MATHMATIQUES FINANCIRES I

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• Seizième cours

2
Rappel

• Annuité dont les paiements forment une suite
  arithmétique
• Annuité croissante
• Annuité décroissante
• Annuité dont les paiements forment une suite
  géométrique

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Considérons une annuité ayant n paiements dont le
premier est de P dollars et les paiements
suivants sont obtenus en ajoutant Q dollars avec
chaque paiement. Ces paiements sont faits en fin
de période et nous supposerons que la période de
paiement coïncide avec la période de
capitalisation de lintérêt.
Rappel
Ainsi le premier paiement est de P dollars, le
deuxième est de (P Q) dollars, le troisième est
de (P 2Q) dollars, ainsi de suite jusquau
dernier au montant de (P (n - 1)Q) dollars.
Noter que Q peut être négatif. Tout ce que nous
supposerons est que (P (n - 1)Q) gt 0.
4
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
Rappel
5
La valeur actuelle est alors
Rappel
6
La valeur accumulée à la fin de la ne période (au
dernier paiement) de cette annuité formant une
suite arithmétique est
Rappel
7
Rappel
Annuité croissante
Il sagit dune annuité de fin de période ayant n
paiements, dont le premier est de 1 et pour
laquelle les paiements subséquents sont obtenus
en additionnant 1 avec chaque paiement. Il
sagit dune annuité dont les paiements forment
une suite arithmétique avec P 1 et Q 1 (selon
nos notations précédentes)
8
Rappel
Annuité croissante (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de
la première période de paiement est notée par
La valeur accumulée de cette annuité à la fin de
la dernière période de paiement est notée par
9
Rappel
Annuité croissante (suite)
Nous obtenons
et
10
Rappel
Annuité décroissante
Il sagit dune annuité de fin de période ayant n
paiements, dont le premier est de n dollars et
pour laquelle les paiements subséquents sont
obtenus en soustrayant 1 avec chaque paiement.
Il sagit dune annuité dont les paiements
forment une suite arithmétique avec P n et Q
-1 (selon nos notations précédentes)
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Rappel
Annuité décroissante (suite)
La valeur actuelle de cette annuité au début de
la première période de paiement est notée par
La valeur accumulée de cette annuité à la fin de
la dernière période de paiement est notée par
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Rappel
Annuité décroissante (suite)
Nous obtenons en posant P n et Q -1 dans nos
formules précédentes que
et
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Rappel
Annuité en progression géométrique
Considérons une annuité de fin de période ayant n
paiements, dont le premier est de 1 et pour
laquelle les paiements forment une progression
géométrique de raison (1 k), où k gt -1,
cest-à-dire les paiements sont obtenus en
multipliant successivement le paiement précédent
par (1 k) .
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Rappel
Annuité en progression géométrique (suite)
Ainsi le premier paiement est de 1 dollar, le
second est de (1 k) dollars, le troisième est
de (1 k)2 dollars et ainsi de suite. Le me
paiement est de (1 k)(m - 1) dollars. Le
dernier paiement est de (1 k)(n - 1).
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Rappel
Annuité en progression géométrique (suite)
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
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Rappel
Annuité en progression géométrique (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur
actuelle L est
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Rappel
Annuité en progression géométrique (suite)
Le diagramme dentrées et sorties est le suivant
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Rappel
Annuité en progression géométrique (suite)
Nous obtenons algébriquement que la valeur
accumulée X est
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Rente perpétuelle en progression arithmétique
Considérons une rente perpétuelle dont les
paiements sont faits en fin de période, le
premier paiement est de P dollars et avec chaque
paiement, nous additionnons Q dollars. Ici P et Q
sont plus grand ou égaux à 0. Notons par L la
valeur actuelle de cette rente perpétuelle
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Rente perpétuelle en progression arithmétique
Nous avons le diagramme suivant
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Rente perpétuelle en progression arithmétique
Alors nous obtenons que
22
Exemple 1
Arlette a accumulé un capital de 100 000 avec
lequel elle veut acheter une rente perpétuelle
dont le paiement à la me année est de mR dollars.
Ces paiements sont faits à la fin de lannée et
le premier paiement est fait à la fin de la
première année. Déterminer R si le taux
dintérêt est le taux effectif dintérêt de 5
par année.
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Exemple 1 (suite)
Dans ce cas, P R et Q R.
Léquation de valeur à t 0 est
24
Exemple 1 (suite)
Dans ce cas, P R et Q R.
Léquation de valeur à t 0 est
Donc R 238,10.
25
Rente perpétuelle en progression géométrique
Considérons une rente perpétuelle dont les
paiements sont faits en fin de période, le
premier paiement est de 1 dollars et avec chaque
paiement, nous multiplions par (1 k). Notons
par L la valeur actuelle de cette rente
perpétuelle.
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Rente perpétuelle en progression géométrique
Nous avons le diagramme dentrées et sorties
27
Rente perpétuelle en progression géométrique
Nous avons
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Exemple 2
Bernard veut acheter une rente perpétuelle dont
les paiements sont faits à la fin de chaque mois.
Les paiements mensuels de la 1ère année sont de 1
000 et ces paiements sont indexés de 2 avec
chaque année. Déterminons la valeur actuelle de
cette rente si le taux dintérêt est le taux
nominal dintérêt de 6 par année capitalisé à
tous les mois.
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Exemple 2 (suite)
Le taux dintérêt par mois est 6/12 0,5. Nous
avons le diagramme
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Exemple 2 (suite)
Les 12 paiements mensuels de la me année sont
1000(1,02)m-1. Nous pouvons regrouper ces 12
paiements en un seul paiement annuel
Nous obtenons alors une rente dont les paiements
forment une rente perpétuelle en progression
géométrique.
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Exemple 2 (suite)
Il nous faut déterminer le taux effectif
dintérêt par année équivalent au taux nominal
dintérêt i(12) 6. Ce taux sera i
6,167781186. Aussi k 2. Donc
cest-à-dire que L 295 974,33.
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CHAPITRE VITaux de rendement
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• Nous décrirons deux situations
• le taux de rendement anticipé dun projet
  dinvestissement
• le taux de rendement réalisé dans un fonds
  dinvestissement.

