Statistiques infrentielles : estimation de paramtres

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Statistiques inférentielles estimation de
paramètres
Une population P, une caractéristique C dont on
veut mesurer certaines caractéristiques valeur
moyenne µ, dispersion s, etc
un échantillon
P
x , s
C
estimations
Quel rapport??
µ , s ??
La validité des estimations sexprime en termes
probabilistes
2
Statistiques inférentielles corrélation
Une population P, deux caractéristiques C 1 et C
2 dont on veut étudier léventuelle corrélation.
un échantillon
P
calcul dune distance
C1 , C2
Quel rapport??
corrélées ??
La réponse sexprime en termes probabilistes
3
Loi de Bernouilli de paramètre p
P(succès) p P(échec) 1-p
Epreuve à 2 issues X issues
p2/3
4
Loi uniforme
Epreuve à n issues équiprobables X issues
P(Xai)1/n
n10
5
Loi binomiale de paramètres p, n
Répétition n fois dune épreuve à 2 issues X
nombre de succès p probabilité du succès
p1/3, n10
6
Loi géométrique de paramètre p
Répétition n fois dune épreuve à 2 issues X
numéro du 1er succès p probabilité du succès
P0.25
7
Loi de Poisson de paramètre ?
Répétition dune épreuve à 2 issues X nombre de
succès probabilité rare de succès
Soit ?gt0. On dit qu'une variable aléatoire X
suit la loi de Poisson de paramètre , ce que
l'on note si X(?)N P(Xk)e-??k/k!
?3
8
Loi Normale (Gauss) de paramètres ????
?5, ?2
9
La loi Normale

• X une v.a.r. suit la loi N(µ,s)

Espérance m Ecart-type s
s
s
µ
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La loi Normale
X ?N(?,?)
P(a?X?b)
FX(a)P(X?a) fonction de répartition
b
a
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La loi Normale Centrée Réduite
Z ?N(0,1)
Risque derreur ?
P(-Z? ? Z ? Z?) 1-?
F(Z?) P(Z ? Z?) 1-?/2
?/2
?/2
Z?
-Z?
0
?5 Z5 loi.normale.standard.inverse(0,975)
1,96
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Le Théorème de la Limite Centrale (principe)
Quelles sont les v.a. qui suivent une loi
normale?
Le théorème de la Limite Centrale
la moyenne X de n variables X1, X2, , Xn
indépendantes et de même loi suit une loi normale
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Le Théorème de la Limite Centrale (énoncé)
Soit X1, X2, , Xn, n v.a. indépendantes et de
même loi

• indépendantes

P(Xiai et Xjaj) P(Xiai) x P(Xjaj) (cas
discret)

• même loi

FX1(x) FX2(x) FXn(x)
même espérance ?, même écart-type ?
Alors la variable moyenne X (X1 X2 Xn)/n
suit la loi normale N(?,?/?n)
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Conséquence la Loi des Grands Nombres
Soit X1, X2, , Xn, n v.a. indépendantes et de
même loi despérance ?
Alors si n est grand , la variable moyenne X
(X1 X2 Xn)/n prend des valeurs proches de ?,
avec une probabilité proche de 1.
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Estimation de la moyenne à partir dun grand
échantillon
Une population P, on étudie une caractéristique C.
Enquête
On interroge n individus pris au hasard
léchantillon
On obtient n observations x1,x2, xn
Modèle
Les observations x1,x2 xn sont les valeurs de
X1, X2, , Xn, n v.a. indépendantes et de même
loi despérance ? et décart-type ?
? et ? sont la moyenne et lécart-type inconnus
de la caractéristique C pour lensemble de la
population
La moyenne observée (empirique) x (x1 x2
xn)/n est une valeur de la v.a. moyenne X (X1
X2 Xn)/n
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Estimation de la moyenne à partir dun grand
échantillon
Estimer ? avec un risque derreur ? ?
On sait que X (X1 X2 Xn)/n ? N
(?,?/?n)
cest-à-dire (X- ?)/(?/?n) ? N (0,1)
donc P(-Z? ? (X- ?)/(?/?n) ? Z?) 1- ?
i.e P(? - Z? (?/?n) ? X ?? Z? (?/?n)) 1- ?
i.e P(? - Z? (?/?n) ? x ?? Z? (?/?n)) 1- ?
i.e P(x - Z? (?/?n) ? ? ? x Z? (?/?n)) 1- ?
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Intervalle de confiance pour la moyenne au risque
?
n taille de léchantillon x moyenne empirique
de léchantillon ? une probabilité le risque
derreur
? ? I? x - Z? (?/?n) x Z? (?/?n) où ?
est approximé par
S?1/(n-1)?(xi-x)²
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Intervalle de confiance pour la différence des
moyennes au risque ?
Echantillon 1 de taille n1 de moyenne x1
Echantillon 2 de taille n2 de moyenne x2
?1- ? 2 ? I? Borne Inf Borne Sup Borne Inf
x1-x2 - Z? ??1/n1 1/n2 Borne Sup x1-x2 Z?
??1/n1 1/n2 où ? est approximé par
S?
?(xi,1 x1)² ?(xi,2 x2)²
(n1-1) (n2-1)
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Intervalle de confiance pour une proportion au
risque ?
Une population P, on observe labsence ou la
présence dune caractéristique C.
Un échantillon de taille n
p la proportion observée dans léchantillon
dindividus possédant la caractéristique C
P? I? Borne Inf Borne Sup Borne Inf p
- Z? ?p(1-p)/n Borne Sup p Z?
?p(1-p)/n
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Intervalle de confiance pour la différence des
proportions au risque ?
Echantillon 1 de taille n1 de proportion observée
p1
Echantillon 2 de taille n2 de proportion observée
p2
p1-p2 ? I? Borne Inf Borne Sup
?
p1(1-p1) p2(1-p2)
Borne Inf p1-p2-Z?
n1
n2
?
Borne Sup p1-p2-Z?
p1(1-p1) p2(1-p2)
n1
n2