ou o
• grupo de jovens brasileiros?

24
Problemas em Processamento de Linguagem Natural

• ? Ambigüidade de Escopo Percebe-se às vezes que
  a sentença indica dois ou mais escopos. Exemplos
• Apesar de ser exímio advogado, o procurador da
  Universidade não cumpre todas as disposições
  estatutárias.
• Essa sentença poderia significar que
• - O procurador descumpre todas as disposições
  (Des- cumpre todas tem por norma violar a
  legislação)
• O procurador cumpre as disposições, mas não todas
  (não tem por norma violar a legislação, mas
  comete falhas).

25
Problemas em Processamento de Linguagem Natural

• ? Diferentes correferências possíveis é a
  compatibilidade de um anafórico com dois ou mais
  antecedentes distintos, também chamada de
  ambigüidade anafórica.
• Exemplo O ladrão entrou na casa do prefeito e
  tirou toda a sua roupa.

26
Conhecimento do Mundo

• ? A compreensão da linguagem natural implica num
  determinado grau de conhecimento do mundo.
• Exemplo "as mães com filhos menores de dez
  anos".
• Tal expressão poderia er as seguintes
  representações lógicas
• 1. x ? y, M(x,y) i(y) lt 10
• 2. x ? y, M(x,y) i(x) lt 10
• 3. x ? (y,z), M(x,y) M(x,z) i(y) lt 10
  i(x) lt 10
• onde M(x,y) significa x é mãe de y
• i(x) significa idade de x
• i(y) significa idade de y.

27
Fases do Desenvolvimento de um Sistema de PLN

• (1) Análise morfológica
• (2) Análise Sintática
• (3) Análise Semântica
• (4) Análise do Discurso
• (5) Análise Pragmática.

28
Análise Morfológica

• ? É o estudo da estrutura e da classificação das
  palavras em função do uso
• substantivos artigos
• adjetivos advérbios
• pronomes preposições
• verbos conjunção
• numerais interjeição

29
Regras morfológicas

• ? As línguas naturais possuem regras morfológicas
  que produzem as possíveis variantes de cada
  palavra. Exemplo
• construir tem como variantes, entre outras,
  
• construção e construído.
• Um pedaço da palavra (constru) se repete nas
  demais, que receberam a aposição do que chamamos
  de sufixos. Este pedaço de palavra que se mantém
  nas variantes, chamamos de lexemas.

30
Análise Sintática

• ? É o estudo das unidades básicas da
• linguagem - as sentenças.
• ? Na fase da análise sintática, o sistema de
• processamento de linguagem natural
• verifica se a seqüência das palavras nas
• sentenças são válidas para a gramática
• utilizada.

31
Análise Semântica

• ? Durante a análise semântica, utiliza-se a
  estrutura gerada durante a análise sintática para
  construir outras estruturas que representem o
  significado das sentenças.
• ? Formalismos utilizados nesta fase do
• processamento de linguagem natural podem ser
• classificados em fracos e fortes
• ? Formalismos fracos redes semânticas e
• frames
• ? Formalismos fortes gramáticas de
• casos, dependência conceitual e scripts.

32
Análise do Discurso

• ? Análise do discurso é a identificação da
  estrutura do discurso. O discurso é também
  organizado em unidades constituídas por um mais
  elementos denominados segmentos do discurso.

33
Análise Pragmática

• ? Na análise pragmática são estudados os
  enunciados, ou seja, os significados das frases,
  sob o ponto de vista dos interlocutores. Esta
  análise é de suma importância principalmente nos
  diálogos onde é preciso determinar as intenções
  dos interlocutores.

34
Fundamentos Matemáticos para o Processamento de
Linguagem Natural
35
Conjuntos

• ? Conjunto é uma coleção de objetos, distintos,
  de qualquer espécie (definição intuitiva).
• ? Aos objetos do conjunto
  denominamos elementos do conjunto.
• ? Os elementos do conjunto
  distinguem-se uns dos outros, ou seja,
  não há repetição de elementos no
  conjunto.

36
Relação de Pertinência entre Elemento e Conjunto

• ? Vamos supor o conjunto das vogais
• V a,e,i,o,u
• ? Para indicar que u pertence ao conjunto V e que
  b não pertence, escrevemos
• u ? V
• b ? V

37
Relação de Pertinência entre Elemento e Conjunto

• ? Em Prolog, vamos utilizar listas
• V a,e,i,o,u
• pertence(u,a,e,i,o,u).
• not(pertence(b,a,e,i,o,u).

38
Listas

• ? Uma lista em Prolog é uma coleção de elementos
  separados por vírgulas e dentro de colchetes. O
  primeiro elemento da lista é denominado cabeça de
  lista e os demais elementos formam uma lista
  denominada cauda da lista.

