Kapitel 5

1
Kapitel 5

• Operative Planungsprobleme

2
5.1. Prognoseverfahren

• Ziel ? aus Vergangenheits-Daten Schlüsse über die
  zukünftige Nachfrage ziehen

• wichtig bei

• bei Endprodukten, wenn man Make to Stock (und
  nicht Make to Order) betreibt

• wenn es sich um geringwertige Güter (Hilfsstoffe,
  Verschleißteile, C-Produkte, etc.) handelt, bei
  denen sich der Aufwand für andere
  Verbrauchsermittlungsverfahren nicht lohnen würde

• bei untergeordneten Erzeugnissen, die in sehr
  vielen übergeordneten Erzeugnissen eingehen,
  sodass der Bedarf einen sehr regelmäßigen Verlauf
  annimmt

• wenn die Daten für programmorientierte Verfahren
  nicht zur Verfügung stehen (z.B.
  Ersatzteilverbrauch)

3
Verfahren

• Erklärende Prognosen

• bringen den zukünftigen Verlauf in Zusammenhang
  mit anderen Zeitreihen (z.B. Konjunktur)

• eher für Branchen, nicht für einzelne Produkte
  geeignet

• u. U. von Interesse für langfristige Planung ?
  Regression, OLS

• Univariate Prognosen

• ermitteln mutmaßliche Nachfragewerte allein
  aufgrund vergangener Nachfragwerte des jeweiligen
  Produktes

• besonders wichtig für Mittelfristplanung ?
  Zeitreihenprognose

4
Verfahren II

• singuläre Ereignisse

• Kenntnisse über künftige Ereignisse, die man
  nicht aus den Vergangenheitswerten der Zeitreihe
  entnehmen kann, die jedoch den Nachfragverlauf
  nachhaltig beeinflussen.

• z.B. Steigerung des Bierverbrauchs aufgrund einer
  bevorstehenden Milleniumsfeier,
  Marketingaktionen, Gesetztesänderungen, etc.

• werden meist als einfacher Zuschlag berücksichtigt

• Wir werden uns hier vorrangig mit
  Zeitreihenprognosen (II) befassen.

5
Zeitreihenprognose

• Gegeben Zeitreihen dt t 1,, T, d.h.
  Vergangenheitsdaten
• dt ,dT-1 und der gegenwärtige
  Nachfragewert dT, d.h. der letzte
• gemessene Nachfragewert.

• Prognoseaufgabe vom Gegenwartszeitpunkt T aus
  erstellte Prognosen für ? Perioden in die Zukunft
  bezeichnen wir mit pT (?) mit ? 1, 2, ., also
  die Prognose für die Nachfrage dT? zum Zeitpunkt
  T.
• Wenn nun für die Perioden T1 bis T? Prognosen
• pT (1), ... , pT (?) abgegeben werden, so ergibt
  sich durch
• Vergleich mit der sich dann tatsächlich
  realisierenden Nachfrage
• dT1, ... , dT? jeweils ein
  Prognosefehler ei(? )dt pi (? ), wobei
• i ? t. Vereinfacht dargestellt für ?
  1
• et-1 (1) et

6
Zeitreihenprognose II

• Ferner kann man in der gewählten bzw. ermittelten
  Formel für pT (? ) auch ? lt 0 wählen und so
  ex-post Prognosen für die Zeitpunkte 1, ... T
  berechnen, ebenso wie die ex-post Prognosefehler
  e2, ... , et. Letzteres z.B. um die Güte diverser
  Prognoseverfahren zu bewerten.

7
Zeitreihenprognose III

• Maßzahlen für die Güte einer Prognose stellen
  Mittelwert und Streuung der Prognosefehler dar.
  Für die ex-post Prognosefehler gilt

bzw.

• In der betrieblichen Praxis werden häufig die MAD
  (mean absolute deviation, mittlere absolute
  Abweichung), MAPD (mean absolute percentage
  deviation) und MSE (mean squared error) verwendet,

sowie auch als Streumaß die Spannweite (
), die deutlich weniger Information
bieten.
8
Zeitreihenprognose IV

• Wir besprechen einige einfache univariate
  Prognoseverfahren, die auf Zeitreihen mit

• (1) konstantem Verhalten

• (2) trendförmigem Verhalten

• (3) saisonalem Verhalten angewandt werden.

