Recherche combinatoire sur les graphes

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Recherche combinatoire sur les graphes

• Mathilde Bouvel
• Stage effectué au Loria, équipe Adage, sous la
  direction de Gregory Kucherov
• Mars-Août 2005

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Léquipe Adage

• Algorithmique Discrète Appliquée à la GEnomique
• Algorithmique du texte et géométrie discrète
  Domaine dapplication privilégié
  bioinformatique
• Développement de logiciels expérimentaux (grappe,
  mreps, YASS)

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Contexte du stage

• 1995-1998 doctorat au Loria de Vladimir
  Grebinski
• WG 2005 à Metz exposé alliant graphes et
  bioinformatique
• Mon stage au Loria
• Reprise du travail de Vladimir et Gregory
• Recherche bibliographique de résultats récents
• Approfondissement

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La recherche combinatoire

• Identification dun objet inconnu ou caché
  dans un ensemble dobjets
• Jeu à deux joueurs lun choisit lobjet caché,
  lautre le cherche
• Lobjet caché peut aussi être déterminé de façon
  aléatoire, par un mécanisme biologique, ou par
  une réalité physique inconnue de celui qui
  cherche.

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Les problèmes de pesage de pièces

• Recherche dune ou de plusieurs fausses pièces
  parmi n
• Jeu du nombre caché
• Elargissements possibles

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Une fausse pièce parmi n

• Lot de n pièces dont une est fausse ( de poids
  différent des pièces authentiques.)
• n lots de pièces possibles n configurations
• Balance à un plateau la pesée dun ensemble Q
  de pièces issues du lot révèle si la fausse pièce
  appartient ou non à lensemble Q pesé
• oui ou non réponses possibles
• La fausse pièce est-elle dans Q ? questions

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Le jeu du nombre caché
Choisis un nombre entre 1 et 1000 !
Je choisis x
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Le jeu du nombre caché
Devine quel nombre jai choisi !
Le nombre caché est-il inférieur ou égal à 500 ?
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Un problème de recherche combinatoire

• Un ensemble fini C de configurations à
  discriminer
• Un ensemble fini D de réponses possibles noté
  0,,d-1
• Un sous-ensemble Q des fonctions de C dans D
  les questions autorisées

• Un nombre caché x ? 1,,1000 que lon veut
  retrouver
• Les réponses sont oui ou non
• Les questions sont de la forme x est-il
  inférieur ou égal à y ? pour y ? 1,,999

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Recherche de plusieurs fausses pièces parmi n

• Lots de n pièces parmi lesquelles un nombre donné
  d gt 1 de fausses pièces, ou un nombre arbitraire
  de fausses pièces
• Pesée dun sous-ensemble des pièces
• Que révèle chaque pesée dun ensemble Q ?
• Si oui ou non une fausse pièce appartient à Q
• Le nombre de fausses pièces qui appartiennent à Q
• modèle booléen VS modèle quantitatif

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Elargissements possibles

• Différents degrés de fausseté
• Chaque pièce a un degré de fausseté entre 0 et d
• On veut reconstruire le vecteur de degrés de
  fausseté (v1,, vn) ? 0,,dn
• Questions somme des vi pour i ? Q, pour Q un
  sous-ensemble de 1,,n
• Reconstruction de vecteurs à poids borné
• ?(n,d) (v1,,vn) Si1 vi d
• Reconstruire un vecteur de ?(n,d)
• Questions idem

n
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Quelques uns des principaux outils

• Différents types de modèles
• Différents types dalgorithmes
• Une évaluation particulière de la complexité des
  algorithmes

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Modèles booléen et quantitatif

• Modèle booléen les questions autorisées donnent
  lieu à une réponse vrai ou faux
• Modèle quantitatif information quantitative sur
  la configuration cachée

• Y a-t-il au moins une fausse pièce dans
  lensemble pesé ?
• Combien y a-t-il de fausses pièces dans
  lensemble pesé ?

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Algorithmes en recherche combinatoire

• Algorithme suite de questions à poser pour
  pouvoir retrouver quelle est la configuration
  cachée
• Attention lalgorithme fournit seulement un jeu
  de questions à poser. Les outils utilisés pour
  passer des réponses obtenues à la configuration
  cachée napparaissent pas dans lalgorithme
  (précalcul possible) !

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Algorithme adaptatif

• Toute question posée par lalgorithme peut
  dépendre des réponses obtenues aux questions
  précédemment posées lalgorithme sadapte.
• Exemple recherche par dichotomie dune fausse
  pièce ou dun nombre caché.

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Algorithme non-adaptatif

• Les questions sont indépendantes les unes des
  autres. Un algorithme non-adaptatif est seulement
  un ensemble de questions à poser, sans
  enchaînement chronologique.
• Intérêt pratique pour poser les questions en
  parallèle (expériences biologiques p.e.)