39
A Relação pertence/2

• ? a relação pertence/2 pode ser estabelecida
  através de duas regras
• (1) Um objeto pertence a uma lista se ele for a
  cabeça da lista
• (2) Um objeto pertence a uma lista se ele
  pertence à cauda da lista.

40
pertence/2 em Visual Prolog

• Domains
• stringlist string
• Predicates
• nondeterm pertence(string,stringlist)
• Clauses
• pertence(X,X_).
• pertence(X,_T)-
• pertence(X,T).

41
pertence/2 - Exemplos

• ? Goal pertence(u,a,e,i,o,u).
• yes
• ? Goal not(pertence(b,a,e,i,o,u)).
• yes

42
pertence/2 - Exemplos

• ? Se quisermos saber quais os objetos de um
• dado conjunto (por exemplo a,e,i,o,u),
• perguntaríamos em Prolog
• Goal pertence(X,a,e,i,o,u).
• X a
• X e
• X i
• X o
• X u
• 5 Solutions

43
Conjunto Vazio

• ? Um conjunto sem objetos, denominado
• conjunto vazio, é denotado por ou ?.
• Para utilização de Prolog vamos representar
  
• o conjunto vazio por , ou seja,
• ?

44
Subconjunto

• ? Um dado conjunto A é subconjunto de B se e
  somente se todo elemento de A pertence também a
  B, que se representa como
• A ? B
• e dizemos que o conjunto A está contido no
  conjunto B, ou ainda que B contém A
• B ? A

45
Subconjunto

• em Prolog, teremos
• esta_contido(A,B).
• contem(B,A).

46
esta_contido/2

• Domains
• stringlist string
• Predicates
• nondeterm esta_contido(stringlist,stringlist
• nondeterm pertence(string,stringlist)
• Clauses
• esta_contido(,_).
• esta_contido(H1T1,L2)-
• pertence(H1,L2),
• esta_contido(T1,L2).

47
esta_contido/2 - Exemplos

• Goal esta_contido(,c,b,a).
• yes
• Goal esta_contido(a,b,c,b,a).
• yes
• Goal esta_contido(a,b,b,a).
• yes
• Goal esta_contido(b,a,c,b,a).
• yes

48
contem/2

• Domains
• stringlist string
• Predicates
• nondeterm contem(stringlist,stringlist)
• nondeterm esta_contido(stringlist,stringlist)
• Clauses
• contem(B,A)-
  esta_contido(A,B).

49
contem/2 - Exemplos

• Goal contem(a,b,).
• yes
• Goal A a, B a,e,i,o,u,
• contem(B,A).
• A a
• B a,e,i,o,u
• yes

50
eh_subconjunto/2

• ? Para verificar se um conjunto A é subconjunto
  de um conjunto B podemos criar o predicado
  eh_subconjunto/2, que responda sim ou não
  (yes/no) caso A seja subconjunto ou não de B.
  Basta utilizar uma das relações definidas
  (esta_contido/2 ou contem/2)

51
Igualdade de Conjuntos

• ? Dois conjuntos A e B são iguais quando qualquer
  elemento que pertence a A pertence também a B e
  vice-versa (todo elemento que pertence a B
  pertence também a A), isto é A B, se, e
  somente se,
• A ? B e B ? A.

52
igual/2

• Predicates
• nondeterm igual(stringlist,stringlist)
• Clauses
• igual(A,B)-
• esta_contido(A,B),
• esta_contido(B,A).

53
igual/2 - Exemplos

• Goal A a,b,c, B b,c,a,
• igual(A,B).
• A a,b,c
• B b,c,a
• 1 Solution
• Goal igual(a,b,c,b,a,c).
• yes
• OBS Note-se pelos exemplos acima que a ordem dos
• elementos dentro do conjunto não importa. Dados
  dois
• conjuntos, se eles tiverem os mesmos objetos,
  eles são
• considerados iguais.

54
Conjunto Potência

• ? Seja A um conjunto. Definimos como
  conjunto potência de A ou conjunto das partes de
  A, ao conjunto cujos elementos são os
  subconjuntos de A. Sua denotação é 2A. Assim
• 2A S S ? A

55
subconjunto/2

• ? Para definir em Prolog um predicado que dê
  todos os subconjuntos de um conjunto dado
  formando o seu conjunto potência, vamos definir
  um predicado que gere subconjuntos que vamos
  denominar de subconjunto/2.

56
subconjunto/2 - regras

• 1 - Se A é um conjunto vazio ele só pode gerar um
  
• conjunto vazio B
• 2 - Se o primeiro elemento do conjunto A estiver
• também no subconjunto B (vamos colocá-lo na
• cabeça de B, pois como não importa a ordem
  dos
• elementos de um conjunto vamos escolher esta
• ordem preferencialmente), então a cauda de B
  é
• subconjunto da cauda de A
• 3 - Se o primeiro elemento do conjunto A não está
  no
• subconjunto gerado B, então B é um
  subconjunto da
• cauda de A.