9
5.1.1 Zeitreihen mit konstantem Verhalten

• Zeitreihen mit konstantem Verhalten weisen weder
  Trend noch Saisonalität auf und sind am
  einfachsten zu behandeln. Dabei sind folgende
  Vorgangsweisen denkbar

• 5.1.1.1 naive Prognose, Letztwert - Prognose

bzw.

• Man nimmt an, dass sich die Nachfrage in Zukunft
  wie in der Gegenwart entwickeln wird, d.h. die
  Vergangenheit wird ignoriert. Falls die
  Nachfragewerte aber doch um einen Mittelwert
  schwanken, ist es sinnvoller, Vergangenheitswerte
  mit einzubeziehen (Mittelbildung).

10

• 5.1.1.2 Gleitender Durchschnitt

• Der gleitende Durchschnitt prognostiziert die
  Zeitreihe einfach als Mittelwert (Durchschnitt)
  der Nachfrage über einem Träger der letzten n
  Nachfragewerte dT-n1, ... , dT, wobei der
  Schätzwert pT (? ) der Zeitreihe im Zeitpunkt T
  wie folgt berechnet wird.

• für n T, für n gt T, muss n T gewählt werden

• Gleitend ist der Durchschnitt insofern, als bei
  einer Prognose im nächsten Zeitpunkt T1 der
  älteste Wert dT-n1 durch den neuen Wert dT1
  verdrängt wird.

11
Gleitender Durchschnitt II

• Wesentlich für die Güte der Prognose ist die Wahl
  des Zeitraums n

• n zu klein ? man reagiert zu stark auf
  nichtsystematische (d.h. stochastische)
  Schwankungen.

• n zu groß ? man kann temporäre systematische
  Schwankungen nicht mehr erfassen.

• Nachteil des Verfahrens ist die Tatsache, dass
  zunächst alte Vergangenheitswerte als
  gleichwertig mit dem neuesten Nachfragewert
  behandelt werden und dann plötzlich überhaupt
  ignoriert werden. Dieser Nachteil wird im
  folgenden Verfahren behoben, in dem
  Vergangenheitswerte langsam in Vergessenheit
  geraten bzw. ihre Relevanz verlieren.

12
5.1.1.3 einfache Exponentielle Glättung

• Man prognostiziert

• wobei der Schätzwert ST das mit ? gewichtete
  arithmetische Mittel aus altem Schätzwert ST-1
  (aus den Beobachtungen bis zum Zeitpunkt T-1) und
  neuer Information dT ist.
• Der Mittelwert über die ersten n Beobachtungen
  wird zur Bestimmung eines Startwerts ST-1 heran
  gezogen, wobei n mithilfe von ? bestimmt wird.

• Man kann die Beziehung für T-1 einsetzen

usw.

• Man erhält auf diese Weise

13
Exponentielle Glättung II

• Dies gilt sofern die Zeitreihe wirklich ? lange
  in die Vergangenheit zurückverfolgt werden kann.
  Für großes k ist der Faktor (1-?)k allerdings
  verschwindend klein, sodass praktisch kein Fehler
  begangen wird wenn nur eine endliche Summe
  betrachtet wird. Der Schätzwert ergibt sich durch
  "exponentielle" Gewichtung der Vergangenheitswerte
  . ? Name "exponentielle Glättung.
• Glättung bedeutet, dass die geglättete
  Zeitreihe St weniger Schwankungen aufweist, als
  die ursprüngliche, dt.

• Die Rekursionsformel für die ST läßt sich auch
  schreiben als

• d.h. die neue Schätzung unterscheidet sich von
  der alten um den durch ? gewichteten
  (vorherigen) Schätzfehler .

14
Exponentielle Glättung III

• Die Wahl von ? ist ähnlich kritisch wie die von n
  beim gleitenden Durchschnitt

• ? 0 ? ST ST-1 und die Schätzung reagiert
  überhaupt nicht auf die neue Zeitreiheninformation

• ? 1 ? es zählt nur der Gegenwartswert dT

• In der Praxis wählt man häufig ? 0,1 bis ?
  0,3. Oft wird auch ? durch Simulation optimiert.

• Wichtig Achten Sie darauf, dass genügend
  Vergangenheitswerte vorhanden sind, bzw. dass ein
  guter Anfangswert ST-1 berechnet werden kann.

