MATHMATIQUES FINANCIRES I

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

• (ACT2025)
• Robert Bédard

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CHAPITRE IIntérêt et escompte
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Lintérêt et sa mesure

• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital
  versera à un prêteur pour l'utilisation de cette
  somme pendant un certain temps.

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Lintérêt et sa mesure

• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital
  versera à un prêteur pour l'utilisation de cette
  somme pendant un certain temps.
• C'est aussi ce que le prêteur demande à
  l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas
  pouvoir utiliser le montant prêté pendant la
  durée du prêt.

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Lintérêt et sa mesure

• L'intérêt est ce qu'un emprunteur d'un capital
  versera à un prêteur pour l'utilisation de cette
  somme pendant un certain temps.
• C'est aussi ce que le prêteur demande à
  l'emprunteur à titre de compensation pour ne pas
  pouvoir utiliser le montant prêté pendant la
  durée du prêt.
• Les deux parties doivent se mettre d'accord sur
  ce montant.

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Quelques facteurs agissant sur le montant
d'intérêt demandé

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en
  vigueur

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Quelques facteurs agissant sur le montant
d'intérêt demandé

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en
  vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de
  l'emprunteur

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Quelques facteurs agissant sur le montant
d'intérêt demandé

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en
  vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de
  l'emprunteur
• L'inflation

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Quelques facteurs agissant sur le montant
d'intérêt demandé

• Le marché, c'est-à-dire les taux d'intérêt en
  vigueur
• Le risque de défaut de paiement de la part de
  l'emprunteur
• L'inflation
• Autres conditions afférentes disposition
  permettant à l'emprunteur de régler son prêt plus
  tôt,

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Exemple 1

• Alexandre emprunte 20 000 à la banque pour
  lachat dune automobile. Il rembourse ce prêt en
  faisant 48 paiements mensuels de 450 à la fin de
  chaque mois.
• Lintérêt payé par Alex à la banque sera
• 48 X 450 - 20 000 1
  600.
• (Montant remboursé) - (montant emprunté)

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Exemple 2

• Bobby emprunte 5 000 à Cléo. Il rembourse ce
  prêt en faisant deux paiements 2 000 après deux
  ans et 5 000 après six ans.
• Lintérêt payé par Bobby à Cléo sera
• (2000 5000) - 5000
  2000.
• (Montant remboursé) - (montant
  emprunté)

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Une transaction financière banale est
l'investissementd'une somme d'argent à intérêt.
Il suffit de penser à un dépôt dans un compte
dépargne à la banque.Dans une telle
situation, le montant initial est appelé
leprincipal ou le capital, le montant total reçu
après une période de temps est appelé la valeur
accumulée et la différence entre les deux
l'intérêt.
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CONVENTION

• Nous désignerons par t le temps écoulé depuis
  la date de l'investissement avec comme convention
  que t 1 signifie qu'une année s'est écoulée
  depuis l'investissement initial. Cette unité de
  temps est appelée la période (de capitalisation)
  et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour
  linstant d'une année à moins d'avis contraire.

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CONVENTION

• Nous désignerons par t le temps écoulé depuis
  la date de l'investissement avec comme convention
  que t 1 signifie qu'une année s'est écoulée
  depuis l'investissement initial. Cette unité de
  temps est appelée la période (de capitalisation)
  et comme nous l'avons indiqué, celle-ci sera pour
  linstant d'une année à moins d'avis contraire.
• Nous utiliserons le dollar comme unité monétaire
  dans ce cours. Mais nous aurions tout aussi bien
  pu utiliser l'euro, le yen,... Ceci n'a aucune
  incidence pour les concepts présentés.

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Il existe plusieurs mesures de lintérêt!
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Par exemple,

• Taux effectif dintérêt

17
Par exemple,

• Taux effectif dintérêt
• Taux nominal dintérêt

18
Par exemple,

• Taux effectif dintérêt
• Taux nominal dintérêt
• Taux effectif descompte

19
Par exemple,

• Taux effectif dintérêt
• Taux nominal dintérêt
• Taux effectif descompte
• Taux nominal descompte

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Par exemple,

• Taux effectif dintérêt
• Taux nominal dintérêt
• Taux effectif descompte
• Taux nominal descompte
• Taux instantané dintérêt ou force de lintérêt

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Lintérêt peut aussi croître de plusieurs façons.
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Exemples de formes de capitalisation communes de
lintérêt

• Intérêt simple

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Exemples de formes de capitalisation communes de
lintérêt

• Intérêt simple
• Intérêt composé

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Exemples de formes de capitalisation communes de
lintérêt

• Intérêt simple
• Intérêt composé
• Escompte simple

25
Exemples de formes de capitalisation communes de
lintérêt

• Intérêt simple
• Intérêt composé
• Escompte simple
• Escompte composé

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Pour définir tous ces concepts, il nous faut
premièrement parler de la fonction de
capitalisation.
27
Considérons l'investissement de 1 de principal
et désignons alors par a(t) lemontant total
accumulé au temps t. Alors a(t) est la
fonction de capitalisation.
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Exemple 3 (Intérêt simple) a(t) (1 it)
29
Exemple 4 (Intérêt composé) a(t) (1 i)t
30
Exemple 5
31
Exemple 6
32
Propriétés anticipées de la fonction de
capitalisation

