HDR

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SOUTENANCE HABILITATION à DIRIGER des
RECHERCHES Serge Burckel 10 novembre
2005 JURY Bruno Courcelle Imre
Leader Adrian Mathias Frédéric
Mesnard Marianne Morillon Géraud Sénizergues
Calculs en Combinatoire et Combinatoire des
Calculs
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EXPOSITION
1. Les tresses
AAB-2AC BC-2AB CABC-B² BB²-4AC AABC
2. Les calculs
3. Les nuds
3
1. Les tresses
La tresse ?1 ?3 ?2 ?1 à 4 brins se représente
par
mot 1 3 2 1
mot 3 1 2 1
mot 3 2 1 2
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Relations de tresses

Relations sur les mots de tresses à 4 brins
121 212 232 323 13 31
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Construction de larbre du mot 1 3 2 2 1 2
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ordre des arbres et des mots
lt
lt
3121 lt 3212 lt 1321
Théorème La relation induite sur les tresses par
les mots darbres minimaux est un bon-ordre de
type compatible avec le produit à gauche.
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Mes travaux sur les tresses ont permis de
? Reprouver le résultat de Laver sur le bon
ordre des tresses positives.
? Calculer l ordinal d une tresse positive.
? Prouver que cet ordre est  quasiment 
l unique relation d ordre sur les tresses
positives qui soit compatible avec le produit à
gauche.
? Soulever les questions suivantes Un tel
ordre est-il aussi unique quand on se fixe
seulement ?1 lt ?2 lt ?3 ... ? Quelles
conditions supplémentaires impliquent cette
unicité sur le groupe des tresses ?
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incompatible avec le produit à droite
MAIS aucun ordre total nest compatible avec les
2 produits (à gauche et à droite). Preuve par
labsurde
212
12 1
212
121
contradiction
212
212
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Algorithme linéaire pour le problème du mot des
tresses positives à trois brins.
1212121 2112111
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Systèmes de réécriture pour les tresses
positives à trois brins.
Croissance du monoïde comme la suite de
Fibonacci.
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2. Les calculs
Comment calculer une application E sur une
structure de données S ?
Exemple de léchange S?2 E(A,B)(B,A)
Calcul Classique CA AB BC dimension3
Calcul Clos AAB BA-B AA-B dimension2
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Résultats obtenus
1. Toute application sur la structure 0,1N a
un calcul clos.
2. Toute application sur la structure 0,1N a un
calcul clos utilisant au plus 3 types
dopérations. (avec Marianne Morillon)
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Encore des résultats
3. Toute application sur la structure 0,1N a
un calcul clos en au plus N2 opérations. (avec
Marianne Morillon)
4. Toute application linéaire sur une structure
KN a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations
linéaires. (avec Marianne Morillon)
? Constructeurs de graphes
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résultats brevetés
5. Toute application bijective sur une structure
FN a un calcul clos en au plus 2N-1 opérations.
6. Toute application sur une structure FN a un
calcul clos en au plus 5N-4 opérations.
7. Toute application sur une structure FN a un
calcul clos en au plus 4N opérations. (avec
Emeric Gioan)
2N
Conjecture (avec Julien Cassaigne)
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Décomposition des applications sur les ensembles
finis. (suite à une question de G. Sénizergues)
Théorème ?F sous-ensemble fini de ? ?K
entier gt 0 ?E FK F E est une composition
finie de lopération ? ?3 ?
?(x,y,z) x1 si x y ? z 0 sinon
Résultat effectif
Par exemple, pour F0,1,2,...,9 la somme se
décompose en symboles ?
35 477 181 558
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3. Les nuds (travail en cours)
BUT algorithme de comparaison des nuds et des
entrelacs.
nuds premiers
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Mouvements de REIDEMEISTER.
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Mouvements CLOS (sans ajout de croisements).
SHIFT
TWIST
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SHIFT généralise R3
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SHIFT généralise R2-
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TWIST généralise R1-
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Mais pour N10 166 diagrammes réduits au lieu
des 165.
Réduire la Paire de Perko ?????
Preuve en images
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MERCI
FIN
à mon fils OLIVIER