15
Exponentielle Glättung IV
?

• Beispiel a 0,2

18,6
19,48
20,78
21,43

16
5.1.2 Zeitreihen mit trendförmigem Verhalten
Falls ein linearer Trend, aber kein saisonaler
Effekt an Hand der bestehenden Daten abgelesen
werden kann, basieren die berechneten
Prognosewerte auf folgendem Schema
bzw.
17
Lineare Regression (OLS)

• Methode der kleinsten Quadrate

• Man approximiert die Werte dt durch eine
  möglichst gut passende Gerade Rt a bt und die
  Prognose erfolgt über

• Dabei werden ? und b so bestimmt, dass die Summe
  der Quadrate der Abweichungen dt - Rt minimal
  wird

18
Lineare Regression II

• Als Ergebnis dieser einfachen Optimierungsaufgabe
  erhält man (wenn die Beobachtungen zu den
  Zeitpunkten 1, 2, ... , T vorliegen)

und
wobei

• Bei äquidistanten Beobachtungen der erklärenden
  Variablen (bei Zeitpunkten meist gegeben) gilt

Also
19
Lineare Regression III

• Randbemerkung Bei nicht-äquidistanten
  Beobachtungen ?1, ... ?n der erklärenden
  Variablen t bzw. Beobachtungspunkten
• (?1, d1), ... , (?n, dn) ist die Formel leicht
  abzuändern

und
und
20
Lineare Regression IV

• Klarerweise ist diese Formel für ? äquivalent mit
  der Darstellung

in der Literatur.

• Es wird kein Unterschied gemacht zwischen der
  Bedeutung der ältesten bekannten Beobachtung und
  der der letzten Beobachtung.
• Angenommen die letzte Beobachtung ist für die
  Prognose der Zukunft relevanter als länger
  zurückliegende, kann man wieder das Prinzip der
  exponentiellen Glättung anwenden, allerdings in
  einer leicht veränderten Form -gt trendbereinigte
  exponentielle Glättung!

21
5.1.2.2 Trendbereinigte Exponentielle Glättung

• Diese entspricht der einfachen exponentiellen
  Glättung wobei ein Korrekturterm für den Trend
  verwendet wird

wobei
und

• bT ist der Betrag, um den die Nachfrage im
  Durchschnitt pro Periode steigt.
• bT ist aber zunächst nicht bekannt, also muss ein
  geeignetes Verfahren zu dessen Schätzung
  herangezogen werden.
• am besten geeignet ist die lineare Regression.

22
Trendbereinigte Exponentielle Glättung II

• bTSchätzwert für den Trend basierend auf den
  Daten d0 bis dT

• Schritt 1 ? bestimme den neuen Schätzwert für den
  Absatz

• Schritt 2 ? bestimme den neuen Schätzwert für den
  Trend

• Schritt 3 ? bestimme den Prognosewert für T

23
Trendbereinigte Exponentielle Glättung III

• Beispiel

• Startwerte bestimmen lineare Regression auf
  Basis der Perioden 1 bis 4

b0,5 (Regression)

• Startwert für den Trend b4 0,5
• Startwert für den Schätzwert h4 18,5
• Somit prognostizieren wir p5 p4(1) h4 b4

24
Trendbereinigte Exponentielle Glättung IV
19,6
21,58
22,58
24,59
26,98
28,29
28,73
30,33
0,62
0,89
0,91
1,13
1,38
1,37
1,18
1,27
20,22
22,47
23,49
25,72
29,66
29,91
28,36
und so weiter
25
5.1.3 Zeitreihen mit saisonalem Verhalten

• Für die mittelfristige Planung von besonderer
  Bedeutung (Zeitraum von ein bis zwei Jahren) bei
  vielen Produkten sind jahreszeitliche
  Schwankungen typisch.
• Annahme Trend ist konstant
• Wir stellen hier nur eine Methode vor Gleitender
  Durchschnitt unter Berücksichtigung der
  Saisonalität

• aTergibt die prognostizierte Nachfrage ohne
  Berücksichtigung der Saisonalität
• sT? Saisonkoeffizient für Periode T?
• Mit Hilfe von aT berechnet man den sog.
  Saisonkoeffizienten

26
Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten II

• Mitteln von über K1 Saisonkoeffizienten
  gleicher Phase (den gegenwärtigen und K
  vergangene, , wobei M die
  Länger einer Saison ist)

