Dimensi

1
Fractales
Dimensión Fractal Hacia una medida de la
Realidad
2
Primera Parte Aspectos Teóricos de la Geometría
Fractal Definición de Fractal Autosimilitud D
imensión Fractal Diferentes Tipos de
Fractales
3
Hacia una definición
Frases sueltas sobre Fractales La Geometría
Fractal es también conocida como la Geometría de
la Naturaleza. La palabra Fractal,
enunciada por Mandelbrot, proviene del latín y
significa roto, quebrado. (Se asocia con las
discontinuidades de funciones matemáticas).
La Geometría Fractal es un nuevo lenguaje
ya que los puntos, rectas, esferas, elipses y
demás objetos de la geometría tradicional son
reemplazados por algoritmos iterativos
computacionales que permiten describir
sistemas naturales, caóticos y dinámicos.
Un fractal es un objeto en el cual sus partes
tienen alguna relación con el todo. (esto está
íntimamente ligado a la Autosimilitud)
Los Fractales son objetos cuya dimensión es no
entera o fraccionaria. Un objeto fractal
es aquél que posee las siguientes dos
características a) Autosimilitud, b) Dimensión
Fractal
4
Qué es un Fractal?

• Son objetos geométricos que poseen dos
  características fundamentales
• Autosimilitud
• Dimensión Fraccionaria

Cuántos tipos de Fractales existen?
Los objetos Fractales se pueden clasificar de la
siguiente manera
5
Autosimilitud
1) Perfecta Cada porción de un objeto tiene
exactamente las mismas características del objeto
compelto.
6
Autosimilitud
2) Estadística cada región de un objeto
conserva, de manera estadísticamente similar, sus
características globales.
7
Dimensión Fractal

• Dimensión Topológica
• Dimensión 0 -- Un punto
• Dimensión 1 -- Una línea recta
• Dimensión 2 -- Un planoDimensión 3 -- El
  espacio

2) Dimensión de Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
S LD Donde S es la cantidad de segmentos o
su longitud L es la escala de medición D es
justamente la Dimensión. Luego obtengoLog S
Log LD Por propiedades de los logaritmos puedo
decir que Log S D Log L Por último divido
ambos miembros por Log L y obtengo D Log S /
Log L
8
Dimensión Fractal
Mediante la siguiente FórmulaS LD Donde
S es la cantidad de veces que se repite la
imágen generadora L es igual a (1/e) donde e
es la escala de medición D es justamente la
Dimensión buscada. Aplicando logaritmos se
obtieneLog S Log LD Por propiedades de
los logaritmos escribimos Log S D Log L Por
último divido ambos miembros por Log L y obtengo
D Log S / Log L

