Guerino Mazzola

1
Classification dobjets globaux de préfaisceaux
pour la musique
Guerino Mazzola U ETH Zürich guerino_at_mazzola.ch
www.encyclospace.org
2

• Compositions locales
• Compositions globales
• Classification globale
• Objets libres
• Résolutions
• Quotients
• Classes disomorphie
• Schéma classifiant
• Limites locales
• Limites globales
• Concepts, topoi et Galois

3

• Compositions locales
• Compositions globales
• Classification globale
• Objets libres
• Résolutions
• Quotients
• Classes disomorphie
• Schéma module
• Limites locales
• Limites globales
• Concepts, topoi et Galois

4
RMod_at_
C ? Ÿ12
M ?RMod
M
A_at_M
A_at_F
F ?RMod_at_
C ? 2A_at_F A_at_2F
W
A_at_W sous-préfaisceaux de _at_A cribles
dans A
2
C ?A_at_WF sous-préfaisceaux de _at_A ? F
F-cribles dans A
B_at_C (fB?A, c.f) f ?C ? B_at_A ? B_at_F
5

• Catégorie RLoc des compositions locales (sur R)
• objets F-cribles dans A, i.e., K ? _at_A ? F
• morphismes
• K ? _at_A ? F, L ? _at_B ? G
• f K ? L ? A ? B (changement dadresse)
• tels quil existe hF ? G avec

K ? _at_A ? F
f/? K ? L
L ? _at_B ? G
Souscatégorie pleine RObLoc des compositions
locales objectives K C
6
A_at_2F ? A_at_WF
C
f_at_C
F
_at_A
7

• 1973 A. Forte (1980 J.Rahn)
• Liste des 352 orbites daccords sous le groupe
  de translations T12 eŸ12 et des 224
  orbites sous le groupe TI12 eŸ12. 1 des
  translations et inversions sur Ÿ12
• 1978 G. Halsey/E. Hewitt
• Formule récursive dénumeration dorbites de
  translation daccords dans des groupes finis
  abeliens
• Liste des nombers dorbites de translation pour
  les accords dans les groupes cycliques Ÿn, n c
  24
• 1980 G. Mazzola
• Liste des 158 orbites affines daccords dans
  Ÿ12
• Liste des 26 orbites affines des motifs à
  3-élts. dans (Ÿ12)2 et des 45 orbites dans Ÿ5
  Ÿ12
• 1989 H. Straub /E. Köhler /G. Mazzola
• Liste des 216 orbites affines des motifs à
  4-éléments dans (Ÿ12)2
• 1991... H. Fripertinger
• Formule dénumeration pour Tn, TIn, et orbites
  affines daccords dans Ÿn, k-séries n-phoniques,
  séries tous intervalles, et motifs dans Ÿn Ÿm
• Listes des orbites affines des motifs dans
  (Ÿ12)2 pour c 6 elements, formule explicite...
• 1996... G. Mazzola

8
x144 x143 5x142 26x141 216x140 2
024x139 27 806x138 417 209x137 6 345
735x136 90 590 713x135 1 190 322 956x134
14 303 835 837x133 157 430 569 051x132 1
592 645 620 686x131 14 873 235 105 552x130
128 762 751 824 308x129 1 037 532 923 086
353x128 7 809 413 514 931 644x127 55 089 365
597 956 206x126 365 290 003 947 963 446x125
2 282 919 558 918 081 919x124 13 479 601 808
118798 229x123 75 361 590 622 423 713 249x122
399 738 890 367 674230 448x121 2 015 334 387
723 540 077 262x120 9 673 558 570 858 327 142
094x119 44 275 002 111 552 677 715 575x118
193 497 799 414 541 699 555 587x117 808 543 433
959 017 353 438 195x116 3 234 171 338 137 153
259 094292x115 12 397 650 890 304 440 505
241198x114 45 591 347 244 850 943 472027
532x113 160 994 412 344 908 368 725 437
163x112 546 405 205 018 625 434 948486
100x111 1 783 852 127 215 514 388 216 575
524x110 5 606 392 061 138 587 678 507 139
578x109 16 974 908 597 922 176 404 758662
419x108 49 548 380 452 249 950 392 015617
673x107 139 517 805 378 058 810 895 892 716
876x106 379 202 235 047 824 659 955 968 634
895x105 995 405 857 334 028 240 446 249 995
969x104 2 524 931 913 311 378 421 460 541 875
013x103 6 192 094 899 403 308 142 319 324 646
830x102 14 688 225 057 065 816 000 841247 153
422x101 33 716 152 882 551 682 431 054950 635
828x100 74 924 784 036 765 597 482 162224 697
378x99 161 251 165 409 134 463 248 992 354 275
261x98 336 225 833 888 858 733 322 982 932 904
265x97 679 456 372 086 288 422 448 712 466 252
503x96 1 331 179 830 182 151 403 666 404 596
530 852x95 2 529 241 676 111 626 447 928 668
220 456 264x94 4 661 739 558 127 027 290 220
867 616 981 880x93 8 337 341 899 567 786 249
391 103 289 453 916x92 14 472 367 067 576 451
752 984797 361 008 304x91 24 388 618 572 337
747 341 932969 998 362 288x90 39 908 648 567
034 355 259 311114 115 744 392x89 63 426 245
036 529 210 051 949169 850 308 102x88 97 921
220 397 909 924 969 018620 386 852 352x87 146
881 830 585 458 073 270 850 321 720 445 928x86
214 098 939 483 879 341 610 433 150 629 060
274x85 303 306 830 919 747 863 651 620 555 026
700 930x84 417 668 422 888 061 171 460 770 548
484 103 836x83 559 136 759 653 084 522 330 064
385 877 590 780x82 727 765 306 194 069 123 565
702 210 626 823 392x81 921 077 965 629 957 077
012 552 741 715 036 692x80 1 133 634 419 214
796 834 928 853 170 296 724314x79 1 356 926 047
220 511 677 349 073 201 120 481570x78 1 579
704 950 475 555 411 914 967 237 903 930342x77 1
788 783 546 844 376 088 722 000 995 922
467990x76 1 970 254 341 437 213 013 502 048
964 983 877090x75 2 110 986 794 386 177 596 749
436 553 816 924660x74 2 200 183 419 494 435
885 449 671 402 432 366956x73 2 230 741 522 540
743 033 415 296 821 609 381912x72 . ...
2024.x5 216.x4 26.x3 5.x2 x 1
polynôme des indexes de cycles
moyenne détoiles dans une galaxie ª 1011
9