• So erhält man den Zeitreihenschätzwert

• MLänge der Saison
• Prognose

bzw.
27
Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten III

• Beispiel folgende Nachfragedaten (halbjährlich,
  M 2)

Per. 1/01 2/01 1/02 2/02 1/03 2/03 1/04 2/04
t 1 2 3 4 5 6 7 8
dt 7 10 9 11 8 13 10 13
Offensichtlich ist im ersten Halbjahr die
Nachfrage im Normalfall niedriger.
28
Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten IV

• 1. Schritt Ermittlung der momentanen
  Saisonkoeffizienten

wobei
Gemittelt über dT-1 und dT, dh gemittelt über n2
Perioden
at 8,5 9,5 10 9 10,5 11,5 11,5
1,18 0,95 1,1 0,89 1,24 0,87 1,13
Gemittelte Saisonkoeffizienten über mehrere Jahre
(hier über alle)
st 1,18 0,95 1,14 0,92 1,17 0,90 1,16
29
Zeitreihe mit Saisonalem Verhalten V

• Oft werden noch die aktuellen (gemittelten)
  Saisonfaktoren so korrigiert (normalisiert), dass
  ihre Summe über einen vollen saisonalen Zyklus M
  (also hier 2) ergibt.

• Die Saisonfaktoren for 2004 könnten also wie
  folgt korrigiert werden

und

• Aus Gründen der Bequemlichkeit wollen wir das
  hier aber nicht weiter tun.

• Einschrittprognose pT(1)pT1aTsT1-2

Pt(1) 11,2 9,5 10,3 9,66 13,5 10,4

• Zum Beispiel p3(1)p4a3s29,51,1811,2
  (Schätzwert für Periode 4)

30
5.1.4 Zeitreihen mit Trend und Saisonalität

• ebenfalls für die mittelfristige Planung von
  besonderer Bedeutung
• Grundidee dieses Prognoseverfahrens

• 1. Ermittlung der Saisonkoeffizienten

• 2. Saisonbereinigte Zeitreihe Beobachtung /
  Saisonkoeffizienten

• 3. lineare Regression (oder exp. Glättung) der
  saisonbereinigten Zeitreihe

• 4. Prognose Wert der Regressionsgerade
  Saisonkoeffizienten

• Obiges Beispiel

• Saisonbereinigte Zeitreihe (Saisonkoeffizienten
  0,9 bzw. 1,16)

7,77 8,62 70 9,48 8,88 11,2 11,1 11,2
31
Zeitreihe mit Trend und Saisonalität II

• Diese Werte seien nun die dt, die mittels
  Regression analysiert werden sollen. Der
  Mittelwert der Beobachtungen (nT8) sowie der
  Zeitpunkte ist

(7,778,62109,488,8811,211,111,2)/8
78,25/8 9,78

4,5

• Zur Berechnung der Regressionskoeffizienten
  benötigt man

-(7,773,5) - (8,622,5) - (101,5) -
(9,480,5)
(8,880,5) (11,21,5) (11,12,5)
(11,23,5) 19,705
(3,52 2,52 1,52 0,52)2 42
32
Zeitreihe mit Trend und Saisonalität III

• Es ist ein Trend nach oben zu erkennen
• b 19,705/42 0,47, ? 9,78 - 0,474,5
  7,67

Zum Beispiel

• Weitere wichtige Verfahren (z.B. Box-Jenkins)
  können hier aus Zeitgründen nicht behandelt
  werden.

• Literatur (praktisch jedes Lehrbuch der
  Produktion, des Operations Research bzw. der
  Prognose)
• Schneeweiß, Einführung in die Produktionswirtschaf
  t, Springer, 1993 Kapitel 5.2.1
• Günther, Produktionsmanagement, Springer, 1993
  Kapitel C.2
• Tempelmeier, Material-Logistik, Springer, 1992
  Kapitel 3
• Hillier-Liebermann, Operations Research,
  Oldenbourg, 1988 Kapitel 19
• Ghiani, Laporte, Musmano, Introduction to
  Logistics System Planning and Control, Wiley,
  2004 Kapitel 2

33
5.2 mittelfristige Produktionsprogrammplanung
5.2.1 mittelfristige Produktionsprogrammplanung
mittels LP

• dynamische Produktionsprogrammplanung besitzt 2
  Stufen

• Beschäftigungsglättung (aggregierte
  Gesamtplanung), d.h. Ausgleich der
  Kapazitätsbeanspruchung über das Jahr. Diese
  mittelfristigen Über-legungen erfolgen auf
  aggregiertem Niveau (Produktgruppen,
  Monats-basis) unter Verwendung von
  Nachfrageprognosen.

