Presentaci

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Tema 5. El lenguaje de la lógica de primer orden
b. Formalización del lenguaje natural
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Sentencias

• No todas las fórmulas expresan oraciones. Sea el
  predicado P ? ser pequeño. Compárense
• Pa Px ?xPx ?xPy
• Sólo Pa y ?xPx expresan oraciones, i.e.,
  enunciados con valor de verdad
• Pa afirma que Frodo es pequeño
• ?xPx afirma que todo el mundo es pequeño
• Para tener valor de verdad una expresión debe
  decir algo acerca de un individuo o de un
  conjunto de ellos

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Sentencias

• Fórmulas como Px y ?xPy expresan afirmaciones
  indeterminadas
• Px viene a decir que x es pequeño
• No hay que confundir esta expresión con Alguien
  es pequeño. Esta última está cuantificada y se
  expresa como ?xPx
• ?xPy también está cuantificada, pero las
  variables no casan entre sí. La variable x
  pegada al existencial no está dentro del
  alcance de éste.

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Alcance del cuantificador

• El ALCANCE de un cuantificador es la fórmula que
  le sigue inmediatamente
• El alcance de ?x en las siguientes fórmulas es
• ?xPx Px
• ?x(Px ? Qx) Px ? Qx
• ?x(Px ? ?xQx) Px ? ?xQx
• ?xPx ? ?xQx Px
• ?x?yRxy ?yRxy
• ?y?xRxy Rxy
• ?xy xy ?y xy

Obsérvese la función de los paréntesis
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Ejercicio Alcance del cuantificador

• Cuál será el alcance de ?x en estas fórmulas?

Px
?xPx ? Qx ?x?yRxy ?yxz (yx ?
zx) ?y?xQx ?xQa ?x?xyz ?y(Py ? ?xQx) ?x xa ?
x?b
?yRxy
?z (yx ? z x)
Qx
Qa
No es fórmula
Qx
x a
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Variables libres y ligadas

• Una variable está LIGADA ssi ocurre dentro del
  alcance de un cuantificador que tiene esa
  variable inmediatamente a su derecha.
• Una variable está LIBRE ssi no está ligada
• x ligada x libre
• ?xPx Px
• Py ? ?xPx ?xPy ? Px
• ?yx(Py ? Rxy) ?y(Py ? Rxy)
• ?x(?yPy ? x a) ?x?yPy ? x a

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Variables libres y ligadas

• Cada aparición de una variable o término en una
  fórmula, es una ocurrencia de aquélla.
• Una variable puede tener ocurrencias libres y
  ligadas en una misma fórmula.
• Compárense las ocurrencias ligadas y libres en
  las siguientes fórmulas
• ?y(Rxy ? ?xRxy)
• ?xPx ?Qx
• ?y(?xPx ? Rxy)
• ?xy?z(xz ? yz) ? xy

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Ejercicio variables libres y ligadas

• Hay alguna variable libre en estas fórmulas?

la 2ª x
?xPx ? Qx ?x?yRxy ?yxz (yx ? zx) ?y?xQx ?
?xRxx ?x(Qxy ? ?yQyx) ?x?y(?z(Px ? Rxy) ?
Pz) ?x(?yPy?(?zRxz ? ?xRzx) ?x xa ? x?b
no
no
no
la 1ª y
la z
no fórmula falta )
la 2ª x
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Sentencia y fórmula libre

• Una fórmula es SENTENCIA (i.e., un enunciado con
  valor de verdad) ssi no contiene variables libres
• Una fórmula con al menos una variable libre es
  una FÓRMULA ABIERTA
• Sentencias Fórmulas abiertas
• Rab ? Rba Rax ? Rxa
• ?x(Px ?Qx) ?xPx ?Qx
• ?yx(Py ? Rxy) ?x(Py ? Rxy)
• ?x xa ? ?y y?b ?x ya ? ?y x?b