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Algorithme à s tours

• Compromis entre algorithmes adaptatifs (a priori
  plus puissants) et non-adaptatifs (plus aisé à
  mettre en oeuvre)
• Algorithme composé de s étapes non-adaptatives
  qui se succèdent
• Les questions posées dans la même étape sont
  indépendantes
• Les questions posées à létape i1 peuvent
  dépendre des réponses obtenues aux étapes i

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Complexité dun algorithme

• Mesure particulière de la complexité
• Complexité dun algorithme nombre maximal de
  questions posées par un algorithme pour retrouver
  la configuration cachée
• Complexité dun problème complexité minimale
  dun algorithme résolvant ce problème

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Evaluation de la complexité

• Calcul précis difficile on se contente
  destimations
• Bornes inférieures astuce de la théorie de
  linformation
• Bornes supérieures algorithme effectif

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Astuce de la théorie de linformation

• Supposons quil y ait n configurations à
  discriminer.
• On numérote en binaire ces configurations
  chacune est définie par log2n bits dinformation.
• Si lensemble de réponses est 0,,d-1, chaque
  question permet de découvrir au plus log2d bits.
• Conclusion au moins log2n / log2d logdn
  questions sont nécessaires pour retrouver une
  configuration cachée.
• On dit que la complexité est en O(logdn).

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Atteindre cette borne inférieure ?

• La théorie de linformation ne tient pas compte
  du type de questions autorisées il est souvent
  impossible datteindre la borne inférieure de la
  théorie de linformation.
• Parfois, un algorithme adaptatif permet de
  latteindre, mais on démontre que cest
  impossible pour tout algorithme non-adaptatif.
• Dans certains cas, les meilleurs algorithmes
  connus sont non-adaptatifs et atteignent cette
  borne inférieure de la théorie de linformation.

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Recherche combinatoire de graphes

• Recherche dun graphe dans une classe de graphes
  donnée.
• Exemple de la classe des étoiles.

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Recherche dun graphe dans une classe de graphes
donnée

• Formulation générique du problème
• Motivation bioinformatique
• Modèle quantitatif et modèle booléen
• Adaptatif ou non-adaptatif ?
• Atteindre la complexité optimale par un
  algorithme non-adaptatif
• Un algorithme adaptatif strictement plus puissant
  que tout algorithme non-adaptatif

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Reconstruction dun graphe

• On considère toujours des graphes non-orientés
  dont les sommets sont étiquetés de 1 à n
• G Un0Gn une classe de graphes donnée, avec Gn
  les graphes de G à n sommets
• Un entier n donné
• Un graphe caché G ?Gn quil nous faut
  reconstruire
• Questions portant sur un sous-ensemble de sommets
  du graphe

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Motivations biologiques

• Séquençage dun génome circulaire complet on
  obtient des fragments dADN ( contigs) quil
  faut ordonner et orienter sur le cercle

trou
contig
Un primer est un fragment dADN qui caractérise
une extrémité dun contig
primer
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Polymerase Chain Reaction

• Une PCR se produit entre deux primers qui se
  trouvent de part et dautre du même trou.
• Cette réaction se produit aussi entre deux tels
  contigs.
• Un mécanisme biologique permet de détecter les
  paires de primers ou de contigs qui réagissent
  ensemble.

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Modélisation par un graphe

• Un produit chimique (primer ou contig) un
  sommet du graphe
• Une réaction chimique (PCR) entre deux produits
  une arête du graphe reliant les deux sommets
  correspondants
• Généralisation possible à tous les problèmes où
  on cherche des paires de produits chimiques qui
  réagissent

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Modélisation (1)

• Reconstituer le placement des contigs sur le
  génome circulaire revient à reconstruire un cycle
  Hamiltonien
• Cycle Hamiltonien graphe dont les arêtes
  forment un cycle passant une et une seule fois
  par chaque sommet

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Modélisation (2)

• Reconstituer le placement des primers sur le
  génome circulaire revient à reconstruire un
  couplage parfait
• Couplage parfait graphe dans lequel tout sommet
  a pour degré exactement 1

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Deux modèles de questions pour la reconstruction
de graphes
Pour une question Q sous-ensemble de sommets, la
réponse obtenue dépend du modèle

• Modèle booléen Existe-t-il au moins une arête
  du graphe caché qui relie deux sommets de Q ?
• Modèle quantitatif Combien darêtes relient
  deux sommets de Q ?

