Rutas de transici - PowerPoint PPT Presentation

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Rutas de transici

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... t rmino no lineal de orden m s bajo amortigua y el ... Si es un racional de bajo orden se distingue bien un conjunto de puntos. Ejemplo con f1/f2 =7/2: ... – PowerPoint PPT presentation

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Title: Rutas de transici


1
Rutas de transición al caos determinista
  • D. López Bruna
  • Seminarios UC3M-CIEMAT
  • (4-IV-2002)

2
Contenido
  • Introducción
  • Flujo
  • Oscilador de van der Pol
  • Espacio de fases y trayectoria
  • Diagrama de bifurcaciones
  • Sección de Poincaré
  • Ciclo límite
  • Solución cuasiperiódica
  • Aplicación de retorno
  • Atractores
  • Sistemas disipativos. Contracción de volúmenes
  • Caos determinista atractores aperiódicos
  • Aplicación de retorno para atractores extraños

3
Contenido (sigue)
  • Teoría de Floquet
  • Aproximación lineal del flujo
  • Desestabilización de trayectorias
  • Aperiodicidad y cascadas
  • Bifurcación de Hopf
  • Desestabilización de T3
  • Destrucción de T2
  • Cascada subarmónica
  • Intermitencia
  • Fenómeno
  • Intermitencia tipo I
  • Tipos II y III

4
Flujo
Flujo autónomo si no hay dependencia explícita en
t
Sistema dinámico Acotado en espacio de
fases Cierta periodicidad
Con n no muy grande
Interés comportamiento asintótico
5
Oscilador de van der Pol
Si ggt0, oscilador amortiguado
Van der Pol
6
Espacio de fases y trayectoria
dimespacio de fases nº grados de libertad gt
dimtrayectoria
T--gt8
Amortiguamiento o amplificación dependiendo de la
posición en espacio de fases
F1.1 Trayectoria en el espacio de fases del
oscilador de Van der Pol, partiendo de
condiciones iniciales M0 distintas
7
Diagrama de bifurcaciones
Elongación máxima
La bifuración es supercrítica el término no
lineal de orden más bajo amortigua y el ciclo
límite aparece con amplitud nula para el valor
crítico del parámetro.
Ciclo límite estable
Punto fijo inestable
Punto fijo estable
F1.3 Diagrama de bifurcaciones para el oscilador
de Van der Pol
8
Sección de Poincaré
Sea un flujo G en Rn. Escójase algún Rn-1 que el
flujo intersecte y un sentido de cruce. La
sección de Poincaré hereda propiedades
topológicas del flujo.
Transformación discreta T Pk1T(Pk)T2(Pk-1)Tn
(Pk-n1)
Estudiar T en vez de G puede simplificar
notablemente las cosas, especialmente si
interesan las propiedades topológicas
F2.1 Sección de Poincaré de un flujo en R3
Ciclo límite Solución cuasiperiódica Aplicación
de retorno
9
Ciclo límite
Sea R3 (gt sección de Poincaré en R2) Solución
periódica gt sección formada por puntos fijos
(tal vez sólo uno)
Ciclo límite
Punto fijo en la sección
10
Solución cuasiperiódica, T2
Número de bobinado dependiendo de las frecuencias
f1 y f2
Si f1/f2 es irracional, la intersección es una
curva C continua. Si es un racional de bajo orden
se distingue bien un conjunto de puntos. Ejemplo
con f1/f2 7/2
P1T7(P1)
F2.2 Toro T2 y sección de Poincaré.
11
Aplicación de retorno
Parametrización de C en la sección de Poincaré
mediante algún parámetro (coordenada) x tal que
xk1f(xk), o bien, xretornof(x). En el caso de
T2 conviene una coordenada angular, xq.
f(q)
q f(q)
C
qk1
2pq
qk
q
F2.4 Aplicación de retorno f(q)q2pq
correspondiente a qk1 q k 2pq en C con qf2/f1.
F2.3 Sección de Poincaré para un flujo en T2. El
flujo lleva cada punto correpondiente a un ángulo
qk en C a otro qk1.
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Construcción estroboscópica
  • Dado G, puede elegirse como espacio de fases el
    espacio cartesiano formado por los grados de
    libertad x1, , xn.
  • O la construcción estroboscópica x(t), x(tt),
    x(t2t), , x(t nt), donde x es cualquiera de
    las xj, y t es un lapso apropiado para el
    parámetro t.
  • O el conjunto x(t), dx/dt, d2x/dt2, , dnx/dtn.
  • IMPORTANTE Todas estas construcciones comparten
    la topología útil (especialmente la construcción
    estroboscópica) para construir espacios de fases
    cuando sólo se conoce una señal de un sistema
    físico.

