Funciones de Variables Aleatorias

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Capítulo 10 Test de Hipótesis Prof. Héctor.
Allende
Estadística Computacional Departamento de
Informática
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Contraste de Hipótesis
Contrastar una Hipótesis Estadísticamente es
juzgar si cierta propiedad supuesta para una
población es compatible con lo observado en una
muestra de ella.
Alternativas Hipótesis A v/s Hipótesis B, donde
A y B no pueden cumplirse simultáneamente.

• Tipos de Hipótesis
• Hipótesis Alternativas
• Hipótesis Anidadas

Anidadas Hipótesis A y B, donde A es un caso
especial de B.
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Contraste de Hipótesis

• Hipótesis Simple El parámetro tiene un único
  valor.
• Hipótesis Compuesta El parámetro tiene varios
  valores.

Hipótesis Nula (H0) es la hipótesis que se
contrasta. Esta hipótesis se mantendrá a no ser
que los datos indiquen lo contrario. Esta
hipótesis nunca se considera probada aunque puede
ser rechazada por los datos. Hipótesis
Alternativa (H1) es la hipótesis contrapuesta
a H0.
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Elementos de una Prueba de Hipótesis
1.- Hipótesis Nula (H0), Hipótesis
Alternativa. 2.- Estadística de Prueba
(Discrepancia). 3.- Región de Rechazo (Región
Crítica). 4.- Regla de Decisión.
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Definiciones
Prueba (Contraste) de Hipótesis Estadística es
una regla ? (Procedimiento) para decidir si
rechazamos una hipótesis H0.
Estadística de Prueba Es una función de la
muestra. Interesa que contenga el máximo de
información sobre H0. Es en base a la información
contenida en esta función que decidiremos
respecto de la aceptación o rechazo de H0.
Región Crítica Define los valores del
estadístico de Prueba para los cuales se
contradice H0.
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Definiciones
Regla de Decisión Procedimiento que acepta o
rechaza H0, dependiendo del valor del estadístico
de Prueba.
Nivel de Significación Este valor ? determina un
valor crítico c P ( d gt c / H0 ) ?. El
procedimiento de selección de c a partir de ?
tiene varias críticas i. El resultado del Test
depende mucho de ?. ii. Dar sólo el resultado
del Test no permite diferenciar el grado de
evidencia que la muestra indica a favor o en
contra de H0.
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Definiciones
Nivel crítico p Se define el nivel crítico p del
contrate como la probabilidad de obtener una
discrepancia mayor o igual que la observada en la
muestra bajo H0. donde valor observado
p depende de la muestra
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Consideremos H0 ? ? ?0 v/s H1 ? ? ?1
Sea ? Estado de Naturaleza ? ?0 ? ?1 ?
Espacio de Información ? C ? CC Regla de
Decisión x ? C ? H0 es F x ? CC ? H0 es
V Error tipo I Rechazar H0 (cuando es
verdadero) Error tipo II Aceptar H0 (cuando es
falso) P(Error tipo I) P? ( C ) ? , ? ?
?0 P(Error tipo II) P? (CC) ? , ? ?
?1 Fijada la región crítica C podemos
definir ?C ? ?0,1? ? ?C(?) P? (C)
Función Potencia
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En la práctica interesa que ? , ? sean
pequeños. Un método para construir un Test
apropiado es 1.- Fijar C P? ( C ) ? ?
dado ? Sea ? C P? ( C ) ? ? 2.- Elegir C
P? ( CC ) ? sea mínimo para C ? ?. Toda
región C ? ? región crítica P? ( C ) ? ? si ?
? ? y P? ( C ) máxima ? ? ?1, se dice Región
Crítica Óptima.
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Test de Comparación de Medias

Supuesto Independencia

Caso Normal Estadística de Prueba
?i desconocidos pero iguales
?i conocidos
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• donde
• Para el caso de ?i desconocidos y distintos no
  hay solución exacta.
• Región crítica C se modifica

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Ejemplo
Una v.a. X tiene una ley de Probabilidades dada
por
X 1 2 3 4 5 6 Bajo H0 p
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Bajo H1
p 2/15 1/6 1/5 1/5 1/6 2/15
Regla Se decide rechazar H0 si X 3 ó 4
Determinar ? Error tipo I ? Error
tipo II y la Potencia del Test
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Solución
? PHo ( C ) PHo (? 3 , 4 ?) 2/6 1/3
? PH1 ( CC ) PH1 (? 1 , 2 , 5 , 6 ?) 1 -
2/5 3/5
?C (?) P? (C) 1 - ? 2/5
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Resumen
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Hipótesis
Estadística de Prueba


(? conocido)
(? desconocido)
idem
?
idem
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Hipótesis
Estadística de Prueba


?
?
?
?
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Problema
Un nuevo dispositivo de filtrado se instala en
una planta química. Antes y después de su
instalación una m.a. respectiva arrojó la
siguiente información del porcentaje de impurezas
Antes Después

El dispositivo de filtrado ha reducido el
porcentaje de impurezas significativamente ?
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Desarrollo

?
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Nivel de significancia ?0,05 t0,975(15)gl
2,131 Región crítica C -? -2,131 ?
2,131 ? t0 ? CC ? Se acepta H0 Es
decir, el dispositivo nuevo no reduce
significativamente el porcentaje de
impurezas. Región crítica C 0
0,204 ? 4,53 ? F0 ? CC ? Se acepta H0
?12 ?22
?