• Compositions locales
• Compositions globales
• Classification globale
• Objets libres
• Résolutions
• Quotients
• Classes disomorphie
• Schéma module
• Limites locales
• Limites globales
• Concepts, topoi et Galois

10
(No Transcript)
11
K 0, 2, 4, 5, 7, 9, 11 ? Ÿ12 J I, II,...,
VII degrés triadiques dans K Recouvrement
KJ nerf n(KJ) ruban harmonique
12
(No Transcript)
13
3
6
2
nerf du recouvrement a, b, c, d, e
14

• La categorie RGlob des compositions globales
• objets
• - une adresse A,
• - un recouvrement I dun préfaisceau G par
  des sous-préfaisceaux Gi,
• - atlas (Ki)I, Ki ? _at_A ? Fi
• - des isomorphismes gi Gi Ki
• - conditions de recollement (gj ?gi-1)/IdA Kij
  ? Kji
• composition globale GI dadresse A
• morphismes ff GI HJ
• - morphisme f G H
• - application f I J compatible avec les
  atlas.

15

• La catégorie RGlobMod des compositions
  modulaires (globales objectives)
• objets
• - une adresse A,
• - un recouvrement I dun ensemble fini G par
  des sous-ensembles Gi,
• - atlas (Ki)I, Ki ? A_at_Mi , Mi R-modules
• - des bijections gi Gi Ki
• - conditions de recollement (gj ?gi-1)/IdA Kij
  ? Kji
• composition modulaires GI dadresse A
• morphismes...

16
Le changement fonctoriel C gt C a des
conséquences dramatiques pour la théorie globale!
A 0Ÿ
C ? Ÿ12 gt C Trans(C) ? Ÿ12_at_Ÿ12
A Ÿ12
17
ToM, ch. 25
18
? (I ? II) ? I ? II
Les produits fibrés de compositions locales
objectives ne sont pas objectives en général!
19
(No Transcript)
20
A_at_R
Pour que GI soit isomorphe à une
interprétation,il est nécessaire que le
complexe n?(GI) des fonctions
affines(dadresse A) soit flasque. (Suffisant
pour conditions de projectivité sur adresse et
modules des fonctions, cf. ToM 16.1)
Prendre la catégorie des simplexes ? du nerf de
I
21

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22

• A?n ? A_at_A?n
• ?i A ? A?n a gt (ei, ai)
• ei ?Rn
• ai (...,a,...) ?An1

Propriété universelle Pour toute suite s0,
s1,...sn déléments si dans A_at_M pour un module
M, il existe un morphisme unique ! A?n ? S
s0, s1,...sn !?i si
23

• Objets libres globaux A-adressés
• Soit n un recouvrement de 0,1,2,...m 0,m
  par des parties non-vides q.
• Pour toute partie q dans n, de cardinalité
  c(q)1, on prend comme carte la bijection
  croissante gq q ? A?c(q), et lon dénote par
  A?n la composition globale définie par
  cet atlas sur 0,m

Propriété universelle Si GI est une composition
A-adressée modulaire, et si le recouvrement n
est isomorphe a I via la bijection ? 0,m ? G
des ensembles soujacents, alors on a un morphisme
unique de compositions modulaires ?/IdA A?n ?
GI noté resGI ?GI ? GI
omettre /IdA
24