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Sentencia y fórmula libre

• Las sentencias pueden ser enunciados de 2 tipos
• PARTICULARES sentencias que no contienen ninguna
  variable
• GENERALES sentencias que contienen alguna
  variable cuantificada
• Particulares Generales
• Pa ?y Py
• Qb ? Pc ?xQx ? ?yPy
• Rab ? Rba ?xy(Rxy ? Ryx)
• ac ? cb ?x(ax ? ?y xy)

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Ejercicio sentencia y fórmula libre

• Es sentencia? De qué tipo?

no es sentencia
?xPx ? (?yPy ? Qx) ?xRax ? xa ?
xb ?x(?yPy??zRxz) ? ?xzRzx ?xQay ? ?yQxb
?xy(Qxy ? ?yQyx) ? Qab ?x?y(?z(Pa ? Rab) ?
Py) ?yxz (ab ? bc) ?x xa ? (xb ? xc)
no fórmula
sentencia general
no es sentencia
sentencia general
sentencia general
sentencia particular
no es sentencia
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Formalización del lenguaje natural

• Al traducir una oración a L1 el resultado debe
  ser siempre una sentencia nunca pueden quedar en
  la fórmula variables que no estén ligadas por
  ningún cuantificador.
• Lo primero será, entonces
• Identificar los individuos o grupos de individuos
  sobre los que se está predicando algo
• Identificar si la relación que establece lo que
  se predica de ellos es monaria, binaria, ternaria

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Identificando individuos

• Si Bilbo es hobbit, vive la Comarca
• Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura
• Mi amigo el orco se ha comido a tu perro
• Smeagol es el nombre hobbit de Gollum
• El mayor número primo es impar
• El padre del padre del padre del padre de Gimli
  era elfo

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Identificando grupos de individuos

• CUANTIFICADOR UNIVERSAL
• Las partículas más típicas que lo indican son
• Todo es de color de rosa
• Todo el mundo teme a Sauron
• Todos los elfos aman la poesía
• Los elfos aman la poesía
• Todo aquel que odia a Sauron, ama a Frodo
• Cualquier enano desprecia a los elfos
• Quien ama a Frodo, no odia a Sam

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Identificando grupos de individuos

• CUANTIFICADOR EXISTENCIAL
• Las partículas más típicas que lo indican son
• Alguien no teme a Sauron
• Hay algo en el bolsillo de Frodo
• Al menos un hobbit ha salido de la Comarca
• Algunos elfos no son cursis
• Unos orcos han secuestrado a Pippin
• Unos pocos hobbits han salvado a muchos
• Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbits

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Identificando grupos de individuos

• AMBIGÜEDADES
• El único orco bueno es Gutiérrez (particular)
• El único orco bueno es el orco muerto (genérico)
• Quien desea el Anillo, busca a Frodo (todo aquel)
• Nadie ha visto la cara de quien desea el anillo
  (el individuo particular que lo desea)
• La venganza es un plato que se toma frío
  (genérico)
• La venganza de Sauron será terrible (particular)

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Identificando grupos de individuos

• NADIE, NINGUNO
• Estas expresiones pueden formalizarse tanto con
  el universal como con el existencial
• Nadie es perfecto
• i) Dado un individuo cualquiera, no es perfecto
• ?xPx
• ii) No es cierto que al menos uno es perfecto
• ?xPx
• Esto no supone ambigüedad, puesto que ambas
  expresiones son equivalentes

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Identificando grupos de individuos

• Los 4 tipos básicos de enunciados
• Universal
• afirmativo TODO P ES Q
• negativo NINGÚN P ES Q
• Particular
• afirmativo ALGÚN P ES Q
• negativo ALGÚN P NO ES Q

?x(Px ? Qx)
?x(Px ? Qx)
?x(Px ? Qx)
?x(Px ? Qx)
?x(Px ? Qx)
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Identificando grupos de individuos

• Por qué Todo P es Q se formaliza como un
  condicional? Compárense
• Todos los suizos son europeos
• Todos los europeos son suizos
• Detectamos fácilmente una asimetría entre 1 y 2.
• 1 dice que SI uno es suizo, uno es europeo
• 2 dice que SI uno es europeo, uno es suizo
• El condicional nos permite reflejar esta
  asimetría.