• kapazitierte Hauptproduktionsprogrammplanung
  (master production schedule), sprich kurzfristige
  detaillierte Festlegung der konkreten
  Produktmengen in den einzelnen Perioden
  (Hauptprodukte auf Wochen-basis) unter Verwendung
  der Vorgabe der Beschäftigungsglättung und
  detaillierterer Nachfrageprognosen.

34
Mittelfristige PPP mittels LP II

• Ziel Erstellung eines mehrperiodigen
  Produktionsprogramms auf der Basis eines
  LP-Modells. In diesem Fall erfolgt der Ausgleich
  zwischen den einzelnen Perioden durch
  Lagerbildung.

• ? dadurch wird eine gewisse Unabhängigkeit
  zwischen Produktion und Nachfrage geschaffen
  (Emanzipation).

• dabei gilt die Lagerbilanzgleichung

yjt yj,t-1 xjt - djt
35
Mittelfristige PPP mittels LP III

• Zur Vermeidung von Kapazitätsengpässen kann nicht
  nur vorproduziert werden, sondern auch
  Zusatzkapazität in Anspruch genommen werden.

• ? einfachste Kapazitätsrestriktion

36
Mittelfristige PPP mittels LP IV

• Schwieriger ist der Fall, wenn Vorlaufperioden zu
  betrachten sind, in diesem Fall ist

• aijv ... durch Produkt j verursachte
  Kapazitätsbelastung von Segment i in
  Vorlaufperiode

• Vj ... Anzahl der Vorlaufperioden von Produkt j

• Kapazitätsrestriktion

• ferner definiert man

37
Mittelfristige PPP mittels LP V

• yjt yj,t-1 xjt - djt

für j 1,...,n und t 1,...,T
für j 1,...,n und t 1,...,T
uit ? Uit
xjt, yjt, uit ? 0
für i 1,...,m, j 1,...,n und t 1,...,T
yj0 gegeben
für j 1,...,n ... Anfangslagerbestände
38
Mittelfristige PPP mittels LP VI

• Beispiel (aus Kapitel 8.3, Günther und
  Tempelmeier, Produktion Logistik)

• Dabei sind 2 Endprodukte A und B herzustellen,
  die aus Baugruppen C, D und E bestehen, wobei
  dort wieder Einzelteile F und G eingehen (jeweils
  1 Einheit). Dies ist in nebenstehender Abbildung
  illustriert

• Im Segment 1 werden also die Endprodukte erzeugt,
  in Segment 2 die Baugruppen C und D sowie in
  Segment 3 die übrigen Vorprodukte.

39
Mittelfristige PPP mittels LP VII

• Der Kapazitätsbedarf pro Stück im entsprechenden
  Segment sei aus den Arbeitsplänen bekannt und in
  folgender Tabelle angegeben (z.B. in Stunden)

Erzeugnis A B C D E F G
Kapazitätsbedarf pro Stück 1 2 1 3 4 2 1

• Die beiden Endprodukte verursachen also in den 3
  Segmenten folgende Kapazitätsbelastung unter
  Berücksichtigung der Vorlaufperioden.

Endprodukt A Endprodukt A Endprodukt A Endprodukt B Endprodukt B Endprodukt B
Produktionssegment Produktionssegment Produktionssegment Produktionssegment Produktionssegment Produktionssegment
Vorlaufperiode
0 1 - - 2 - -
1 - 4 - - 3 4
2 - - - - - 3
40
Mittelfristige PPP mittels LP VIII

• Die Kapazitätsrestriktionen
  für die 3 Segmente
  lauten also

• Hinzu kommen die übrigen Bedingungen aus obigem
  LP. Um es überschau-bar zu halten, hat es nur 2
  Entscheidungsvariablen (Produktions-menge von A
  und B). Die anderen Mengen sind aus der
  Endproduktmenge ableitbar.