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25
resGI ?GI ? GI
26
Naturalité de la résolution
Complexes de modules resGI(n?(GI)) ?n?(GI))
? n?(?GI) resf(?n?(HJ)) ? ?n?(GI))
27

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28
Soit N (N?)? ? n?(?GI) un sous-complexe de
modules de fonctions affines. Notons
c(?)card(??)-1. On a une application
canonique ?A?c(?) ? A_at_N? ( dual
linéare) x?(a)(n) n(x)(a) fonctorielle du
nerf de ?GI, i.e., si ? ? ?, alors le diagramme
suivant commute
29
Le diagramme des compositions locales A?c(?)? ?
A_at_N? indexé par les simplexes du nerf a une
colimite ensembliste, notée ?GI /N On a une
application canonique densembles /N ?GI ?
?GI /N
30

• Proposition
• Si la composition globale modulaire GI a
• un atlas avec des modules projectifs de type
  fini, et
• les modules des fonctions affines sur les cartes
  sont projectifs,
• alors on a un diagramme commutatif de
  compositions globales modulaires, dont la flèche
  horizontale f est un isomorphisme

?GI
31

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• Compositions globales
• Classification globale
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32
Proposition de classification On fixe un
recouvrement abstrait n et considère
lensemble Rep(A,n) des complexes de modules
de fonctions affines N dans n?(A?n) appelés
représentatifs, alors le groupe fini des
automorphismes S(A?n) de A?n opère (de droite)
par images inverses sur Rep(A,n), et lensemble
des orbites Rep(A,n)/S(A?n) est en bijection
avec les classes disomorphisme des compositions
globales modulaires A-adressées avec un atlas
projectif de type fini, les modules des fonction
affines projectifs pour les cartes et un
recouvrement isomorphe à n.
33

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34

• Theorème (classification géométrique globale
  adressée)
• Soit A localement libre de rang fini sur lanneau
  commutatif R.
• On considère les compositions globales
  modulaires GI dadresse A avec les propriétés
  suivantes ()
• les modules R.Gi engendrés par les cartes Gi
  sont localement libres de rang fini
• les modules des fonctions affines G(Gi) sont
  projectifs
• Alors il existe un sousschéma Jn dun R-schéma
  projectif de type fini dont les points w Spec(S)
  Jn paramétrisent les classes disomorphie de
  compositions globales modulaires dadresse S?RA
  avec ().

35

• Compositions locales
• Compositions globales
• Classification globale
• Objets libres
• Résolutions
• Quotients
• Classes disomorphie
• Schéma module
• Limites locales
• Limites globales
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36
(No Transcript)
37
3
6
1
4
5
?i
?(Gi)?res ? ?(?i)
2
A_at_R
38
n?ADn(?) (A_at_R)dim(?)1 N? ? (A_at_R)dim(?)1
A_at_F? S ? (A_at_R)dim(?)1 S
sous-module N? ? F? Si ? ? ?, alors on a des
applications pr(?/?) A_at_F? ? A_at_F?et pr(?/?)
(N?) N? i.e. N ?A_at_limnerf(n)(F?)
39
D
réseaux de Klumpenhouwer
40
(No Transcript)
41
Zi préfaisceaux ensemblistes sur Mod D
diagramme dans Mod_at_ Solution du problèmedes
limites itérées
Perspectives of New Music (2005) Guerino Mazzola
Moreno Andreatta From a Categorical Point of
View K-nets as Limit Denotators
42

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• Compositions globales
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43
(No Transcript)
44
Theorème On a un foncteur ? AGlobLimred
? AGlobMod
Corollaire Il existent des limites globales non
interprétables
COLLOQUIUM ON MATHEMATHICAL MUSIC THEORY H.
Fripertinger, L. Reich (Eds.) Grazer Math. Ber.,
ISSN 10167692 Bericht Nr. 347 (2005), Guerino
Mazzola Local and Global Limit Denotators and
the Classification of Global Compositions
45
Les réseaux neuronaux artificiels sont des
limites locales
recollements dendritiques (K. Pribram)
46

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47
Théorie de Galois
Sémiotique de formes
Équation algébrique
Diagramme catégorique
fS(X) 0
v F
corps S
Sémiotique de formes S
48
E -dénotateurs
DA_at_F(C)
R ? E
D nom du dénotateur F nom de la forme de D
adresse A ÎR
Espace(F) ÎE
coordonnée C A Espace(F)
Fid.type(v)
v diagramme de F
49
Types despaces cadre
Simple v un objet R de R Cadre(v)
R
représentation
Limite v diagramme noms de formes
E Cadre(v) lim(diagr. n/f E )
conjunction
Colimite v diagramme noms de formes
E Cadre(v) colim(diagr. n/f E )
disjunction
Puissance v fn un nom dune forme Cadre(v)
WEspace(fn)
collection
50
nom
forme
coordonnée
nom
type/diagramme
id
51
Diagrams (Den /E )