13
Atractores
  • Sistemas disipativos. Contracción de volúmenes
  • Caos determinista atractores aperiódicos
  • Aplicación de retorno para atractores extraños

14
Sistemas disipativos. Contracción de volúmenes
Sistema disipativo gt contracción de volúmenes.
Cambio relativo
Es útil un valor promedio (DLie) con t -gt 8 para
olvidar el transitorio. Sistema disipativo gt
DLielt0.
Ejemplo oscilador de Van der pol,
DLie-g ATRACTOR conjunto geométrico, A, al que
tienden las trayectorias (desde su base de
atracción) de un flujo disipativo, G. En Rn,
dimAltn.
Sistema disipativo DLielt0 ltgt contracción gt
dimAltn
En resumen
15
Caos determinista atractores aperiódicos
Determinismo gt No intersección de trayectorias
(salvo convergencia) gt T2 no puede ser atractor
de un régimen aperiódico. Sistema caótico gt
Sensibilidad a las condiciones iniciales
(SCI). Sistema disipativo Volumen del atractor
nulo.
Contracción SCI ---gt plegamiento
estiramiento
Observación En R3 contracción gt dimAlt3 SCI
gt dimA gt2 (A acotado). Redefinir concepto de
dimensión?
Flujo converge hacia A SCI Posiblemente dimA no
entera
Aatractor extraño gt
16
Aplicación de retorno para atractores extraños
Sistema suficientemente disipativo (en R3)
gtdimA 2 Sección de Poincaré
cuasi-monodimensional.
Xk1
Se puede definir, como en el caso de una sección
de T2, una coordenada x en la sección de Poincaré
tal que el flujo lleva xk ---gt xk1, o bien,
xf(x)
Xk
F3.1 Aplicación de retorno del modelo de Lorentz
17
Teoría de Floquet
  • Aproximación lineal del flujo
  • Desestabilización de trayectorias

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Aproximación lineal del flujo
Recordatorio Topología preservada por la
construcción estroboscópica x(t), x(t2t), ,
x(tmt) en el espacio de fases Rm. Sea un flujo
autónomo no lineal con solución periódica de
periodo t (circunstancia favorable, pero ni
necesaria ni suficiente). Existe ciclo límite C.
Flujo
t
Matriz mxm de Floquet, M, con valores propios li
i1, ,m. Permiten estudiar la estabilidad lineal
en torno a puntos fijos.
19
Desestabilización de trayectorias
Sea G en R3 dependiendo de algún parámetro m tal
que existe C para ciertos m .
Pérdida de estabilidad lineal al recorrer m
Clasificación (en R3) de las bifurcaciones y
fenómeno al que dan lugar dependiendo de por
dónde se cruce el disco unidad.
4
3
4
3
1
3
X0
2
2
2
1
1
X0
X0
4
F4.1 Transformación de una perturbación a la
trayectoria en cada periodo del ciclo estable.
20
Aperiodicidad y cascadas
  • Bifurcación de Hopf
  • Desestabilización de T3
  • Destrucción de T2
  • Cascada subarmónica