57
subconjunto/2 - regras

• ? Esta três regras são escritas da seguinte
  maneira
• em Prolog
• (1) subconjunto(,).
• (2) subconjunto(CabecaACaudaA,CabecaACaudaB)
  -
• subconjunto(CaudaA,CaudaB).
• (3) subconjunto(_CaudaA,ConjuntoB)-
• subconjunto(CaudaA,ConjuntoB).

58
subconjunto/2 - regras em Visual Prolog

• Predicates
• nondeterm subconjunto(stringlist,stringlist)
• Clauses
• subconjunto(,).
• subconjunto(CabecaACaudaA,CabecaACaudaB)-
• subconjunto(CaudaA,CaudaB).
• subconjunto(_CaudaA,ConjuntoB)-
• subconjunto(CaudaA,ConjuntoB).

59
subconjunto/2 - Exemplo

• Goal subconjunto(a,s,d,SUB).
• SUB a,s,d
• SUB a,s
• SUB a,d
• SUB a
• SUB s,d
• SUB s
• SUB d
• SUB ''
• 8 Solutions

60
Conjunto Potência

• ? O conjunto potência que é o conjunto formado
  por
• todos os subconjuntos de um dado
  conjunto poderá ser
• agora definido como
• Domains
• stringlist string
• llstring stringlist
• Predicates
• nondeterm potencia(stringlist,llstring)
• Clauses
• potencia(,).
• potencia(A,P)-
• findall(X,subconj(A,X),P).

61
Conjunto Potência - Exemplo

• Goal potencia(a,s,d,P).
• P a,s,d,a,s,a,d,a,s,d,s,d,''
• 1 Solution

62
Número de Elementos do Conjunto Potência

• ? O número de elementos do conjunto das partes de
  um conjunto (ou conjunto potência) de n elementos
  é 2n.
• ? Se A tiver 3 elementos, o conjunto das partes
  de A terá 23 8 elementos.

63
Exercício

• ? Determinar em Visual Prolog o tamanho do
  conjunto potência definindo o predicado tamanho/2

64
Solução

• Predicates
• tamanho(llstring,integer)
• Clauses
• tamanho(,0).
• tamanho(_Cauda,TAM)-
• tamanho(Cauda,TamCauda),
• TAM TamCauda 1.

65
Operações com Conjuntos

• ? Com conjuntos pode-se executar
• algumas operações básicas tais como
• união
• intersecção
• diferença..

66
União de Conjuntos

• ? Dados dois conjuntos A e B, a união destes
  conjuntos, é o conjunto formado com todos os
  elementos que pertencem a A ou a B.
• ? A união é representada por
• A ? B

67
União de Conjuntos - Regras

• 1. A união de um conjunto vazio com um conjunto
• qualquer A é o próprio conjunto A
• 2. Dados dois conjuntos A e B, se a cabeça de A
  também pertence a B a união de A com B será
  igual à união da cauda de A com B pois como a
  cabeça de A também pertence a B, este elemento
  aparecerá no conjunto formada pela união de B com
  a cauda de A
• 3. Se a cabeça de A não pertencer a B o conjunto
  união terá
• como cabeça a cabeça de A e como cauda a
  união da cauda de
• A como o conjunto B.

68
Exercício

• ? Construir em Prolog as regras que definem a
  união de dois conjuntos

69
Solução

• Predicates
• nondeterm uniao(stringlist,stringlist,stringlist).
  
• Clauses
• uniao(,C,C).
• uniao(CabecaACaudaA,ConjuntoB,ConjuntoUniao)-
• pertence(CabecaA,ConjuntoB),!,
• uniao(CaudaA,ConjuntoB,ConjuntoUniao).
• uniao(CabecaACaudaA,ConjuntoB,CabecaACaudaUni
  ao)-
• not(pertence(CabecaA,ConjuntoB)),
• uniao(CaudaA,ConjuntoB,CaudaUniao).

70
União de Conjuntos - Exemplos

• Goal uniao("3","5","7","1","2","4","6",UNIAO).
  
