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LECCIÓN 6 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE
VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES
El interés reside en la observación y análisis de
más de una variable aleatoria

• Variables aleatorias bidimensionales discretas
• (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional
  discreta si los posibles valores de (X,Y) son
  finitos o infinitos numerables.
• (Xi,Yj) i1,2,....,k
• j1,2,....,p
• Variable aleatorias bidimensionales continuas
• (X,Y) es una variable aleatoria bidimensional
  continua si puede tomar todos los valores
  posibles dentro de un par de valores dados.

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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD O DE CUANTÍA
CONJUNTA Sean X,Y dos variables aleatorias
discretas, definimos la función de probabilidad
conjunta o función de cuantía conjunta. PijP(Xxi
Yyj) Y1 Y2 Y3 ... Yp P(xi) X1 P11 P12 P13 ...
P1p P(x1) X2 P21 P22 P13 ... P2p P(x2) X3 P31 P
32 P33 ... P3p P(x3) .. Xk Pk1 Pk2 Pk3 ... Pkp P
(xk) P(yj) P(y1) P(y2) P(y3) ... P(yp)
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA (V. DISCRETAS) A
cada elemento (X,Y) se le hace corresponder una
F(X,Y) suma de los valores que toma la función de
probabilidad en los puntos (X,Y) que
verifica F(x,y)P(X?x Y?y ) F(x,y)?? P(Xxi
Yyj )

• Propiedades
• 0?F(x,y)?1
• F(x,y) es monótona creciente
• si x1ltx2 entonces F(x1,y)?F(x2,y) ?y
• si y1lty2 entonces F(x,y1)?F(x,y2) ?x

• Lim F(x,y)1 x,y? ?
• Lim F(x,y)0 x,y?- ?

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Una moneda corriente se lanza tres veces. Sea X
número de caras en los tres lanzamientos, e
Ydiferencia en valor absoluto entre el número de
caras y el de cruces en los tres lanzamientos. a)
Obtener la distribución de probabilidad (X,Y) b)
Obtener las distribuciones marginales de X e Y c)
Distribución de X condicionada a que Y3 d)
Distribución de Y condicionada a que X2
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• VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES CONTINUAS
• FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD CONJUNTA
• Definimos f(x.y) a partir de la derivada respecto
  de la función de
• distribución
• f(x,y) ?0 -?ltxlt ?, -?ltylt ?

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VARIABLES ALEATORIAS BIDEMENSIONALES
CONTINUAS FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN CONJUNTA
La función de distribución F(x,y) viene dada por
Propiedades F(x,y) ?0 La probabilidad de la
función en todo el espacio muestral es igual 1
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La función de densidad conjunta de dos variables
aleatorias continuas X e Y es xy para 0ltxlt1
0ltylt1 0 en otro caso a) Probar su estructura de
función de densidad b) Encontrar la función de
distribución conjunta
f(x,y)
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Encuentre la densidad de probabilidad conjunta de
dos variables aleatorias X e Y cuya función de
distribución conjunta es (1-e-x)(1-e-y) para
xgt0 ygt0 0 en otro caso Utiliza la función de
densidad para determinar P(1ltXlt3 1ltYlt2)
F(x,y)
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• DISTRIBUCIONES MARGINALES
• Conociendo la distribución conjunta de la
  variable (x,y) podemos conocer las distribuciones
  unidimensionales de X e Y por separado
• La distribución marginal de Y es aquella
  distribución cuyas modalidades son las
  modalidades de Y y cuyas probabilidades son las
  probabilidades totales de Y.
• La distribución marginal de X es aquella
  distribución cuyas modalidades son las
  modalidades de X y cuyas probabilidades son las
  probabilidades totales de X.

Variables continuas
Variables discretas P1(x)?P(x,y)
y P2(y)?P(x,y) x
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La función de densidad conjunta de dos variables
aleatorias continuas X e Y es 2/3(x2y) para
0ltxlt1 0ltylt1 0 en otro caso a) Hallar la
distribución de densidad marginal de X y de Y b)
Encuentre la densidad condicional de X dado Yy,
y úsela para evaluar P(X?1/2 ?Y1/2)
f(x,y)
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FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN MARGINALES
Variables discretas 1) De X F1(x)P(X?x Ylt?
)?P(xi)
x 2) De Y F2(y)P(Xlt?Y ?y)?P(yj)
y
Variables continuas 1) De X 2) De Y
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FUNCIONES CONDICIONADAS
Función cuantía condicionada Función de
densidad condicionada
Variables discretas a un valor cualquiera X
fijo P(y/x)P(x,y)/P1(x) P1( x)gt0 a un valor
cualquiera Y fijo P(x/y)P(x,y)/P2(y) P2( y)gt0
Variables continuas a un valor cualquiera X
fijo f(y/x)f(x,y)/f1(x) f1( x)gt0 a un valor
cualquiera Y fijo f(x/y)f(x,y)/f2(y) f2( y)gt0
Función de distribución condicionada de X
F(x/y)P(X?x/Yy)F(x,y)/F2(y) de Y
F(y/x)P(Y?y/Xx)F(x,y)/F1(x)
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VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Momentos
estadísticos M(r,s)(b,d)E(x-b)r(y-d)s? MOMENTOS
NO CENTRADOS O RESPECTO AL ORIGEN b0 y
d0 Variables discretas ?r,sE(x)r(y)s? ??
PijXirYjs Variables continuas ?r,sE(x)r(y)s?
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?1,0E(x)? ?0,1E(y)? ?1,0E(x)2?
?0,2E(y)2? ?1,1E(x)(y)?
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VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES MOMENTOS
CENTRADOS O RESPECTO A LA MEDIA bE(X) y
dE(Y) Variables discretas mr,sE(x-E(x))r(y-E(y)
)s? ?? Pij(Xi-E(x))r(Yj-E(y))s) Variables
continuas mr,sE(x)r(y)s?
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m1,00 m0,10 m2,0 ?2,0-?1,0?x2 m0,2
?0,2-?0,1 ?y2 m1,1cov(xy)
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CONDICIÓN DE INDEPENDENCIA ENTRE VARIABLES
ALEATORIAS
P(xi/yj)P(xi) f(x/y)f1(x) P(yj/xi)P(yj) f(y
/x)f2(y) También Variables discretas pijp(xi)p(y
j) Variables continuas f(x,y)f1(x)f2(y)
F(x,y)F1(x)F2(y)
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Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada
por las variables X e Y y sea g(z)g(x,y) una
función de z. a) Variables discretas Eg(x,y)?
?? g(xi,yj)Pij b) Variables continuas Eg(x,y)?
Propiedades Eg(x)g(y)? Eg(x)?
Eg(y)? Eg(x)g(y)? Eg(x)? Eg(y)?
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Sea Z una variable aleatoria bidimenional formada
por las variables X e Y llamaremos vector de
varianzas.?z2(?x2,?y2) a) Variables
discretas ?2g(x,y)? ?? g(xi,yj)-Eg(x,y)??pij
b) Variables continuas ?2
Propiedades ?2 (xy) ?2 x ?2 y ?2 (x-y) ?2 x
?2 y
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A partir de la siguiente distribución
bidimensional
Y X 2 4 6 8 P(yj) 1 0.09 0.3 0.11 0.21 0.71
3 0.05 0.12 0.08 0.04 0.29 P(xi) 0.14 0.42 0.19
0.25
a) Vector de medias b) Calcular E(g(x,y)) donde
g(x,y)xy