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Identificando grupos de individuos

• En cambio, en Algún P es Q no hay tal
  asimetría
• Algunos suizos son banqueros
• Algunos banqueros son suizos
• 1 y 2 afirman lo mismo no puede ser que una sea
  verdadera y la otra no.
• Para que sea verdadera, debe ocurrir que haya al
  menos un individuo que satisfaga a la vez las
  propiedades de ser suizo y banquero

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Identificando grupos de individuos

• Consideremos Ningún P es Q
• Ningún orco es vegetariano
• Podemos leerlo de 2 maneras diferentes
• i) Dado un individuo cualquiera, si es orco,
  entonces no es vegetariano ?x(Px ? Qx)
• ii) No es cierto que haya al menos un individuo
  tal que es orco y vegetariano ?x(Px ? Qx)
• Esto no supone ambigüedad, sino que ambas
  expresiones son equivalentes

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Ejercicios de formalización

• Si Bilbo es hobbit, vive en la Comarca
• Bilbo a, la Comarca b
• ser hobbit H, vivir en V
• Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura
• B-D a la T.O. b
• ser más alto que A
• Mi amigo el orco se ha comido a tu perro
• mi amigo a tu perro b comer C

Ha ? Vab
Aab
Cab
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Ejercicios de formalización

• Smeagol es el nombre hobbit de Gollum
• S a el nombre b
• El mayor número primo es impar
• el mayor nº a ser impar I
• El padre del padre del padre de Gimli era elfo
• el padre dede G a ser elfo E

a b
Ia
Ea
No tenemos aún recursos para expresar la
estructura de a
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Ejercicios de formalización

• Todo es de color de rosa
• ser rosa R
• Todo el mundo teme a Sauron
• S c temer T
• Todos los elfos aman la poesía
• Los elfos aman la poesía
• poesía a ser elfo E amar A

?x Rx
?xTxc
?x(Ex ? Axa)
Nótese que hemos reificado la poesía
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Ejercicios de formalización

• Todo aquel que odia a Sauron, ama a Frodo
• F a S c odiar O amar A
• Cualquier enano desprecia a los elfos
• poesía a ser enano N
• ser elfo E despreciar D
• Quien ama a Frodo, no odia a Sam
• F a Sam b amar A odiar O

?x(Oxc ? Axa)
?xy((Nx ? Ey) ? Dxy)
?x(Axa ? Oxb)
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Ejercicios de formalización

• Alguien no teme a Sauron
• S c temer T
• Hay algo en el bolsillo de Frodo
• el b. de F. a estar en E
• Al menos un hobbit ha salido de la Comarca
• la Com a ser hobb H salir de S
• Algunos elfos no son cursis
• ser elfo E ser cursi C

?xTxc
?xExa
?x(Hx ? Sxa)
?x(Ex ? Cx)
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Ejercicios de formalización

• Unos orcos han secuestrado a Pippin
• Pippin a ser orco O secuestrar S
• Unos pocos hobbits han salvado a muchos
• ser hob H salvar S
• Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbits
• ser orco O ser hob H envidiar E

?x(Ox ? Sxa)
?xy(Hx ? Sxy)
?xy(Ox ? Hy ? Exy)
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Cuantificación identidad

• Los cuantificadores no permiten recoger todas las
  sutilezas del lenguaje natural, pero con la ayuda
  del signo de identidad se pueden captar
  relaciones más complejas
• Hay al menos dos P
• Hay como máximo un P
• Hay exactamente n P
• Sólo
• Otro

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Cuantificación identidad

• HAY AL MENOS DOS
• Necesitamos combinar la idea de al menos uno
  con la idea de diferencia
• Hay al menos un hobbit ?xHx
• Hay al menos dos hobbits
• Hay al menos un hobbit y otro hobbit y uno es
  diferente del otro
• ?xy(Hx ? Hy ? x ? y)

