Presentaci

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Tema 6 - SISTEMAS DE PARTÍCULAS INTERACTIVAS
  El modelo de Ising. Magnetismo. Aproximación
del campo molecular de Weiss y aproximación de
Bragg-Williams. Fonones en sólidos. Gases
clásicos no ideales.   REI-10 HUA-14 KUB-5
YEO-4
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El modelo de Ising. Ferromagnetismo.
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Ferromagnetismo. El modelo de Ising.
Material ferromagnético. Ej red de átomos con
momento magnético. Este material puede
magnetizarse aplicando un campo magnético H. A
TgtT todos los momento magnéticos están al
azar. A TltT pueden ordenarse, puede haber
dominios.
Hamiltoniano del sistema (sin campo)
Simplificación de Ising los spines sólo tienen
componente z, y el campo externo será aplicado en
dicha dirección. La suma sólo se hace a primeros
vecinos.
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Hamiltoniano del sistema ferromagnético uniaxial
bajo campo magnético (Hz)
Definimos la magnetización por spin
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Colectivo canónico y termodinámica
Energía libre de Helmholtz
Termodinámica
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Función de partición y variables termodinámicas
Energía del sistema Hamiltoniano
El estado microscópico del sistema es la
combinación de todos los spines
Y la función de partición es
Energía libre
Magnetización promedio
Energía
Calor específico
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Aplicaciones del Modelo de Ising
Gas de red
Sitios ocupados o vacíos. Interacción a primeros
vecinos, -e Ising se introduce un spin
Nº de partículas en una celda
Nº total de partículas
Interacción
Energía total
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Se usará el colectivo macrocanónico.
Y la gran función de partición es
Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising
con
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Aplicaciones del Modelo de Ising
Aleaciones binarias

