Mthodologie de lobservation

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Méthodologie de lobservation

• Partie BStatistiques
• Cours 4

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Recherche de description

• Rappel décrire les caractéristiques (les
  distributions) dune ou plusieurs variables
  mesurées sur un échantillon ou une population.
• 2 caractéristiques à dégager
• les indices de tendance centrale des données
• les indices de dispersion
• Présentation des informations et données
• les transformations possibles et nécessaires des
  données
• les représentations graphiques des résultats

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Lindice de tendance centrale

• indique la caractéristique la plus
  représentative de tous les individus du groupe en
  la ramenant à un individu type qui se situerait
  au  centre  de la distribution
• Il rend possible la comparaison entre des groupes
  dindividus différents sur base de la mesure
  dune même variable
• Ex  les éléphants dAfrique ont  en moyenne 
  une masse supérieure à celle des éléphants dAsie

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Lindice de dispersion

• exprime létendue de la variabilité des
  observations
• Les données peuvent être concentrées autour de la
  tendance centrale ou au contraire très dispersées
• Exemple 
• un groupe délèves (classe A) avec une moyenne de
  10/20 mais dont les résultats en fin dannée
  sétendent de 5/20 à 18/20
• un groupe délèves (classe B) avec une moyenne de
  10/20 mais dont les cotes sétabliraient de 9/20
  à 14/20
• ? La classe A a un indice de dispersion
  supérieur à la classe B

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Les indices de tendance centrale

• Echelle nominale ? le mode
• Echelle ordinale ? la médiane
• Echelle intervalle ? la moyenne

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Pour les échelles nominales le mode

• Le mode (Mo) la modalité de la variable
  nominale dont la fréquence (absolue et relative)
  est la plus élevée
• 2 modes ? distribution bimodale
• 3 modes ? distribution trimodale

Exemple  tableau des fréquences pour la variable
 type détude  Le mode de la variable  type
détude  est la modalité  médecine 
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Pour les échelles ordinales la médiane

• La médiane (Md) la valeur qui divise exactement
  en deux la distribution de léchantillon, de
  manière quil y ait 50 des observations qui la
  précèdent et 50 qui la suivent (les catégories
  ou les scores étant rangés au préalable).
• Remarque Le mode (Mo) peut également être
  utilisé pour résumer une distribution constituée
  de catégories ordonnées . Il définit la modalité
  qui recueille la plus haute fréquence.

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Calcul du médian

• Il faut commencer par classer les modalités par
  ordre croissant !!
• Si n est pair, le rang médian tombe à mi-chemin
  entre les deux résultats centraux. On choisit de
  considérer comme médian, celui qui est
  immédiatement au-dessus
• Md (N/2) 1
• Si n est impair, la médiane est exactement
  lobservation du milieu 
• Md (N1) /2

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Exemple

• On examine, sur base dun échantillon de 20
  étudiants, quel serait leur degré de motivation à
  suivre une session de formation 1 très peu
  motivé , 2 peu motivé , 3 motivé , 4 très
  motivé

• N 20 pair
• ? N/2 1 11
• lobservation à prendre en considération est la
  11ème.
• la modalité médiane la catégorie 2 (peu motivé)

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Exemple

• On classe un échantillon de 15 élèves en fonction
  dun score (sur 200 points) obtenu à un test
• N 15 impair
• ? (N1) /2 8
• ? lobservation qui nous intéresse est la 8ème
• La valeur de ce 8ème rang est de 170
• ? La médiane 170

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Pour les échelles dintervalle la moyenne

• La Moyenne est lindice le plus fréquemment
  utilisé dans le cas des échelles dintervalle.
• Pour calculer la moyenne, il suffit dadditionner
  tous les résultats et de diviser cette somme par
  leffectif 
• m (Somme Xi/n)
• Remarque
• Le mode peut également être utilisé
• La médiane la valeur de la variable telle quil
  existe autant de mesures qui lui soient
  inférieures que de mesures qui lui soient
  supérieures

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Exemple

• On a relevé la taille exprimée en cm de 30
  individus adultes
• µ 5198 / 30
• ? La moyenne 173.27 cm
• La médiane 175 cm
• Le mode la modalité 175 cm