• UNIAO "3","5","7","1","2","4","6"
• 1 Solution
• Goal uniao("1","2","3","2","3","4","5",U).
• U "1,"2","3","4","5"
• i Solution

71
Intersecção de Conjuntos

• ? Dados dois conjuntos A e B, a intersecção de A
  e B é o conjunto formado com os elementos que
  pertencem a ambos ao mesmo tempo. A intersecção é
  indicada por
• A ? B

72
Intersecção de Conjuntos - Regras

• 1. A interseção de um conjunto vazio com um
  conjunto qualquer, é um conjunto vazio
• 2. Dados dois conjuntos A e B, se a cabeça de A
  também pertencer a B, o conjunto interseção
  também terá como cabeça, a mesma cabeça de A, e a
  sua cauda será formada pela interseção da cauda
  de A com o conjunto B
• 3. Se a cabeça do conjunto A não pertence ao
  conjunto B, então, o conjunto interseção será
  obtido pela interseção da cauda de A com o
  conjunto B.

73
Exercício

• ? Construir em Prolog, as regras que determinam a
  intersecção de conjuntos.

74
Solução

• Domains
• stringlist string
• Predicates
• nondeterm intersecao(stringlist,stringlist,stringl
  ist)
• Clauses
• intersecao(,_,).
• intersecao(Cabeca_ACauda_A,Conjunto_B,Cabeca_A
  Cauda_Intersecao)-
• pertence(Cabeca_A,Conjunto_B),!,
• intersecao(Cauda_A,Conjunto_B,Cauda_Interse
  cao).
• intersecao(Cabeca_ACauda_A,Conjunto_B,Interseca
  o)-
• not(pertence(Cabeca_A,Conjunto_B)),
• intersecao(Cauda_A,Conjunto_B,Intersecao).
  

75
Diferença de Conjuntos

• ? Dados dois conjuntos A e B, denomina-se
  diferença A - B ao conjunto formado pelos
  elementos de A menos os elementos que pertencem
  ao mesmo tempo a A e a B.
• ? Sejam A a,b,c,d,e e B a,e,i,o,u.
• A - B b,c,d.

76
Diferença de Conjuntos Regras

• 1. A diferença entre um conjunto vazio e um
  conjunto qualquer, é um conjunto vazio
• 2. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, se a
  cabeça de A não pertencer a B, o conjunto
  diferença também terá como cabeça, a mesma cabeça
  de A, e a sua cauda será formada pela diferença
  entre a cauda de A com o conjunto B
• 3. Se a cabeça do conjunto A pertencer também ao
  conjunto B, então, o conjunto diferença será
  obtido pela diferença da cauda de A com o
  conjunto B (porque este elemento será eliminado
  não fazendo parte do conjunto diferença).

77
Exercício

• ? Construir em Prolog as regras que definem a
  diferença de dois conjuntos

78
Solução

• Predicates
• nondeterm diferenca(stringlist,stringlist,stringli
  st)
• Clauses
• diferenca(,_,).
• diferenca(Cabeca_ACauda_A,Conjunto_B,Cabeca_A
  Cauda_Diferenca)-
• not(pertence(Cabeca_A,Conjunto_B)),
• diferenca(Cauda_A,Conjunto_B,Cauda_Diferenca
  ).
• diferenca(Cabeca_ACauda_A,Conjunto_B,Diferenca)
  -
• pertence(Cabeca_A,Conjunto_B),
• diferenca(Cauda_A,Conjunto_B,Diferenca).

79
Complemento

• ? Dados dois conjuntos A e B, denominamos
  complemento de B em relação a A ao conjunto
• A B xx ? A e x ? B
• ? Se tivermos por exemplo os seguintes conjuntos
  A a,s,d,f,g e B d,f,h,j, então
• A B a,s,g e B A h

80
Exercício

• ? Construir em Prolog as regras que definem o
  complemento de B em relação a A.

81
Solução

• Predicates
• nondeterm complemento(stringlist,stringlist,string
  list)
• Clauses
• complemento(B,A,C)-
• diferenca(A,B,C).

82
Par Ordenado

• ? Par ordenado é o par formado por dois elementos
  de maneira que cada um deles deve manter a sua
  posição em relação ao outro, ou seja, o primeiro
  elemento do par será sempre o da esquerda e o
  segundo elemento do par será o da direita.
• ? se os elementos a e b formam um par
  ordenado teremos
• (a,b)

83
Produto Cartesiano

• ? Sejam os conjuntos A e B. Podemos formar com os
  elementos dos conjuntos A e B, um conjunto de
  pares ordenados de forma que o primeiro elemento
  do par seja do conjunto A e o segundo elemento do
  conjunto B.
• ? A este conjunto de pares ordenados
• denominamos de produto cartesiano.

84
Produto Cartesiano - Exemplo

• A ponte1, ponte2
• B madeira, concreto, ferro
• Podemos formar o conjunto dos seguintes pares
• ordenados
• (ponte1,madeira),(ponte1,concreto),(ponte1,ferro)
  ,
• (ponte2,madeira),(ponte2,concreto),(ponte2,ferr
  o)

85
Tarefa

• ? Programar em Prolog o produto
• cartesiano