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MÉTODOS NUMÉRICOS1.4 Aritmética de la computadora

• Gustavo Rocha
• 2005-2

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Aritmética de la computadora
3
1.4 Aritmética de la computadora

• El usuario se comunica con la computadora en
  sistema decimal, es decir, introduce en ella y
  extrae de ella números en base decimal. Al
  recibir los datos, para poder trabajar con ellos,
  la computadora los convierte al sistema binario,
  su lenguaje natural de operación. Todas las
  operaciones se efectúan en binario y los
  resultados obtenidos, antes de ser entregados al
  usuario, la máquina los convierte al sistema
  decimal. Claro está que la computadora realiza
  estos procesos a enormes velocidades, de manera
  que el usuario ni se entera de lo que sucede ahí
  dentro.
• Sin embargo, al efectuar las conversiones y
  realizar los cálculos se suscitan pequeños
  errores que, si no se prevén, pueden propagarse y
  arrojar resultados muy inexactos o totalmente
  absurdos. Por eso es tan importante el entender
  la aritmética de las computadoras e identificar
  las situaciones en que pueden ocurrir errores
  severos.

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1.4 Aritmética de la computadora

• La operación interna de una computadora se basa
  en la aritmética binaria, en la que la base es el
  2 y sólo hay dos símbolos 0 y 1, pues la memoria
  de la máquina consiste en un vasto número de
  dispositivos de registro magnético y electrónico,
  cada uno de los cuales sólo puede presentar uno
  de dos posibles estados magnetizado en un
  sentido, representando al cero, o magnetizado en
  el otro sentido, representando al uno. Cada
  dispositivo magnético es un dígito binario,
  denominado bit (abreviatura de "binary digit").
• Los bits se agrupan en unidades llamadas
  palabras, las cuales pueden contener 8, 16, 32 o
  64 bits, dependiendo de la computadora de que se
  trate (los tamaños de palabra más usuales son los
  de 16 o de 32 bits). También se utilizan otras
  unidades denominadas bytes, constituidos
  generalmente por 8 bits, y utilizados como
  particiones de palabras, para representar
  caracteres. Así, por ejemplo, una palabra de 32
  bits consta de 4 bytes.
• La manera en que se usan los bits para registrar
  los números enteros y los números fraccionarios,
  varía en función del diseño de la computadora

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1.4.1 Los números enteros en computadora

• Los números enteros requieren de al menos una
  palabra para almacenarse dentro de la memoria de
  la computadora si el tamaño de palabra de la
  computadora es de 2 bytes (16 bits), el primer
  bit registra el signo positivo si es 0, negativo
  si es 1, y los 15 bits restantes se usan para
  registrar números enteros binarios en el rango de
  000000000000000 a 111111111111111.

? n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12 n13 n14 n15

• Al convertir el número binario 111111111111111 a
  sistema decimal, se obtienen las cotas inferior y
  superior en sistema decimal
• 214 213 212 211 210 29 28 27 26
  25 24 23 22 21 20 215 - 1
  32767
• Conforme a esto, el mayor entero positivo posible
  sería el 32767 y el menor entero negativo posible
  sería el -32767 pero la mayoría de las
  computadoras usan el complemento a dos para
  almacenar los números negativos, lo cual consiste
  en cambiar la interpretación de la polaridad en
  los dispositivos magnéticos e incrementar en 1 el
  resultado obtenido esto hace que su rango se
  incremente en 1, para que sea -32768.
• 00000000000000002 0
  10000000000000002 -3276810

6
1.4.1 Los números enteros en computadora
7
1.4.1 Los números enteros en computadora

• Los números positivos se registran así
• 00000000000000012 110 ... 01111111111111112
  3276710
• Para los números negativos, la polaridad se
  invierte los ceros se cambian por unos y los
  unos por ceros y se le añade un 1 al resultado,
  de manera que su registro se hace así
• 11111111111111112 -110 ...
  10000000000000012 -3276710
• Entonces, el rango de almacenamiento de números
  enteros decimales, en máquinas con palabras de
  memoria de 16 bits es (-32,768, 32,767),
  valores más que suficientes para lo que requiere
  un ingeniero.
• Si el tamaño de palabra de la computadora es de 4
  bytes (32 bits), el campo correspondiente es
  conocido como entero largo, pues el rango se
  incrementa sustancialmente (-2147,483,648,
  2147,483,647), obtenido de 231 1, con
  complemento a dos.