21
Bifurcación de Hopf
Cruce por laeib. Añaden un grado de libertad
(aparición de nuevas frecuencias). Ejemplo
Oscilador de Van der Pol (aparece el ciclo
límite). Dentro de T2 sólo cabe un fenómeno que
altere cualitativamente el flujo bloqueo de
frecuencias. Dentro de T3 es posible el cambio
de régimen cuasiperiódico a caótico.
Desestabilización de T3 (existen flujos estables
e inestables en T3)
Rutas al caos vía bifurcaciones de Hopf
Destrucción de T2
22
Desestabilización de T3
23
Destrucción de T2 (i)
Se puede estudiar la acción del flujo
identificando los extremos de la sección
cualquier posición q es llevada a f(q).
Plt-1
f(q)
-1ltPlt1
F5.3 Aplicación de retorno en una sección de
Poincaré de T2.
Pgt1
p lt 1 gt atracción p gt 1 gt repulsión
F5.4 Naturaleza de los puntos fijos (f(q)q)
dependiendo de pdf/dq.
24
Destrucción de T2 (y ii)
25
Cascada subarmónica (i)
Si con 0gtlgt-1 el periodo es t, con l-1
F5.8 Desestabilización de un punto fijo (o
trayectoria estable) mediante cruce por l-1.
Cabe pensar que el comportamiento sea semejante
para valores inferiores, pero suficientemente
próximos, a l-1. La aplicación f(x)4mx(1-x),
con x en 0,1 y m en (0,1, considerada como
aplicación de retorno de algún flujo, permite
estudiar la cascada subarmónica. Observación
26
Cascada subarmónica (ii)
m0,8. Duplicación de periodo
m0,7. Punto fijo estable
m0,875. f(f(f(f(x)))) revela cuatro puntos fijos
estables. El recuadro sugiere repetición de la
estructura (la hay).
m0,8. f(f(x)) revela dos puntos fijos estables.
F5.9 Aplicaciones de retorno basadas en
f(x)4mx(1-x) duplicación de periodos.
27
Cascada subarmónica (y iii)
Los mj tienen un punto de acumulación,
m80,892486418
Ventana con periodo 3.
Alternancia de atractores periódicos y
comportamiento caótico (las iteraciones jamás se
repiten SCI) a partir de m8.
Existe una cascada inversa (no apreciable en esta
escala).
F5.10 Valor asintótico por iteración de f(x) en
función del parámetro de control.
Al iterar cualquier aplicación con un extremo
cuadrático se encuentra la misma cascada de
duplicación del periodo, con las mismas leyes de
escala.
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Intermitencia
  • Fenómeno
  • Intermitencia tipo I
  • Tipos II y III

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Fenómeno
Conforme aumenta el tiempo de muestreo, van
apareciendo eventos de gran amplitud que impiden
normalizar la FDP.
Pulsos aperiódicos. La amplitud y frecuencia de
aparición son impredecibles.
Fase muy periódica
Relaminarización
F6.1 Señal temporal (modelo de Lorentz) en
régimen intermitente.
-- Teoría de Floquet crear modelo para el paso
de un valor propio fuera del disco unidad.
Procedimiento
- Intermitencia
-- Modelo de aplicación de retorno
- Relaminarización
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Intermitencia tipo I (i)
Flujo estable si rltrc (valor crítico).
Inestabilidad (rrc) con cruce por l1. Defínase
una coordenada u a lo largo del subespacio propio
correpondiente a lgt1 uretorno l(r)uu.
Entonces, para rrc,
Para un punto fijo con rrc, du/du1l
uuu2
u
u
u
r-rcelt0
e 0
e gt0
u
u
u
F6.2 Paso de un régimen periódico a un régimen
intermitente (tipo I) al variar e. Se da una
bifurcación silla de montar.
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Intermitencia tipo I (y ii)
El modelo uuu2e (serie truncada en primer
orden en e, y segundo en u) explica las fases
casi periódicas y el proceso de relaminarización.
Relaminarización a través de excursiones en u,
muy distintas a la fase periódica, se alcanza
otra vez el canal.
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Tipos II y III
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