Fractales Lineales
Fractales Complejos y Caóticos
Su Dimensión Fractal se CALCULA
Su Dimensión Fractal se ESTIMA
Mediante las siguientes técnicas o
algoritmos Wavelets Exponente de Hurst Dimensión
de Autocorrelación Boxcounting Method Exponentes
de Lyapunov
Ejemplo DM de un Fractal Lineal
e (1/3)L 1/(1/3)3S4
D log(4)/log(3)D 1,261859
9
Cómo se genera un Fractal?
Paso 1, se elige una imagen generadora (puede ser
cualquiera, desde una recta hasta la cara de
Mickey Mouse). Paso 2, se elige un algoritmo de
transformación de la imagen generadora. Paso 3,
se itera el algoritmo infinitas veces, o con un
límite determinado como variable en un
software. Ejemplos
Curva de Von Koch Curva de
Peano
Modelo Neuronal
Los Fractales complejos se generan con la misma
lógica, solo que en lugar de iterar una imagen,
se itera una ecuación en el plano de los números
complejos. Por ejemplo, el Conjunto de
Mandelbrot se genera mediante la iteración de
Zn1 Zn2 C Los Fractales Caóticos, son los
elementos geométricos de la Teoría del Cáos. Se
los denomina Atractores. Se generan a través de
mediciones provenientes del mundo real, como
Ecuaciones Direnciales o Series de tiempo.
Cuando uno modela un sistema natural caótico,
tiene como finalidad encontrar un Atractor.
10
Mejorando nuestra definición
La Geometría Fractal, llamada también "Geometría
de la Naturaleza", es un conjunto de estructuras
irregulares y complejas descriptas a través de
algoritmos matemáticos ycomputacionales los
cuales reemplazan a los puntos, rectas,
circunferencias y demás figuras provenientes de
la matemática tradicional. Estos objetos tienen
como características fundamental las propiedades
de Autosimilitud y la de convivir en extraños
paisajes formados por dimensiones fraccionarias.
Ahora si La definición de MANDELBROT
Un fractal es un objeto matemático cuya dimensión
de Hausdorff es siempre mayor a su dimensión
topológica.
11
El Conjunto de Cantor
S 2 L 3 Dimensión Topológica 1 ya que
parte de una recta. Dimensión Fractal
0.6309..
D Log 2 / Log 3 - D 0.6309.............
Se presenta el problema de excepción a la
definición de Mandelbrot Tiene dimensión
fraccionaria, pero su dimensión Topológica es
mayor que su dimensión fractal.
12
Matemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot (M-Set)
Conjuto Números Complejos
Iteración z1 z02 c
Iteraciones z2 z12 cz3 z22 cz4 z32
cz5 z42 c
Todos los Z y C son números complejos Z0 es el
inicializador La sucesión formada por Z0,Z1, Z2,
Z3ZnSe denomina la ORBITA de Z0 bajo la
iteración z2 c Las órbitas pueden converger o
diverger.
Definición del Conjunto de Mandelbrot El
conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos
valores (complejos) de c cuyas órbitas de 0 bajo
z2 c correspondientes no escapan al infinito
M-Set c / órbita de 0 en Z2 c converge
Importante En M-Set siempre interesa estudiar la
órbita de Z0 0
13
Matemática Fractal
Generando el Conjunto de Mandelbrot
Los colores representados en un Fractal no tienen
un carácter artístico, sino puramente Matemático.
Fractales y Colores
Defino un algoritmo de Colores
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color
NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con
alguna gama de AZUL.- Defino azul CLARO para
los valores de C que tardan MUCHO en
DIVERGER.- Defino azul OSCURO para los valores
de C que DIVERGEN rápidamente.
- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color
NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de
color BLANCO
Los colores dan una muestra de la velocidad con
la que diverge la sucesión
14
Fractales Caóticos - Atractores Extraños
15
Diferentes Tipos de Fractales
Son los objetos geométricosde la Teoría del Caos
Fractales
Complejos
Lineales
Caóticos
Poseen estructura Fractal.Autosimilitud
Estadística
Autosimilitud Perfecta
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se
requiere software. Método Box Couting
Dimensión Fractal fácil decalcular con S LD
Se requieren métodos de medición más complejos
que la Dimensión Fractal.
Se crean a partir de-Un generador -Un
algoritmo de repetición
Se crean a partir de-Un Z0 -Iteraciones en el
Plano Complejo
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones
Diferenciales
Ejemplo Atractor de LorentzModela el Clima
Meteorológico
Ejemplo Triángulo de Cantor y Triágulo de
Sierpinski
Ejemplo Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
16
Segunda Parte Aplicaciones Fractales Medicina
Economía Otras Ciencias Arte
17
Fractales en Medicina - Neurociencias
Simulación de una imágen del Cerebro
Humano Iteración de la fórmula Zn1 Z0
C Diferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se
colorean TODOS los puntos y no solo los
convergentes.
18
Mas Fractales en Medicina
Imagen de un Pulmón animalcon las mismas
características
Imagen de un Pulmón humanocon características
fractales
Fractales, Estadística y Medicina El análisis de
autosimilitud y patrones, no necesariamente tiene
que estudiarse desde imagenes, puede hacerse
tambien desde ecuaciones o curvas como en este
caso de EEG o Series de Tiempo
Imagen de aumentada con detallesde un pulmón
humano
19
Cardiología Fractal
ECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la
DF de ECG de pacientes sanos y de pacientes con
determinadas patologías.
ProblemaDiversos estudios de ECG mostraban una
inconsistencia entre el tamaño de la arteria
izquierda en relación con la fibrilación
arterial. HipótesisMediante un Análisis de la
Dimensión Fractal de una fibrilación arterial
proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño
de la arteria izquierda. Método Se estudian 53
pacientes con fibrilación arterial. Resultados
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la