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1.4.1 Los números enteros en computadora

• Ejemplo Representar el número 2834510 en
  sistema binario, en una palabra de 16 bits.
• 28345 1
• 14172 0
• 7086 0
• 3543 1
• 1771 1
• 885 1
• 442 0
• 221 1
• 110 0
• 55 1
• 27 1
• 13 1
• 6 0
• 3 1
• 1 1
• 0

2834510 1101110101110012
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1
()
9
1.4.1 Los números enteros en computadora

• Ejemplo Identificar qué número entero decimal
  está representado en la siguiente palabra de 16
  bits.

0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0
()

• 210 29 27 26 25 24 23 21
  178610
• Ejemplo Representar el número -284910 en
  sistema binario, en una palabra de 16 bits,
  usando complemento a dos.
• 2849 1
• 1424 0
• 712 0
• 356 0
• 178 0
• 89 1
• 44 0
• 22 0
• 11 1
• 5 1
• 2 0
• 1 1
• 0

284910 1011001000012 -284910 -1011001000012
10
1.4.1 Los números enteros en computadora

• Complementamos el valor a 15 caracteres 000101100
  1000012
• Cambiamos la polaridad 1110100110111102
• Le sumamos 1 1110100110111112

1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1
(-)

• Ejemplo Identificar qué número entero decimal
  está representado en la siguiente palabra de 16
  bits, usando complemento a dos.

1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1
(-)

• El valor sin signo en 15 caracteres
  es 1110110010100112
• Le restamos 1 1110110010100102
• Cambiamos la polaridad 0001001101011012
• - (211 28 27 25 23 22 20)
  -247710
• Es fácil darse cuenta que el manejo de números
  enteros en computadora no tiene el más mínimo
  problema, siempre que los números introducidos o
  los resultados del procesamiento no sobrepasen el
  rango establecido.

11
1.4.2 Los números reales en computadora

• Las computadoras también manejan los números
  reales en sistema binario, pero no pueden hacerlo
  de manera exacta, porque el número de dígitos
  está limitado por el tamaño de palabra de cada
  máquina. La memoria de la computadora impone así
  una restricción a la precisión y exactitud de los
  números reales, pues al registrarlos,
  necesariamente son redondeados, cometiendo con
  ello pequeños errores. Claro que esta limitación
  no es privativa de la computadoras en los
  cálculos a mano o usando cualquier tipo de
  calculadora, también tenemos que hacer redondeos.
• La forma de registrar un número real en una
  computadora digital depende del diseño del
  hardware y del software sin embargo, el formato
  es del mismo tipo en todos los casos y se basa en
  el principio de utilizar la notación de punto
  flotante normalizado.
• Cualquier número real decimal X puede ser
  expresado en notación científica normalizada
  ésta consiste en expresar el número como una
  potencia de 10, asignándole el exponente n que
  resulte de desplazar el punto decimal las
  posiciones necesarias para que todos los dígitos
  significativos del número en cuestión queden
  inmediatamente a la derecha del punto,
  garantizando que el primero de ellos sea
  diferente de cero
• X F x 10n
• donde F es un número menor que 1 y mayor o igual
  que 0.1 0.1 ? F lt 1
• y n es un entero positivo, negativo o cero
  n ? Z
• Ejemplos 836.23810 0.836238 x 103
• -0.0067281310 -0.672813 x 10-2

12
1.4.2 Los números reales en computadora

• De la misma manera, aunque con valores
  significativos diferentes, en sistema binario
  también se puede expresar cualquier número real
  con la notación científica normalizada, a la que
  en este caso se le llama notación de punto
  flotante normalizado.
• X G x 2m
• donde el exponente m es un entero positivo,
  negativo o cero, expresado en binario, y G es la
  mantisa del número, la cual debe ser menor que 1
  y mayor o igual que 0.12 (ó 0.510).
• Por ejemplo 11111.012 0.11111012 x 2101
• -0.000000111011012 0.111011012 x 2-110
• La manera más común de almacenar números reales
  en una PC es utilizando palabras de 32 bits (4
  bytes), distribuidos como sigue
• 1 bit para el signo de la mantisa,
• 1 bit para el signo del exponente,
• 7 bits para el exponente entero, expresado en
  binario
• 23 bits para la mantisa, expresada en binario
• ?0.1mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm x 2 ?eeeeeee
• m 0, 1 e 0, 1

