Investissement et financement

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Calcul des Taux à terme et Introduction aux FRA

Un nouvel exemple avec la courbe des Euribor
introduit la notion de FRA. Exemple numérique
Euribor 6 mois 3.50 et 9 mois 3.60
(attention on utilise toujours le nombre de jours
exacts sur 360, le coupon est post compté, et on
suppose toujours que le même taux sert à
l emprunt et au prêt, les nombres de jours sont
de 181 et 273 respectivement ). Expliquez en
quoi ces deux taux permettent de calculer le taux
du 3 mois dans 6 mois et comment ceci peut
permettre de  couvrir  un emprunt sur Euribor 3
mois qui commencerait dans 6 mois. Avec les
mêmes méthodes que précédemment on calcule les
facteurs relatifs aux 6 et 9 mois et l on déduit
celui du 3 dans 6 mois. On obtient 3.73 comme
taux recherché, cf le calcul aux pages
suivantes. Ce taux est celui d un FRA 6 x 9 (
c est à dire contre Euribor 3 mois et à départ
dans 6 mois ). C est un taux milieu de
fourchette car on a ignoré l impact des
fourchettes prêt/emprunt.
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Calcul du taux de FRA ,méthode avec les
coefficients d actualisation
Calcul des coefficients d actualisation à 6 et 9
mois, resp. a6M et a9M a6M ( 1/ ( 1 ( 3.50
NbreJours6M /36000))) 0.9827071. a9M ( 1/ (
1 ( 3.60 NbreJours9M /36000))) 0.9734255.
Avec Nbre Jours6M 181 et Nbre Jours9M 273
ici, donc Nbre Jours69 273-181 92 Le
rapport de a9M par a6M donne le facteur a69 qui
permet de passer d un flux échéant à 6 mois à un
flux échéant à 9 mois Puisque a9M euro
équivaut à 1 euro à 9 mois et a6M euro équivaut
à 1 euro à 6 mois et que par définition un euro
à 6 mois équivaut à (1/ a69) à 9 mois on a
donc a9M / (1/ a69) a6M ou a69 a9M/ a6M
0.9734255../ 0.9827071. 1.0095350. Avec
les mêmes conventions on a a69 ( 1 ( Taux
FRA NbreJours69 /36000) 1.0095350 Taux FRA
((1.0095350)-1)(36000/92) 3.7310827 On
obtient donc 3.73 comme taux de FRA 6 x 9 (
c est à dire contre Euribor 3 mois et à départ
dans 6 mois ). C est un taux milieu de
fourchette car on a ignoré l impact des
fourchettes prêt/emprunt.
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Méthode des emprunt/placement à taux milieu de
fourchette
on suppose que l on emprunte ( un euro ) à 9
mois et que l on place sur les six premiers
mois, de la sorte on a construit un emprunt
synthétique de 3 mois à départ dans 6 mois dont
le taux est ( par définition, ou par arbitrage )
le taux du FRA 69 recherché. Les flux
financiers sont positionnés aux dates correctes
et les taux sont exprimé en .Le bilan des flux
signés aux dates 0 , 6 mois et 9 mois est à
t0 on emprunte à 9 mois et on replace à 6 mois 1
euro , solde nul à t 6 mois on reçoit 1 euro et
le produit financier du placement soit 1(1
( 3.50 NbreJours6M /36000)) 1.0175972... à
t 9 mois on paye 1 euro et les frais financiers
sur l emprunt soit 1(1 ( 3.60
NbreJours9M /36000)) 1.0273000 On a donc deux
flux ( de signes opposés car on reçoit à 6 mois
et on paye à 9 mois. Par définition du taux de
FRA on a 1.0175972... ( 1 ( Taux FRA
NbreJours69 /36000)) 1.0273 Nbre Jours6M
181, Nbre Jours9M 273, Nbre Jours69 273-181
92 Taux FRA ((1.0273/1.0175972.)-1)(36000/9
2) 3.7310827 On obtient donc 3.73 comme
taux de FRA 6 x 9 ( c est à dire contre Euribor
3 mois et à départ dans 6 mois ). C est un taux
milieu de fourchette car on a ignoré l impact
des fourchettes prêt/emprunt.
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Méthode du calcul rapide
On suppose toujours que l on emprunte ( un euro
) à 9 mois et que l on place sur les six
premiers mois, de la sorte on a construit un
emprunt synthétique de 3 mois à départ dans 6
mois dont le taux est ( par définition, ou par
arbitrage ) le taux du FRA 69 recherché. On
constate que l on paye du 3.60 sur 9 mois et
que l on reçoit du 3.50 pendant 6 mois , ceci
génère un surcoût de 0.10 pendant les 6
premiers mois. En raisonnant ici sans
actualiser, et en trimestre on remarque que ce
surcoût sur 2 trimestres doit être  amorti  sur
un seul trimestre, donc qu il est équivalent à
un surcoût de 0.20 sur un seul trimestre.
Attention ici, on raisonne toujours en taux
annuels ( ou annualisés ). Donc le bilan de
l opération est un cout de base d emprunt à
3.60 enchéri du surcoût dûment proraté , soit
0.20 , ce qui donne un taux de FRA de 3.80 en
première approximation. On peut également
utiliser les nombres jours exacts des périodes
soit en simplifiant les pourcents et la base de
jour de 360 3.60273 3.50181 X92 X
Taux FRA ((3.60273 - 3.50181 )/92) 3.796
On obtient donc 3.80 comme taux de FRA 6 x 9
approché, à comparer à 3.73 le taux exact la
précision est mauvaise, il ne s agit donc
que dune approximation