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Cuantificación identidad

• HAY COMO MÁXIMO DOS...
• Hay como máximo un hobbit
• En este caso la idea de hay al menos uno no nos
  sirve, ya que de como máximo 1 no se sigue hay
  1
• Si un individuo es hobbit y otro individuo es
  hobbit, el primero es idéntico al segundo
• ?xy((Hx ? Hy) ? x y)
• Hay como máximo 2 hobbits
• ?xyz((Hx ? Hy ? Hz) ? (x y ? x z ? y z))
• Las variables introducen 3 candidatos a hobbit
  y la disyunción señala que 2 de ellos son el
  mismo individuo

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Cuantificación identidad

• HAY EXACTAMENTE DOS
• Se trata de combinar las ideas de al menos y
  como máximo
• Hay exactamente 2 hobbits quiere decir que
• Hay al menos 2 hobbits Y hay como máximo 2
  hobbits
• ?xy(Hx ? Hy ? x?y) ? ?xyz((Hx ? Hy ? Hz)?(xy ?
  xz ? yz))
• Esto se puede simplificar, haciendo que las
  variables x e y del ? caigan bajo el alcance del
  ?
• ?xyHx ? Hy ? x?y ? ?z(Hz?(xz ? yz))

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Cuantificación identidad

• OTRO
• Algunos orcos buscan a Frodo, pero han
  secuestrado a otro
• Frodo a ser orco O
• buscar B secuestrar S
• ?xy(Ox ? Bxa ? Sxy ? y ? a )
• es decir, alguien es orco, ese alguien busca a
  Frodo, ese alguien (x) secuestra a otro alguien
  (y), y este último alguien no es Frodo. La
  idea de otro viene recogida en y ? a

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Cuantificación identidad

• SÓLO
• Gollum piensa sólo en el Anillo Único
• Gollum a el Anillo b pensar en P
• Consideremos Pab
• Esta formalización dice que Gollum piensa en el
  Anillo, pero no capta el hecho de que Gollum no
  piensa en ninguna otra cosa. Esto podemos
  expresarlo con la identidad
• Pab ??x(Pax ? xb)
• es decir cualquier cosa en la que piense Gollum,
  ha de ser el Anillo

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Cuantificación identidad

• SÓLO
• Sólo Gollum piensa en el Anillo Único
• Gollum a el Anillo b pensar en P
• Las cosas han cambiado la restricción lógica que
  impone la partícula SÓLO apunta hacia otro
  elemento
• Pab ??x(Pxb ? xa)
• es decir el conjunto de los que piensan en el
  Anillo se reduce a Gollum

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Cuantificación identidad

• SÓLO
• Frodo ama a Sam
• Sólo Frodo ama a Sam
• Frodo ama sólo a Sam
• Frodo es el único que ama sólo a Sam

Aab
Aab ??x(Axb ? xa)
Aab ??x(Aax ? xb)
Aab ??x(Aax?xb) ? ?x(Axb ??y(Axy ? yb))?xa)
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Cuantificación sólo vs. todos

• SÓLO no siempre se expresa recurriendo al símbolo
  de identidad. Cuando expresamos relaciones entre
  grupos por medio de un condicional, debemos tener
  en cuenta en qué dirección se establece dicha
  relación. Esto es pertinente al comparar sólo con
  todos
• Todos los enanos son avaros ?x(Nx ? Ax)
• Sólo los enanos son avaros ?x(Ax ? Nx)
• 1 dice que si uno es enano, entonces es avaro,
  pero puede ser que otras criaturas también sean
  avaras
• 2 excluye esta última posibilidad si una
  criatura es avara, entonces esa criatura es un
  enano

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Cuantificación sólo vs. todos