13
Números reales
14
1.4.2 Los números reales en computadora

• En virtud de que la mantisa siempre empieza con
  1, no hay necesidad de almacenar éste 1, de
  manera que los 23 bits reservados para la mantisa
  son para guardar desde el segundo hasta el
  veinticuatroavo caracter del número binario en
  punto flotante.

? ? e e e e e e e m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m

• Los 7 bits destinados al exponente se usan para
  registrar números enteros binarios en el rango de
  0000000 a 1111111. Su signo se controla por
  separado (distinguido en rojo).
• Conforme a esto, el mayor exponente positivo
  posible sería el 127 y el menor exponente
  negativo posible sería el -127 pero usando el
  complemento a dos, su rango se incrementa en 1,
  para que sea -128.
• Los exponentes positivos se registran así
• 000000012 110 ... 011111112 12710
• Para los números negativos, la polaridad se
  invierte los ceros se cambian por unos y los
  unos por ceros y se le añade un 1 al resultado,
  de manera que su registro se hace así
• 111111112 -110 ... 100000012 -12710

15
1.4.2 Los números reales en computadora

• Para analizar el rango de valores de la mantisa
  se consideran 24 bits el 1 que no se guarda y
  los 23 bits reservados que si quedan almacenados.
  Entonces, se pueden registrar números
  fraccionarios binarios en el rango de
  0.100000000000000000000000 a 0.1111111111111111111
  11111
• El valor fraccionario más pequeño equivale a 0.5
  en decimal es 2-1 0.5
• El valor fraccionario más grande equivale a
  0.999999940395 en decimal
• 24
• ? 2- j 1 - 2-24 0.999999940395355224609
  375
• j1
• Ahora bien, considerando simultáneamente los
  rangos del exponente y de la mantisa, podemos
  determinar el rango correspondiente a los números
  reales
• El número real positivo más pequeño que puede
  representarse es
• 0.5 x 2-128 ? 1.47 x 10-39
• El número real positivo más grande que puede
  representarse es
• 0.999999940395355224609375 x 2127 ? 1.70 x
  1038
• De manera que el rango total para los números
  reales positivos o negativos, en este tipo de
  computadora es de 1.47 x 10-39 a 1.70 x 1038.

16
1.4.2 Los números reales en computadora

• Ejemplo Representar en sistema binario, en una
  palabra de 32 bits, el número 31.2510
• 31.2510 0.312510 x 102 0.312510 x 10010
• 0.3125 100 0
• 0.6250 0 50 0
• 0.2500 1 25 1
• 0.5000 0 12 0
• 0.0000 1 6 0
• 3 1
• 1 1
• 0
• 31.2510 0.01012 x 11001002 11111.012
  0.11111012 x 2101
• Recordando que el primer 1 de la mantisa no se
  almacena, la representación queda

0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
() ()
17
1.2.1 Los números reales en computadora

• Ejemplo Identificar el número real decimal que
  está representado en la siguiente palabra de 32
  bits

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
() ()

• Recordando que el primer uno no está
  representado, el número en binario es
• 0.100001112 x 2101 10000.1112
• 24 2-1 2-2 2-3 16 0.5 0.25 0.125
  16.87510
• Ejemplo Identificar el número real decimal que
  está representado en la siguiente palabra de 32
  bits

0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
() (-)
Dado que el exponente es negativo, le aplicamos
el inverso del complemento a dos primero
restándole 1 y luego cambiando la
polaridad 11101112 - 12 11101102
00010012 , con lo que el exponente
es -10012 Recordando que el primer 1 no está
representado, la mantisa es 0.12 El número en
binario es 0.12 x 2-1001 0.00000000012 y en
decimal 2-10 0.000976562510
18
1.4.2 Los números reales en computadora

