ARITM

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ARITMÉTICA EN EL ?-CÁLCULO

• Inmaculada Berrocal Rincón
• Pablo Camacho Aires
• Adrián Muñoz Alba

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CONTENIDOS

• El sistema de numerales
• Es un sistema adecuado?
• Operaciones con los numerales de Church
• Suma
• Resta
• Multiplicación
• El uso de combinadores
• Numerales de Church y Numerales Estándar
• Otras operaciones
• La igualdad entre pares Church
• Factorial

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EL SISTEMA DE NUMERALES

• Un sistema N de numerales es una terna
  N lt N, Cero, Suc gt donde N es
  una sucesión de combinadores
• N N0, N1,
• Y Cero y Suc son dos términos (funciones) tales
  que
• Suc Nk Nk1

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NUMERALES DE CHURCH

• Se definen de la siguiente forma
• C0 ?fx.x
• C1 ?fx.fx
• C2 ?fx.f(fx)
• Cn1 ?fx.fn1(x)
• Función sucesor Suc ?nfx.f (n f x)
• Función Test Cero EsCero ?n.n (?x.F) T
• F ?xy.y
• T ?xy.x

Combinadores
siendo
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ES UN SISTEMA ADECUADO?

• Un sistema de numerales es adecuado si existe
  una función Pred (predecesor) tal que
• Pred Nk1 Nk
• El sistema de numerales de Church podemos decir
  que es un sistema de numerales adecuado, ya que
  podemos definir una función Pred que garantiza lo
  anterior.
• Nuestra función Pred es
• Pred ? nfx. n (?gh.h(gf)) (?u.x) (?u.u)

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OPERACIONES (I)

• Podemos definir la operación suma entre dos
  números como
• Suma ? mnfx. m f (n f x)
• La resta en el lenguaje lambda calculo es muy
  sencilla de definir
• Resta ? mn. n Pred m
• Sustituyendo la función predecesor que vimos con
  anterioridad,
• nos quedaría
• Resta ? mp. p (? nfx. n (?gh.h(gf)) (?u.x)
  (?u.u)) m

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OPERACIONES (II)

• La multiplicación entre dos números definidos en
  lambda cálculo se puede definir de varias formas
• 1) Mult1 ? mnf. m (n f)
• 2) Mult2 ? mn. m (Suma n) 0
• Sustituyendo la función Suma que vimos con
  anterioridad, nos quedaría
• Mult2 ? mn. m ((?pqfx. p f (q f x)) n) (?fx.x)
• lo podemos simplificar como
• Mult2 ? mn. m (?qfx. n f (q f x)) (?fx.x)

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COMBINADORES (I)

• Los combinadores son una versión reducida del
  lambda cálculo sin tipo. A través de ellas se
  pueden obtener funciones de orden superior.
  Existen dos combinadores especiales S y K,
  definidos de la forma
• S ?xyz.x z (y z)
• K ?xy.x
• Existe un combinador I ?x.x que se puede
  expresar en términos de S y K
• I x S K K x K x (K x) x

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COMBINADORES (II)

• Conversión del numeral de Church 0 en un
  combinador
• C0 ?f. ?x.x ?f.I (K I)
• Conversión del numeral de Church 1 en un
  combinador
• C1 ?f. ?x.(f x)
• ?f.(S ?x.f ?x.x)
• ?f.(S (K f) I)
• (S ?f.(S (K f)) ?f.I))
• (S (S ?f.S ?f.(K f)) (K I))
• (S (S (K S) (S ?f.K ?f.f)) (K I))
• (S (S (K S) (S ?f.K ?f.f)) (K I))
• (S (S (K S) (S (K
  K) I)) (K I))

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NUMERALES ESTÁNDAR

• Otro sistema adecuado de numerales a parte de
  los pares de Church son los numerales estándar.
  Se definen
• 0 I
• n 1 F,n ?z.z Fn
• El número 2 se representaría en los numerales
  estándar como
• 2 ?z.z F 1 ?z.z F (?f.f F I)
• Como ya hemos dicho que es un sistema adecuado,
  sean las funciones SucE (sucesor), PredE
  (predecesor) y CeroE (test cero) las siguientes
• SucE ?x.F,x
• PredE ?x.x F
• CeroE ?x.x T

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NUMERALES DE CHURCH Y NUMERALES ESTÁNDAR

• Sería interesante crear unas funciones H y H-1
  que sirvan para pasar de un sistema a otro.
• c0, c1, ? H-1 ? 0, 1,
• c0, c1, ? H ? 0, 1,
• tales que
• H n cn H-1 cn n
• Recursividad en las funciones H
• Combinador para puntos fijos Y ?f. (?x. f(x x))
  (?x. f (x x))

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FUNCIONES H Y H-1

• Función H-1 que pasa de los pares de Church a
  los numerales estándar
• H-1 ?g.H-1aux g 0 ?g. H-1aux g
  I
• H-1aux Y ? -1aux
• ? -1aux ? h.(?gn. COND (EsCero g) n
  (h (Pred g) (SucE n)))
• Función H que pasa de los numerales estándar a
  los pares de Church
• H ?g.Haux g c0 ?g. Haux g (?fx.x)
• Haux Y ? aux
• ? aux ? h.(?gn. COND (CeroE g) n (h
  (PredE g) (Suc n)))

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OTRAS OPERACIONES

• IGUALDAD ENTRE PARES DE CHURCH
• Iguales Y ?
• ? ?h. (?nm. COND (EsCero n)
• (COND (EsCero m) T F)
• (COND (EsCero m) F (h (Pred n) (Pred
  m)))
• FUNCIÓN FACTORIAL
• Factorial Y ?
• ? ?h. (?n. (EsCero n) (?fx.fx) (Mult n (h
  (Pred n))))