• La partícula SÓLO puede aparecer en una posición
  diferente, relacionando grupos de individuos
• Sólo los enanos desprecian a los elfos
• ?xy((Ey ? Dxy) ? Nx) ? ?xy(Ey ? (Dxy ? Nx))
• Si uno es elfo y es despreciado, quien lo
  desprecia es un enano
• Los enanos desprecian sólo a los elfos
• ?xy((Nx ? Dxy) ? Ey) ? ?xy(Nx ? (Dxy ? Ey))
• Si uno es enano y desprecia a alguien, ese a
  quien desprecia es un elfo
• Compárese con Los enanos desprecian a los elfos
• ?xy((Nx ? Ey) ? Dxy) ? ?xy(Nx ? (Ey? Dxy))

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Cuantificación sólo vs. todos

• Las restricciones que establecen SÓLO y TODOS
  pueden combinarse en oraciones como
• Los enanos desprecian a los elfos, y sólo a ellos
• ?xy(Nx ? (Ey? Dxy)) ? ?xy(Nx ? (Dxy ? Ey))
• lo cual equivale a ?xy(Nx ? (Ey ? Dxy))
• es decir, si uno es enano, todo el que desprecia
  es elfo y todo el que es elfo es despreciado por
  él
• Los enanos, y sólo ellos, desprecian a los elfos
• ?xy(Nx ? (Ey? Dxy)) ? ?xy(Ey ? (Dxy ? Nx))
• lo cual equivale a ?xy(Ey ? (Nx ? Dxy))

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Más ejemplos de formalización

• Alfonsina es hermana de Blasa si y sólo si Blasa
  es hermana de Alfonsina
• Hab ? Hba
• Todos envidian al Papa
• ?xExa
• Bush desprecia a todo el mundo
• ?xDax

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Más ejemplos de formalización

• Alguien vive en Andorra
• ?xVxa
• Liechtenstein está en alguna parte
• ?xEax
• Algunos americanos votaron a Bush
• ?x (Ax ? Vxb)
• Todos los suizos votaron a Bush
• ?x (Sx ? Vxb)

41
Más ejemplos de formalización

• Ningún demócrata votó a Bush
• ?x(Dx ? Vxb)
• o también ?x(Dx ? Vxb)
• Algunos envidian a los búlgaros
• ?x?y(By ? Exy)
• Los búlgaros imitan a los griegos
• ?xy((Bx ? Gy)? Ixy)

42
Más ejemplos de formalización

• (Sacados de M. Manzano y A. Huertas)
• Alicia no ama a nadie, ni a sí misma, pero
  Benigno, que es enfermero, la ama
• ?xAax ? Aaa ? Eb ? Aba
• Benigno le habla a Alicia, pero ella no habla con
  aquellos que la aman, ni con nadie
• Hba ? ?x(Axa ? Hax) ? ?xHax

43
Más ejemplos de formalización

• Alicia es amada pero sólo le hablan los que
  confían en Benigno
• ?xAxa ? ?x(Hxa ? Cxb)
• o también ... ? ?x(Cxb ? Hxa)
• Los otros enfermeros no le hablan a Alicia y
  desconfían de Benigno
• ?x ((Ex ? x?b) ? (Hxa ? Cxb))
• (desconfiar no confiar)

44
Más ejemplos de formalización

• Lanzarote ama a Ginebra, pero ella no ama a todos
  los que la aman
• Aab ? ?x(Axb ? Abx)
• Lanzarote no ama a ninguno de sus amigos
• ?x(Mxa ? Aax)
• Los amigos de Lanzarote no aman a aquellos a
  quienes Lanzarote ama
• ?xy(Mxa ? (Aay ? Axy))

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Más ejemplos de formalización

• Únicamente los cocineros famosos se admiran a sí
  mismos
• ?x(Axx ? (Cx ? Fx))
• o también ?x((Cx ? Fx) ? Axx)
• No todos los cocineros que viven en Donostia
  admiran a los cocineros famosos
• ?xy(Cx ? Vxa ? (Cy ? Fy) ? Axy)
• o también ?xy(Cx ? Vxa ? Cy ? Fy ? Axy)