Estimation param

1

• Estimation paramétrique pour la modélisation et
  la génération de résidus

2
Méthode des moindres carrés (1)

• Modèle linéaire Modèle de régression
• Ecriture vectorielle

3
Méthode des moindres carrés (2)

• Données expérimentales
• Déterminer les paramètres de sorte que les
  sorties du modèle correspondent au mieux aux
  mesures au sens des moindres carrés
• Notations

4
Méthode des moindres carrés (3)

• Erreur
• Fonction de coût
• Solution Fonction de coût minimale pour
  tel que

5
Méthode des moindres carrés (4)

• Démonstration

6
Méthode des moindres carrés (5)

• Interprétation géométrique dans

7
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique(1)

• Données supposées engendrées par
• Propriétés statistiques

8
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique(2 )

• Estimateur correct de
• Consistance de lestimée de
• Convergence au sens de lécart quadratique moyen
• Dépend de lévolution de

9
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique(3)

• Exemple modèle à un paramètre

10
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique (4)

• Plusieurs paramètres vitesse de convergence
  peut être différente pour des paramètres
  différents
• Implications du choix du modèle
• Paramètres constants

11
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique (5)

• 
  
• N (
• Observations de distribution non gaussienne
• distribution de asymptotiquement
  gaussienne par théorème central-limite (ou
  théorème de la limite centrée)

12
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique (6)

• Intervalle de confiance
• N (
• Pour variable normale quelconque, v, de
  moyenne nulle et de variance 1, tables donnent
  seuil h tel que
• Prob(v gt h)a

13
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique (7)

• Information sur la corrélation entre les
  différentes composantes de par éléments
  non diagonaux de P(N)
• Table de
• Ellipsoïde dans

14
Méthode des moindres carrés Interprétation
statistique (8)

• Résultat plus exact
• De même pour chaque paramètre séparé

15
Procédure didentification dun système
Conception dexpérience(s)
Connaissances a priori Objectif du modèle
Réalisation des expériences Prise de mesures
Choix de la structure de modèle
Choix de la méthode destimation des paramètres
Validation du modèle
Nouvel ensemble de mesures
non
Modèle accepté?
oui
16
Identification dun modèle dynamique LPChoix de
lentrée (excitation)

• Exciter le système dans la bande des fréquences
  dintérêt (souvent basses fréquences)
• Entrée multi sinoïdale ou suite binaire pseudo
  aléatoire (filtrage passe bas par ajustement de
  la période dhorloge)
• Persistance dexcitation dordre 2n requise pour
  lobtention dune estimée consistante (excitation
  persistante dordre n si densité spectrale de la
  variance non nulle en n points)

17
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent (1)

• Ensemble de modèles

18
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent (2)

• Exemples
• A) Modèle avec erreur de fermeture déquation
  (equation error)

19
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent (3)

• B) Modèle auto récurrent à moyenne glissante et
  entrée exogène (ARMAX)

20
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent (4)

• C) Modèle avec erreur de sortie (output error)

21
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent - Moindres carrés (1)
22
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent - Moindres carrés (2)

• Analyse
• Supposons que les données vérifient

23
Identification dun modèle dynamique linéaire
permanent - Moindres carrés (3)
24
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction(1)

• Méthode moindres carrés cas particulier de
• méthode derreur de prédiction

25
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (2)

• 3 étapes
• Choix du modèle
• Détermination dun prédicteur
• Minimisation dune fonction de coût contenant
  lerreur de prédiction

26
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (3)

• Principe de la méthode de lerreur de prédiction

27
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (4)

• Classe de modèles
• Prédicteur optimal (variance de lerreur de
  prédiction
• minimale)

28
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (5)

• Démonstration

29
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (6)
30
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction(7)

• Fonction de coût à minimiser

31
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction(8)

• - Minimisation réalisée de manière analytique si
• Optimisation numérique
• Méthode du gradient
• Méthode de Newton Raphson

32
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction(9)
33
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (10)
34
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (11)
35
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (12)

• Propriétés de la méthode derreur de prédiction
• Hypothèses

36
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (13)

• Valeur asymptotique de la fonction de coût et de
  lestimée
• Consistance

37
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (14)
38
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (15)

• Cas où la classe de modèles ne contient pas
• une description exacte du vrai système

39
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (16)

• Distribution asymptotique de lestimée
  (Hypothèses 1-5)

40
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
de lerreur de prédiction (17)

• Exemple cas dune régression linéaire

41
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
du maximum de vraisemblance (1)

• Maximiser la fonction de vraisemblance c-à-d
  densité de
• probabilité des observations conditionnée par le
  vecteur
• de paramètres
• Transformation biunivoque entre y(k) et e(k),
  si
• conditions initiales négligées (u(k)
  déterministe)
• utiliser densité de probabilité de e(k)

42
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
du maximum de vraisemblance (2)
43
Identification dun modèle dynamique LP Méthode
du maximum de vraisemblance (3)
44
Identification dun modèle dynamique
LPValidation dun modèle obtenu par la méthode
derreur de prédiction (1)
45
Identification dun modèle dynamique
LPValidation dun modèle obtenu par la méthode
derreur de prédiction (2)
46
Identification dun modèle dynamique
LPValidation dun modèle obtenu par la méthode
derreur de prédiction(3)
47
Bibliographie

• T. Soderstrom et P. Stoica (1989)
• System identification, Prentice Hall
• K.J. Astrom et B. Wittenmark (1989)
• Adaptive Control, chapitre 3, Addison Wesley
• L. Ljung (1987)
• System identification theory for the user
• Prentice Hall