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Supposons quun investisseur engage les dépenses
et gagne des recettes dans le cadre dune
transaction financière ou encore dun projet,
alors nous noterons par R0, R1, R2, ... , Rn
les recettes nettes ( recettes brutes moins les
dépenses) initiale et pour les 1ère, 2e, ... , ne
périodes. P(i) désignera la somme des valeurs
actuelles des recettes nettes au taux i.
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P(i) est une fonction de i et nous supposerons
que i gt -1. Pour un i donné, P(i) peut être
positif, nul ou négatif.
Le taux de rendement de la transaction est le
taux dintérêt i pour lequel P(i) 0.
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Exemple 3
Zénon développe un nouveau produit sur 7 ans. Il
déboursera les dépenses et gagnera les recettes
brutes suivantes
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Exemple 3 (suite)
Donc
Le graphe de P(i) est
38
(No Transcript)
39
En utilisant lalgorithme de Newton-Raphson ou
encore une calculatrice financière (par exemple
BA-II Plus), nous obtenons que le taux de
rendement est i 15,588973
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Rien ne nous assure de lunicité du taux de
rendement. Par exemple, si nous considérons la
transaction suivante
41
Donc
Le graphe de P(i) est
42
(No Transcript)
43
Dans cet exemple, il y a deux taux dintérêt i
pour lesquels P(i) 0, à savoir i 4 et i
11. Nous allons maintenant donner un critère
qui fait en sorte que le taux de rendement est
unique. Ceci est une conséquence de la règle des
signes de Descartes.
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Règle des signes de Descartes Soit un polynôme
de degré n en x P(x) anxn an-1xn-1 ...
a1 x a0, où an non nul. Alors le nombre de
racines réelles positives de P(x), en tenant
compte des multiplicités, est plus petit ou égal
au nombre de changement de signes de la
sous-suite des coefficients non-nuls de la suite
an, an-1, ... , a2, a1, a0. De plus ce nombre de
racines réelles positives a la même parité que le
nombre de changement de signe mentionné
ci-dessus.
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Exemple 4
Considérons le polynôme P(x) x4 - 2x3 - 3x2
8x - 4 (x - 1)2(x 2)(x - 2) Nous devons
considérer la suite 1, -2, -3, 8, -4 et il y a 3
changements de signes. Il y a 3 racines réelles
positives 1, 1, 2 (en tenant compte des
multiplicités).
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Conséquence
Si, dans une transaction financière, il existe un
entier m tel que toutes les recettes nettes Rt
ont le même signe pour t plus petit ou égal à m
et ont le signe opposé pour t gt m, alors le taux
de rendement est unique.
En effet, il y a exactement un seul changement de
signes.
Il existe dautres critères pour lunicité du
taux de rendement. Nous vous référons aux notes
de cours.
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Analyse au moyen du taux de rendement

• Supposons que R0 lt 0 et Rn gt 0 dans ce qui
  suivra.
• Si le taux de rendement est unique et négatif,
  alors les recettes brutes sont strictement
  inférieures aux dépenses, (linvestisseur perd de
  largent).
• Si le taux de rendement est unique et nul, alors
  les recettes brutes sont égales aux dépenses.
• Si le taux de rendement est unique et positif,
  alors les recettes brutes sont strictement
  supérieures aux dépenses, (linvestisseur gagne
  de largent).