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Remarques

• La moyenne est très fort influencée par les
  extrêmes
• Ex  Calculer le salaire moyen de 5 joueurs de
  foot
• 4 joueurs gagnent 100.000 Euros par année, le
  5ème joueur gagne 1.000.000 par année.
• Le salaire moyen 280.000 Euros
• ? Dans ce cas, la moyenne ne reflète pas
  nécessairement bien toute la réalité
• La médiane permettra alors de synthétiser ces
  données sous un autre angle

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Remarques

• Le mode est facilement repérable et
  interprétable. Cependant, il ne tient pas compte
  de toutes les données et ne se prête pas au
  traitement arithmétique
• La médiane est facilement interprétable et aisée
  à déterminer mais elle ne se prête pas aux
  traitements arithmétiques
• La moyenne est facilement interprétable, aisée à
  calculer et se prête bien aux traitements
  arithmétiques

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Les indices de dispersion

• Les indices de dispersion nous fournissent une
  information sur la façon dont les données sont
  distribuées autour de la tendance centrale
• Deux séries statistiques peuvent avoir une même
  moyenne mais présenter un étalement différent
  autour de cette valeur moyenne

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Les indices de dispersion

• Echelle nominale ? (lentropie)
• Echelle ordinale ? lespace interquartile
• Echelle intervalle ? lécart-type

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Pour les échelles nominales

• Sil existe un indice de dispersion approprié à
  une échelle nominale (lentropie), dans la
  pratique, il est rarement calculé et utilisé
• Une distribution dune variable caractérisée par
  des effectifs égaux dans toutes les classes sera
  considérée comme peu homogène, fort dispersée
• Une distribution où une des modalités reçoit tout
  leffectif de léchantillon sera définie comme
  très homogène, non dispersée

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Pour les échelles ordinales

• Lespace interquartile comprend 50 des
  observations, celles qui sont les plus centrales
• ? espace interquartile
  ?
• I----------------I--------------------I-------
  --------------I----------------------I
• 0 25 50 75 100
• lespace compris entre les quartiles 1 et 3
•  Q1 la valeur en dessous de laquelle se
  trouvent 25 des observations inférieurs
• Q3 la valeur en dessous de laquelle se trouvent
  75 des observations inférieures

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Calcul de lespace interquartile

• Le rang de Q1 ? on calcule N/4, puis on cherche
  dans leffectif cumulé à quelle modalité ce rang
  appartient
• Le rang de Q3 ? on calcule (N/4) x 3, puis on
  cherche dans leffectif cumulé à quelle modalité
  ce rang appartient
• Espace interquartile Q3-Q1

Exemple Le rang de Q1 est  n/4 20/4 5 ?
modalité 2 Le rang de Q3 est 3n/4 320/4 15
? modalité 3 Lespace interquartile  Q3-Q1
3-21
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Autre exemple
Le rang de Q1 3.75 rang 4 Le rang 4
correspond à un score de 166 Le rang de Q3
11.25 rang 11 Le rang 4 correspond à un score
de 175 Q3-Q1 175-166 9 ? cest sur lespace
de 9 intervalles que se répartissent les 50
dobservations les plus centrales
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Pour les échelles dintervalle

• Lécart-type est lindice de dispersion qui,
  correspondant à la moyenne, est le plus utilisé
  pour les échelles dintervalle
• Lécart-type nous donne un indice de la
  dispersion des observations
• Il correspond à la racine carrée de la variance.
• La variance la moyenne arithmétique des carrés
  des écarts à la moyenne
• ? ? ( ? (xi m)² / n 1 )

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Lécart-type

• Il sert à caractériser lécart plus ou moins
  grand de lensemble des valeurs par rapport à la
  valeur moyenne
• Si la dispersion est faible, cela signifie que
  les résultats sont groupés autour de la moyenne.
• Si la dispersion est forte, cela signifie que les
  résultats sont fort dispersés autour de la
  moyenne.
• Remarque  lécart-type est différent de
  létendue. Létendue est la différence entre la
  plus grande et la plus petite de s valeurs
  observées

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Exemple

• Imaginons que deux professeurs procèdent à la
  correction de 5 copies
• La moyenne des deux professeurs est la même 
  11/20
• Pourtant les 2 profs ont coté de manière
  différente 
• les notes du prof A se situent entre 6 et 16
• les notes du prof B se situent entre 3 et 19.