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Résultats préexistants

• V. Grebinski et G. Kucherov 95 à 98
  reconstruction de circuits Hamiltoniens et de
  graphes à degré borné dans les deux modèles
• N. Alon et al. 02 reconstruction de
  couplages dans le modèle booléen, par un
  algorithme non-adaptatif
• N. Alon et V. Asodi 04 reconstruction
  détoiles et de cliques dans le modèle booléen
  par un algorithme non-adaptatif

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Suite et fin de lexposé

• Un algorithme non-adaptatif est parfois optimal
• Graphes à degré borné, dans le modèle quantitatif
• Il peut exister une différence intrinsèque
  incompressible entre les complexités
  dalgorithmes adaptatifs et non-adaptatifs
• Les étoiles, dans le modèle booléen

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Graphes à degré borné borne inférieure

• Constante d fixée Gn graphe G sur les
  sommets 1,,n à degré borné par d
• En se restreignant à des sous-classes des graphes
  à degré borné par d, la théorie de linformation
  donne la borne inférieure (½o(1)) nd sur la
  complexité du problème.

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Graphes à degré borné borne supérieure

• On considère la représentation bipartie dun
  graphe G(V,E) gt G(V1,V2 E) avec
  i,j ? E ssi (i,j) ? E et (j,i) ? E
• Représentation bipartie recherche de d fausses
  pièces parmi n recherche dun vecteur de degré
  de fausseté ? 0,,dn
• existence dun algorithme non-adaptatif
  pour la reconstruction de graphes à degré borné
  en O(nd) questions

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Graphes à degré borné conclusion

• Un algorithme non-adaptatif peut atteindre à une
  constante multiplicative près la borne inférieure
  de la théorie de linformation.
• Limite On prouve lexistence dun tel
  algorithme, mais on ne sait pas le construire de
  manière effective
• Problème ouvert depuis 30 ans retrouver d
  fausses pièces parmi n avec un algorithme
  non-adaptatif faisant O(d.log n / log d)
  questions (borne inférieure dont on sait quelle
  peut être atteinte).

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Etoiles définitions

• Etoiles sur n sommets
• Sk étoiles à k1 sommets, avec n-k-1 sommets
  isolés

Stars Uk0 Sk, lensemble de toutes
les étoiles sur n sommets avec un nombre
arbitraire de sommets isolés
n-1
n8
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Dans le modèle booléen
n

• N. Alon et V. Asodi ( ) O(n²) questions sont
  nécessaires pour reconstruire une étoile de Stars
  par un algorithme non-adaptatif.
• La borne inférieure de la théorie de
  linformation est linéaire.
• Un algorithme à deux tours atteint cette borne
  inférieure à un facteur 2 près.
• Un algorithme adaptatif atteint cette borne à
  o(n) questions près.

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Borne inférieure de la théorie de linformation
n-1

• Sk n . ( ) pour k 2
• Stars S ( ) n(n-1)/2 1
• n (2n-1-1) - n(n-1)/2 1
• Borne inférieure log2 Stars (1o(1))n

k
n-1
n-1
k
k2
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Algorithme à deux tours

• Premier tour chercher le centre x de létoile
  en n questions
• Questions V\i pour tous les sommets i
• Deuxième tour chercher quels sont les voisins
  du centre en n-1 questions
• x,i pour tous les sommets i ? x
• Chaque tour est non-adaptatif.
• 2n-1 questions au total, soit 2 fois la borne
  inférieure de la théorie de linformation.

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Algorithme adaptatif

• On peut accélérer la première étape de
  lalgorithme précédent en O(log2n) questions
  adaptatives.
• Algorithme obtenu adaptatif mais en (1o(1))n
  questions, la borne inférieure de la théorie de
  linformation.

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Etoiles dans le modèle booléen bilan

• Algorithmes non-adaptatifs strictement moins
  puissants qualgorithmes adaptatifs.
• Algorithme à deux tours ( 2 étapes
  non-adaptatives) atteignent à un facteur 2 la
  borne inférieure de la théorie de linformation.
• Algorithme complètement adaptatif atteint la
  borne inférieure de la théorie de linformation.

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Dans le modèle quantitatif

• Borne inférieure de la théorie de linformation
  logn(Stars) O(n/log2n).
• Algorithme adaptatif en O(n/log2n) questions.
• Même structure que dans le modèle booléen.
• Première étape en O(log2n) questions
• Deuxième étape recherche dun nombre arbitraire
  de fausses pièces parmi n-1 (les voisins de x)
  O(n/log2n) questions.
• Algorithmes non-adaptatifs ?

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Conclusion

• Présentation de la recherche combinatoire
• Motivations bioinformatiques
• Exemples de recherche combinatoire sur les
  graphes

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Merci !

• Questions ?

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1 tour en O(log2n) questions

• Trouver une arête de létoile cachée sil en
  existe une.
• Construire par dichotomie 2 /s-ens. de sommets S1
  et S2, non vides, ne contenant aucune arête, et
  tq il existe au moins une arête entre S1 et S2.
• Trouver un sommet v de S1 qui a un voisin dans
  S2, puis trouver ce voisin w.
• Trouver si le centre est v ou w.
• Terminer comme avant en retrouvant les voisins du
  centre.

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(No Transcript)
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