• Ejemplo Representar en sistema binario, en una
  palabra de 32 bits, el número -0.00072161910
• Requerimos de 25 cifras, a partir del primer 1
  (24 a conservar y 1 para redondear)
• 0.000721619 0.168091136 1
• 0.001443238 0 0.336182272 0
• 0.002886476 0 0.672364544 0
• 0.005772952 0 0.344729088 1
• 0.011545904 0 0.689458176 0
• 0.023091808 0 0.378916352 1
• 0.046183616 0 0.757832704 0
• 0.092367232 0 0.515665408 1
• 0.184734464 0 0.031330816 1
• 0.369468928 0 0.062661632 0
• 0.738937856 0 0.125323264 0
• 0.477875712 1 0.250646528 0
• 0.955751424 0 0.501293056 0
• 0.911502848 1 0.002586112 1
• 0.823005696 1 0.005172224 0
• 0.646011392 1 0.010344448 0
• 0.292022784 1 0.020688896 0

19
1.4.2 Los números reales en computadora

• La última cifra nos sirve para redondear la
  penúltima.
• - 0.00072161910 - 0.000000000010111101001010110
  00010002
• - 0.1011110100101011000010002 x
  2-1011
• Por ser un exponente negativo, le aplicamos el
  complemento a dos primero complementándolo a 7
  cifras, luego invirtiendo la polaridad y
  finalmente sumándole un 1
• 00010112 11101002 12 11101012
• Recordando que el primer 1 de la mantisa no se
  almacena, la representación queda

1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0
(-) (-)
Ejemplo Suponga que una computadora maneja
palabras de 16 bits cuál sería el resultado de
sumar mil veces el número fraccionario 1/100?
cuál sería el error absoluto? Y cuál el
relativo?. Considere que la computadora recibe
las cifras en sistema decimal, las convierte a
binario, hace las operaciones en binario y el
resultado lo traduce a decimal. Considere los
dos bits para los signos, cinco bits para el
exponente y nueve espacios para la mantisa.
20
1.4.2 Los números reales en computadora
1/100 0.0110 0.00000010100011112
0.10100011112 x 2-110

• 0.01
• 0.02 0
• 0.04 0
• 0.08 0
• 0.16 0
• 0.32 0
• 0.64 0
• 0.28 1
• 0.56 0
• 0.12 1
• 0.24 0
• 0.48 0
• 0.96 0
• 0.92 1
• 0.84 1
• 0.68 1
• 0.36 1

• 0
• 500 0
• 250 0
• 125 1
• 62 0
• 31 1
• 15 1
• 7 1
• 3 1
• 1 1
• 0

100010 11111010002
1000 x 1/100 11111010002 x 0.10100011112 x
2-110
21
1.4.2 Los números reales en computadora

• El resultado exacto del producto anterior es, en
  binario
• 1001111100.10111000 x 2-110
• Cifra que redondeada a 10 bits, en formato de
  punto flotante, queda expresada
• 1001.111101 0.1001111101 x 2100
• Este resultado en binario, traducido a decimal
  da
• (0.500.06250.031250.0156250.00781250.003906
  250.0009765625) x 2100
• 0.6220703125 x 16 9.95312510
• El verdadero valor de la operación es 1/100 x
  1000 10
• El error absoluto cometido es E ? 10
  9.953125 ? 0.046875
• El error relativo es e 0.046875/10
  0.0046875 e 0.47

22
1.4.2 Los números reales en computadora

• No obstante el rango tan amplio de manejo, los
  números reales no corresponden a un continuo en
  la computadora, sino que hay un conjunto finito
  de valores discretizados, que pueden ser
  representados de manera perfecta, mientras que el
  resto no pueden ser expresados con exactitud y
  precisión y sólo es posible representarlos en
  forma aproximada.
• Por ejemplo, si el número real más pequeño que
  puede representarse en una computadora como la
  descrita anteriormente es
• 0.5 x 2-128 ? 1.47 x 10-39,
• significa que no se pueden representar números
  reales en el intervalo que está entre 0 y 1.47 x
  10-39.
• Si el número real más grande que puede
  representarse es
• 1.70141173319 x 1038,
• y el número positivo inmediato menor a éste, que
  se puede representar es
• 23
• ( ? 2-j ) x 2127 (1 -
  2-23) x 2127 ? 1.70141163178 x 1038
• j1
• Entre estos dos últimos valores, tampoco se puede
  representar ningún número real con notación de
  punto flotante en este tipo de computadora el
  tamaño de este intervalo es 1.0141 x 1031, que es
  6.9 x 1069 veces más grande que el
  correspondiente a valores más pequeños 1.47 x
  10-39. Esto significa que la distribución de
  números reales que pueden ser representados en
  una computadora no es uniforme, sino que hay
  mucho mayor densidad en los valores más pequeños
  que en los más grandes.