arteria izquierda en TODOS los pacientes, es de
4,6 cm. o mayor. Si la DF es menor que 1.09 , el
tamaño de la arteria izquierda en TODOS los
pacientes, es menor a 4,6 cm. Si la DF se
encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una
correlación con el tamaño de la arteria
izquierda.
20
Series de Tiempo como Fractales Caóticos
La evolución y dinámica de diferentes sistemas
biológicos, sociales, económicos o médicos pueden
ser vistos y representados como series de tiempo.
Gráfico de la evolución de precios en la Bolsa
de Comercio de Canadá, la cual puede ser tratada
y estudiada como una serie de tiempo.
Un ElectroEncefalograma también puede ser visto y
tratado como una serie de tiempo
Con el mismo procedimiento descripto
anteriormente se genera un fractal lineal, con
autosimilitud perfecta, que representa el gráfico
de una serie de tiempo.
En ambos casos se realiza un Análisis Fractal
para determinar el grado de autosimilitud que
poseen estas series, y en base a eso se puede
conocer más acerca de su dinámica, lo cual
permite realizar inferencias sobre el sistema.
21
Fractales en Economía y Finanzas
Teoría Multifractal en el Análisis de la Bolsa de
Comercio A la izquierda modelos tradiconales en
el Análisis de charts. A la derecha el
mismo Análisis pero utilizando técnicas
Fractales Notar la diferencia en el detalle.
22
Enconomía Fractal
Mercados Financieros vistos como series de tiempo.
Se realiza un Análisis para determinar la DF de
la serie de tiempo con el objeto de conocer la
dinámica del movimiento de precios dentro de la
Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores
futuros. Se calcula la DF mediante el algoritmo
denominado Exponente de Hurst. Propiedades del
exponente de Hurst (H) Varía entre 0 y 1 Si H
0,5 del exponente indica que la serie de tiempo
es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede
inferir en el futuro. Si 0 lt H lt 0,5 existe una
correlación inversa. Si la tendencia de la serie
era decreciente, en intervalos posteriores será
creciente, y por el contrario, si su tendencia
era creciente, en el futuro será decreciente. Si
0,5 lt H lt 1 existe una correlación directa. Si en
un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo
seguirá siendo en el futuro, y viceversa.
Aplicación al Mercado Financiero. Si se
estudia la evolución en el tiempo del precio de
determinada acción mediante esta técnica se puede
inferir Si el valor de H de la serie
de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con
mis acciones. Si 0 lt H lt 0,5
previamente creciente gt VENDO (infiero que
luego el valor disminuyendo) Si 0 lt H
lt 0,5 previamente decreciente gt COMPRO
(infiero que luego el valor aumentará)
Si 0,5 lt H lt 1 previamente creciente
gt COMPRO (infiero que el valor seguirá
aumentando) Si 0,5 lt H lt 1
previemante decreciente gt VENDO (infiero que
el valor seguirá disminuyendo)
23
Análisis Fractal de índices bursátiles
Análisis del índice de valores de las acciones de
la empresa Google, perteneciente al indicador de
acciones tecnológicas de EEUU NASDAQ. Período
Desde el primer día de cotización hasta Setiembre
de 2008 donde se produce el crash financiero. El
índice tiene un piso de 100 US y llegó a cotizar
780 US. El índice fractal calculado de esta
serie de tiempo (el Exponente de Hurst), tiene un
valor de 0,58. Lo cual indica que el movimiento
de precios tuvo una dinámica cercana a la
aleatoriedad.
Análisis del índice de valores de las acciones de
la Bolsa de Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del
día 22 de Octubre de 2008. Este día las acciones
han tenido una caída del 10. El índice fractal
calculado ha sido de 0.75. El mismo es
significativamente superior a 0,5,. Lo cual
indica una dinámica alejada de la aleatoriedad,
esto significa que hubo coordinación en la compra
y venta de acciones a lo largo de ese mismo día.
Miles de mentes pensaron lo mismo al mismo
tiempo. Mediante este tipo de análisis es
posible sacar patrones de comportamiento y
comprender con mayor eficacia la dinámica de un
sistema hiper-complejo como la Bolsa de
Comercio
24
Fractales y Arquitectura
Arte Fractal
Estas tres imagenes de ArteFractal muestran
Fractalesmatemáticos perfectamentereconocibles,
el Conjunto de Mandelbro y el Conjunto deJulia
Fractales manipulados mediante un software para
generar paisajes Fractales, utilizados en el
cine o videos para suplantar maquetas.
25
Conclusiones
Los objetos fractales, más allá de ser elementos
matemáticos que requieren un alto grado de
abstracción, permiten modelar de manera
visualmente interesante gran cantidad de sistemas
naturales. La dimensión fractal, que también
parece ser una medida totalmente abstracta, ya
que no es tan fácil generarse la idea de una
dimensión fraccionaria teniendo como base
nuestros conceptos tradiciones de dimensión
euclidea, puede representar y darnos un parámetro
de determinados sistemas con mucha más precisión
y realidad de lo que lo hacen técnicas de
análisis tradicionales. El Análisis Fractal se
ha convertido en una potente herramienta de
investigación para diferentes áreas de la Ciencia
Aplicada, que van desde la Medicina, Biología,
Sociología, Física, Economía hasta el Arte o la
Arquitectura. Se han publicado cientos de
trabajos en los últimos 10 años en el campo de la
Medicina que abarcan análisis de ECG, EEG,
dinámica de la desintegración sináptica en la
enfermedad del Alzheimer o el crecimiento de un
tumor. Como así también en Economía, todos los
software de análisis bursátil contemplan los
índices fractales vistos en las diapositivas
anteriores o en Sociología se estudia el
crecimiento y densidad de las poblaciones o
emigraciones.