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Exemple de réinvestissement

• Alice prêt à Balthazar 25 000. Ce dernier a
  trois options pour rembourser ce prêt.
• Dans la première option, Balthazar rembourse
  Alice en faisant un seul paiement après 4 ans.
• Dans le deuxième option, Balthazar paie
  lintérêt à chaque année pendant 4 ans et remet
  le 25 000 à la fin de la quatrième année
• Dans la troisième option, Balthazar fait 4
  versements égaux à la fin de chaque année pendant
  4 ans.

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Exemple de réinvestissement (suite)
Le taux dintérêt du prêt est de 9 par année peu
importe loption avec laquelle Balthazar
remboursera son prêt. Alice réinvestit les
versements de Balthazar au taux dintérêt de 7
par année. Déterminons le taux de rendement
pour Alice de cette transaction pour chacune des
options.
50
Exemple de réinvestissement (suite)
Option 1 Le flux financier pour Alice est
où X est le montant remboursé par Balthazar.
51
Exemple de réinvestissement (suite)
Ici X 25 000(1,09)4 35 289,54 P(i) -25 000
352898,54(1 i)-4. Nous cherchons i1 tel que
P(i1) 0. Nous obtenons facilement que i1 9
par année.
52
Exemple de réinvestissement (suite)
Option 2 Le flux financier pour Alice est
où X est le montant accumulé par le
réinvestissement des paiements dintérêt par
Balthazar et le 25 000.
53
Exemple de réinvestissement (suite)
Les paiements annuels dintérêt sont 25000(0,09)
2250. Ces paiements sont réinvestis à 7. Nous
avons le diagramme.
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Exemple de réinvestissement (suite)
Ainsi nous obtenons que
Donc P(i) -25 000 34988,87(1 i)-4. Nous
cherchons i2 tel que P(i2) 0. Nous obtenons
facilement que i2 8,76786 par année.
55
Exemple de réinvestissement (suite)
Option 3 Le flux financier pour Alice est
où X est le montant accumulé par le
réinvestissement des paiements de remboursement
du prêt par Balthazar.
56
Exemple de réinvestissement (suite)
Si R désigne le paiement annuel fait par
Balthazar, nous avons léquation
Ces paiements sont réinvestis au taux de 7 par
année. Nous avons le diagramme suivant pour le
réinvestissement.
57
Exemple de réinvestissement (suite)
Donc
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Exemple de réinvestissement (suite)
Donc P(i) -25 000 34261,80(1 i)-4. Nous
cherchons i3 tel que P(i3) 0. Nous obtenons
facilement que i3 8,19758 par année.
59
Exemple de réinvestissement (suite)
Nous avons ici que i3 lt i2 lt i1 , parce que
leffet du réinvestissement à 7 par année se
fait plus sentir pour loption 3 que pour
loption 2. Notons aussi quil ny a aucun
réinvestissement dans la première option.
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Exemple 6
Reprenons lexemple précédent. Quel est le taux
dintérêt quAlice doit demander sur le prêt à
Balthazar dans chacune des options 2 et 3 pour
obtenir un taux de rendement de 9 par année
comme dans la première option?
Dans le cas de la deuxième option, notons par i
le taux dintérêt recherché. Alors à la fin de
chaque année, Alice recevra 25000i dollars
quelle réinvestira.
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Exemple 6 (suite)
Le montant accumulé par le réinvestissement et le
paiement de 25000 est
Comme nous voulons un taux de rendement de 9 par
année, nous obtenons facilement léquation
62
Exemple 6 (suite)
Donc i 9,2699751 par année.
Si nous considérons maintenant loption 3 et que
nous notons aussi le taux dintérêt recherché par
i. Alors le versement annuel pour rembourser le
prêt sera
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Exemple 6 (suite)
Ces paiements sont réinvestis à 7 par année.
Après réinvestissement et parce que nous voulons
un taux de rendement de 9, nous avons
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Exemple 6 (suite)
Ceci est équivalent à léquation
Donc i 10,35929487