• a(0) 1

33
Propriétés anticipées de la fonction de
capitalisation

• a(0) 1
• a(t) est une fonction croissante

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Propriétés anticipées de la fonction de
capitalisation

• a(0) 1
• a(t) est une fonction croissante
• a(t) est une fonction continue si l'intérêt croit
  continûment

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Considérons l'investissement de k dollars de
principal au lieu de 1 dollar et désignons alors
par A(t) le montant total accumulé au temps t.
Alors A(t) est la fonction daccumulation.
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CONVENTION

• Nous supposerons dans ce cours à moins davis
  contraire que
• A(t) k a(t) avec k A(0)

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Taux effectif dintérêt pour la 1e période

• Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné
  pendant la première période sur le montant
  investi au début. En formule, nous obtenons

où I1 est lintérêt gagné pendant la première
période
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Taux effectif dintérêt pour la ne période

• Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné
  pendant la ne période sur le montant investi au
  début de la ne période. En formule, nous obtenons

où In est lintérêt gagné pendant la ne période
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Si nous connaissons les taux effectifs dintérêt
pour toutes les périodes, de la 1e à la ne, et le
capital initial A(0), alors nous pouvons
calculer le montant accumulé à la fin de la ne
période, i.e. A(n)
40
En effet,

• A(1) A(0) (1 i1)

41
En effet,

• A(1) A(0) (1 i1)
• A(2) A(1) (1 i2) A(0) (1 i1) (1 i2)

42
En effet,

• A(1) A(0) (1 i1)
• A(2) A(1) (1 i2) A(0) (1 i1) (1 i2)

et ainsi de suite pour obtenir finalement A(n)
A(0) (1 i1) (1 i2) ... (1 in - 1) (1 in)
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Exemple 7

• Dans un placement, le taux effectif dintérêt est
  de 5.75 pour la 1e année, 6 pour la 2e année,
  5.5 pour la 3e année et 5 pour la 4e année. Si
  le principal investi est 8 000, alors

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Exemple 7

• Dans un placement, le taux effectif dintérêt est
  de 5.75 pour la 1e année, 6 pour la 2e année,
  5.5 pour la 3e année et 5 pour la 4e année. Si
  le principal investi est 8 000, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
• 8000(1 0.0575)(1 0.06)(1 0.055)(1 0.05)
  9933.86

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Exemple 7

• Dans un placement, le taux effectif dintérêt est
  de 5.75 pour la 1e année, 6 pour la 2e année,
  5.5 pour la 3e année et 5 pour la 4e année. Si
  le principal investi est 8 000, alors
• le montant accumulé après 4 ans est
• 8 000(1 0.0575)(1 0.06)(1 0.055)(1 0.05)
  9933.86
• le montant dintérêt gagné pendant la 3e année
  est
• A(3) - A(2) 8 000(1.0575)(1.06)(1.055) -
  8000(1.0575)(1.06) 493.22

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Intérêt simple (Description)

• Considérons l'investissement de 1 pour lequel le
  montant dintérêt gagné à chacune des périodes
  est constant, disons égal à i.

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Intérêt simple (Description)

• Considérons linvestissement de 1 pour lequel le
  montant dintérêt gagné à chacune des périodes
  est constant, disons égal à i.
• Noter que cest le montant dintérêt qui est
  constant et non le taux effectif dintérêt!

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Calculons la fonction de capitalisation

• a(1) 1 i
• a(2) 1 i i 1 2i

et ainsi de suite pour obtenir
a(n) 1 i n
49
Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonction
daccumulation, nous aurons
50
Dans ce qui précède, i désigne le taux
dintérêt simple. Nous avons
51
Calculons le taux effectif dintérêt pour chaque
période

Ainsi de suite, nous obtenons
52
Remarque 1

• Lintérêt simple est surtout utilisé dans le
  court terme (semaine, mois) justement parce que
  le taux effectif dintérêt décroit avec les
  périodes et ceci nest pas intéressant comme
  investissement.

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Intérêt composé (Description)

• Considérons l'investissement de 1 pour lequel
  nous versons de lintérêt sur le principal, mais
  aussi sur lintérêt accumulé. Nous parlons
  dintérêt sur lintérêt.

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Calculons la fonction de capitalisation.

et ainsi de suite pour obtenir
55
Donc la fonction de capitalisation est

Si nous considérons plutôt la fonction
daccumulation, nous aurons
56
Calculons le taux effectif dintérêt pour chaque
période

Ainsi de suite, nous obtenons
57
Remarque 2

• Lintérêt composé est surtout utilisé dans le
  long terme (années) justement parce que le taux
  effectif dintérêt est constant tout au long de
  ces différentes périodes.

58
Remarque 2

• Lintérêt composé est surtout utilisé dans le
  long terme (années) justement parce que le taux
  effectif dintérêt est constant tout au long de
  ces différentes périodes.
• À moins davis contraire, nous allons toujours
  supposer que nous avons de lintérêt composé!

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Remarque 3

• Les calculatrices sont programmées pour faire le
  calcul de lintérêt composé. Il y a les touches
• N pour le nombre de périodes
• I/Y le taux dintérêt composé par période
• PV la valeur actuelle (concept à venir dans les
  prochains cours)
• PMT paiement dannuité (concept à venir dans les
  prochaines semaines)
• FV valeur accumulée
• Il est important de savoir assez tôt bien utilisé
  votre calculatrice financière!