23
1.4.2 Los números reales en computadora

• Pareciera que la imposibilidad de las
  computadoras para representar cualquier número
  real, con exactitud y precisión, se torna en un
  asunto grave. No es así, ya que los "huecos" son
  extraordinariamente pequeños, aún en el caso más
  desfavorable, correspondiente a los números más
  grandes. Si comparamos éstos 1.70141163178 x
  1038 y 1.70141173319 x 1038, vemos que son
  realmente muy cercanos la primera diferencia
  entre ellos se presenta hasta el octavo dígito
  esto significa, que los primeros siete dígitos
  significativos nos ofrecen una confiabilidad
  total, más que sobrada para fines de ingeniería.
• Para casos muy eventuales se usa el recurso de
  doble precisión que ofrecen las propias
  computadoras y que consiste en utilizar un doble
  tamaño de palabra (8 bytes o 64 bits) para
  representar y almacenar números reales en formato
  de punto flotante. La desventaja de utilizar tal
  recurso es el mayor consumo de memoria y el mayor
  tiempo de ejecución de los programas, los cuales,
  al menos, se duplican.

24
Épsilon de una computadora

• Se define como épsilon de una máquina al valor
  absoluto de la diferencia entre 1 y el menor
  número mayor que 1, pero distinguible de 1, que
  puede ser representado en la computadora. Para
  la máquina que hemos analizado anteriormente, el
  número más pequeño mayor que uno es
• 0.100000000000000000000001 x 21 (2-1 2-24) x
  21 1.0000001192110
• por lo que el épsilon de esta máquina es
• 1.00000011921 - 1 0.00000011921 ? 1.19 x 10-7
• Evidentemente, mientras menor sea el épsilon de
  una máquina, mayor es el conjunto de números que
  puede representar en formato de punto flotante.

25
Épsilon de una computadora

• Ejemplo Considere una computadora que utiliza
  palabras de memoria de 16 bits para almacenar
  números reales en formato de punto flotante,
  guarda hasta 8 cifras de la mantisa, excluido el
  primer 1, y aplica el complemento a dos a los
  exponentes negativos. Si los 16 bits están
  distribuidos como sigue
• 1 bit para el signo de la mantisa,
• 1 bit para el signo del exponente,
• 6 bits para el exponente entero, expresado en
  binario
• 8 bits para la mantisa, expresada en binario
• a) determinar el rango de valores que podría
  representar y almacenar esta computadora
  hipotética.
• b) calcular el épsilon correspondiente a esta
  máquina.

26
Épsilon de una computadora

• Los 6 bits destinados al exponente se usan para
  registrar números enteros binarios en el rango de
  000000 a 111111. Su signo se controla por
  separado. El mayor exponente positivo posible
  sería 26 - 1 63 y el menor exponente negativo
  posible sería el -64, por la aplicación del
  complemento a dos.
• Los 8 bits reservados para la mantisa se usan
  para registrar números fraccionarios en el rango
  de 0.100000000 a 0.111111111. El valor
  fraccionario más pequeño equivale a 0.5 en
  decimal y el valor fraccionario más grande
  equivale a 0.998134375 en decimal
• 9
• ? 2-j 1 - 2-9 0.998046875
• j1
• Entonces, el número real más pequeño que puede
  representarse es
• 0.5 x 2-64 ? 2.71 x 10-20
• y el número real más grande, que puede
  representarse es
• 0.998046875 x 263 ? 9.21 x 1018
• El número más pequeño mayor que uno, que podría
  almacenarse es
• 0.100000001 x 21 (2-1 2-9) x 21
  1.0039312510
• por lo que el épsilon de esta máquina sería
• 1.00393125 - 1 0.00393125 3.93 x 10-3