Lécart type des notes pour le prof A 3.81
Lécart-type des notes pour le prof B 6.20
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Exemple
Dans les trois cas, la moyenne est égale à 20,
ainsi que la valeur de la médiane. On ne saurait
pour autant conclure que les trois ensemble sont
identiques. ? la variabilité des données est
plus grande dans lensemble 3 que dans lensemble
2 et 1
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Les Transformations de données

• Pour les échelles nominales
• la transformation de fréquence absolue en
  fréquence relative ()
• le pourcentage (fréquence / n) 100

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Les Transformations de données

• Pour les échelles ordinales
• Pour comparer plusieurs variables ordinales
  observées sur un même échantillon, on peut
  déterminer, pour chacune de ces variables, les
  déciles ou les centiles
• Le premier décile (D1)  la valeur correspondant
  à lobservation telle que 10 des observations
  soient inférieurs et 90 des observations
  supérieures
• Rang de D1 (n1)/10
• Les centiles sont obtenus en divisant leffectif
  par 100 et en le multipliant par le nombre
  correspondant au centile voulu  Rang du
  C35(n35)/100

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Les Transformations de données

• Pour les échelles dintervalle 
• Pour comparer deux distributions obtenues sur des
  échelles dintervalle dun même échantillon, on
  transforme les données de chaque distribution en
  scores centrés réduits.
• Cette transformation consiste essentiellement à
  exprimer les données dans un système de mesure
  standard, correspondant à la courbe normale
  réduite, symbolisé par Z
• Zi (Xi m) / s

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Caractéristiques de la distribution normale
réduite

• mode médiane moyenne 0
• lécart-type vaut toujours 1 (s 1)
• la distribution est symétrique par rapport à la
  moyenne
• On peut considérer que
• 68 des sujets ont un score compris entre 1 s et
  1 s
• 95 ont un score compris entre 2 s et 2 s
• 99,8 ont un score compris entre 3 s et 3 s

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Caractéristiques de la distribution normale
réduite

• graphique de cette courbe courbe de Gauss

3 s 2 s 1 s µ
1 s 2 s 3 s
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Les représentations graphiques

• le graphique à barres (histogramme)
• ? pour les échelles nominales, ordinales et
  dintervalle
• le diagramme circulaire (pie, tarte)
• ? pour les échelles nominales et ordinales
• la ligne brisée des fréquences
• ? pour les échelles ordinales et dintervalle

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Graphique à barres
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Diagramme circulaire
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La ligne brisée des fréquences
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Tableau de synthèse
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Techniques spécifiques

• Quelques techniques souvent utilisées en
  statistiques descriptives
• Uniquement dans le cas des échelles dintervalle
  !
• Les taux de croissance
• Les indices
• Les tableaux et figures
• Les transformations de données

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Les taux de croissance

• ? permet détudier lévolution ou la variation
  dun phénomène dans le temps
• Ex le nombre détudiants à luniversité
• Calcul de lécart relatif (valeur darrivée
  valeur de départ) / valeur de départ
• 0.221
• Calcul du taux de croissance lécart relatif
  100
• 22

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Les indices

• Il est fréquent dutiliser lindice en base 100.
• Celui-ci est obtenu en multipliant par 100 la
  valeur darrivée divisée par la valeur de départ
• Indice en base 100
• (valeur darrivée / valeur de départ )100
• Dans notre exemple lindice en base 100
• (1.444.038 / 1.182.784) 100 122

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Les tableaux et figures

• Pour les tableaux, figures, etc.
• Une légende permet de préciser les différentes
  variables et leurs modalités respectives
• En dessous, indiquer les sources des données
  recueillies (ONSS, FOREM, )
• Préciser les caractéristiques essentielles de la
  population concernée
• Un titre clair

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Les transformations de données

• 1) proportion et pourcentage
• Ex dans un échantillon, le nombre dhommes 20
• ? en valeur relative, les hommes représentent
  donc 2/5 de léchantillon (20/50)
• ? soit 40
• 2) Taux, parts, coefficients
• proportions sous dautres noms
• Ex taux de scolarité
• 3) Les rapports à une donnée extérieure
• on rapport la partie à une donnée extérieure
• Ex ratio financier, densité de population,
  rendement