• Interacción a primeros vecinos,
• vecinos AB
• 0 vecinos AA o BB

Spines
Interacción
Energía total
Nº de partículas
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Se usará el colectivo semi-macrocanónico.
Y la gran función de partición es
(no puedo usar GC. N cte, puedo cambiar nº A y nº
B)
Esto es el Hamiltoniano de un sistema de Ising
con
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Modelo de Ising en 1D (cadena lineal de spines)
Usamos el colectivo canónico
Si B0
Funciones termodinámicas
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Modelo de Ising en 1D
Funciones termodinámicas
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kT/J
kT/J
kT/J
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El modelo de Ising. (en general, 2D, 3D)
acoplamiento spin-spin
Vamos a reescribir el Hamiltoniano
g Nº de primeros vecinos.
Tipo de parejas de vecinos N, N--, N-
2D, red cuadrada, 4 primeros vecinos
Esto permite escribir
Y el Hamiltoniano queda
Orden a largo alcance N , a corto alcance N
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La aproximación de Bragg-Williams
Usamos el colectivo canónico
La aproximación de Bragg-Williams consiste en
desarrollar un método para evaluar el peso
estadístico
Se cambian las variables por comodidad
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La aproximación de Bragg-Williams
La aproximación de Bragg-Williams propone la
siguiente relación
Si N es grande, N será grande.
El orden a corto alcance surge del orden a largo
alcance.
Así el Hamiltoniano resulta
Y pasamos de necesitar hallar
a buscar cómo es g(L)
g(L) g(N) , por tanto es el nº de formas de
tomar N números de entre N números
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La aproximación de Bragg-Williams
Y la función de partición es
L va de 1 a 1 en pasos de 2/N
Si N es grande, Stirling.
Si obtenemos lnZ ya podremos tener todas las
funciones termodinámicas.
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La aproximación de Bragg-Williams
Recordamos el concepto de la distribución más
probable. Habrá una configuración de N,N con
un valor de mucho mayor que en las demás. (H
? N, por lo tanto Z depende exponencialmente de
N)
Por tanto buscamos el L que maximice Z o ln Z.
Si N??, lnZ tiende a ser el valor del logaritmo
del mayor sumando.
Lmax es la única variable independiente. H, T
parámetros externos del sistema J interacción
spin-spin. N nº de spines
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La aproximación de Bragg-Williams
Cuánto vale ese Lmax ?
f(Lmax)
Solución gráfica de esa igualdad
Lmax
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La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al
ferromagnetismo
Sistema sin magnetizar H0. La solución
gráfica da Lmax(H0)L0 Hay solución si la
pendiente de en
Lmax0 es mayor que 1.
Esto corresponde a TltTC. Temperatura de Curie
La solución es
Magnetización
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La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al
ferromagnetismo
Por tanto, con H0,
La energía libre de Helmholtz
Si nos quedamos al orden más bajo en el
desarrollo para H pequeño
No se consideran cambios de TC por efecto de H.
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La aproximación de Bragg-Williams. Aplicación al
ferromagnetismo
Magnetización
Calor específico
Y podéis demostrar que,
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Solución exacta del modelo de Ising en 2D Lars
Onsager
Temperatura crítica
Comportamiento en Tc, exponentes críticos
H M 15
M t 1/8
X t -7/4 (log)
C t 0 (log)
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Variaciones del modelo de Ising
Modelo de Potts diferentes valores de s, para
mezclas multicomponente Modelo de Heisenberg
considera como vector. Poner redes complejas
fcc, hexagonal, etc. Tener subredes Interacción a
vecinos lejanos J(r) Hacer J aleatoria, para
teoría de vidrios Introducir cinética y
reorientación (dependencia con t)
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Exponentes críticos
Clase de universalidad Simetría del parámetro de orden a b g d n h Ejemplo
Ising 2D escalar, 2 componentes 0 (log) 1/8 (0.125) 7/4 (1.75) 15 1 1/4 Adsorción de una monocapa, H sobre Fe
Ising 3D Escalar, 2 componentes 0.10 0.33 1.24 4.8 0.63 0.04 Separación de fases, orden-desorden
X-Y 3D Vector 2D 0.01 0.34 1.30 4.8 0.66 0.04 Superfluidos, superconductor
Heisenberg 3D Vector 3D -0.12 0.36 1.39 4.8 0.71 0.04 Imanes isotropos
Campo medio escalar 0 (disc.) 1/2 1 3 1/2 0
Potts 2D q3 escalar, q componentes 1/3 1/9 14 5/6 5/6 4/15 Adsorción de monocapas
Potts 2D q4 escalar, q componentes 2/3 1/12 7/6 2/3 2/3 1/4 Adsorción de monocapas
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Teorías de campo medio y transiciones de fase.
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Idea General Sabemos resolver problemas de 1
partícula o de muchas partículas sin interacción
(gas ideal). Ahora hay que tratar con muchas
partículas interaccionando Problema Las
interacciones entre partículas hacen que sea casi
imposible resolver el cálculo de la función de
partición Idea Sustituir las fuerzas que actúan
sobre una partícula dada por un campo externo
efectivo Esto es un teoría de campo medio.
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Se asume que el papel de las partículas vecinas
es crear un campo molecular promedio, que actúa
sobre la partícula estudiada.
Aproximación de campo medio
La fuerza ejercida sobre si, debido a los vecinos
y al campo externo es
El campo instantáneo que actúa sobre si es
Siendo su valor promediado
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Para resolver el problema usaremos la mecánica
estadística de momentos magnéticos sin
interacción (desacoplados)
Número de vecinos
Y se obtiene esta ecuación para la magnetización
media por espín
Solución gráfica de esa igualdad
Para h0, bJzgt1 o lt1 define las dos fases
-m0
m0
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Comparación entre T. Campo Medio y la
solución exacta (para red cuadrada)
vecinos TC, CM TC, exacta
1D 2 2J/KB No hay
2D 4 4J/KB 2.26J/KB
3D 6 6J/KB 4J/KB
Por qué este desacuerdo? No se consideran las
fluctuaciones
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Exponentes críticos.
Parámetro de orden
Cerca de la transición mltlt1
m0
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Susceptibilidad magnética
Desarrollamos tanh()
Los exponentes críticos son iguales a los
obtenidos con la Teoría de Landau