• Im einem (oft computerunterstützten) PPS-Systemen
  erfolgt nach der Planung des kurzfristigen
  Produktionsprogrammes (z.B. mit LP wie hier)

• Materialbedarfsplanung - wann werden welche
  Rohstoffe in welcher Menge benötigt?

• Auftragsterminierung und Ressourcenbelegung -
  Belegung der einzelnen Anlagen mit Aufträgen
  unter Beachtung aller Kapazitätsschranken

41
5.2.2 mittelfristige Programmplanung ohne LP

• Unter der Voraussetzung linearer
  Produktionszusammenhänge ist das LP ein
  geeignetes Verfahren, um bereits recht komplexe
  Situationen der mittelfristigen Planung optimal
  zu gestalten. Da die Berechnung für mehrere
  Perioden und Produkte bzw. Produktgruppen
  allerdings schon aufwendig sein kann, sind noch
  andere (einfachere) Planungsverfahren üblich.

• Die Idee (etwa gleichzeitig mit LP in fünfziger
  Jahren) stammt aus der Regelungstheorie und
  beruht im Prinzip auf denselben Überlegungen wie
  die exponentielle Glättung.

• Mittelfristplanung bedeutet, einen
  prognostizierten Nachfrageverlauf so gut wie
  möglich zu erfüllen ? man versucht, die
  Produktion so einzuregeln, dass sie
  Abweichungen von der Nachfrageprognose zum Anlaß
  nimmt, die Produktion zu korrigieren.

42
Mittelfristige PPP ohne LP II

• Im einfachsten Falle folgt man z.B. der linearen
  Rekursionsbeziehung

• wobei

... Richt-Lagerbestand
?, ? ... Glättungskonstanten.

• Je größer ? und ? desto stärker führen
  Abweichungen zu Korrekturen.

• Lineare Entscheidungsregeln sind ähnlich
  ausbaufähig wie LP-Modelle.

• Nachteil es ist nicht möglich, strikte
  Ressourcenbeschränkungen zu berücksichtigen (oft
  kein großes Problem, da nur Grobplanung).

• Vorteil reagieren glatter auf stochastische
  Schwankungen als LPs aufgrund der glatteren
  Periodenverknüpfung ? geringere Nervosität.

43
5.3 Losgrößenplanung - Lagerhaltung

• Bei Lagerhaltungsmodellen unterscheidet man

• deterministische Modelle (Nachfrage wird als
  bekannt vorausgesetzt) stochastische Modelle
  (Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die
  Nachfragemengen bekannt) z.B. Newsboy,
  Servicegrade, ...

• statische Modelle (konstante Nachfrage -
  Betrachtung einer typischen Bestellperiode)
  z.B. EOQ (Wurzelformel)dynamische Modelle
  (Nachfrage variiert mit der Zeit) z.B.
  Wagner-Whitin

• Ein-Produktmodelle - z.B. EOQ, Wagner-Whitin,
  NewsboyMehr-Produktmodelle, wobei hier zu
  unterscheiden ist mit unabhängigem Bedarf
  (aber z.B. gemeinsamer Kapazitäts-
  beschränkung) mit abhängigem Bedarf (z.B.
  Vorprodukte bei mehrstufiger Produktion)

44
5.3.1 Mehrstufige dynamische Mehrproduktmodelle
5.3.1.1 Erzeugnisorientierte Dekomposition ohne
Kostenanpassung

• Die einfachste Vorgangsweise, die in der Praxis
  weit verbreitet und in vielen PPS-Systemen
  implementiert ist, ignoriert die Kostenwirkungen
  der Losgrößenentscheidung für ein Produkt auf die
  Vorgängerprodukte. Die grundsätzliche
  Vorgangsweise ist wie folgt.

• Beginne mit dem Endprodukt und plane es mittels
  Einprodukt-Heuristik oder WW-Verfahren.
  (Allgemeiner wird nach den Dispositionsstufen
  vorgegangen und mit den Endprodukten begonnen)

• Plane die unmittelbaren Vorgängerprodukte, wobei
  sich der Bedarf für diese Vorgängerprodukte aus
  den Losgrößenentscheidungen der übergeordneten
  Produkte ergibt, usw. (Allgemeiner wenn eine
  Dispositionsstufe abgearbeitet ist, gehe zur
  nächsten)

45
Erzeugnisorientierte Dekomposition II

• Beispiel N 2 Produkte, T 4 Perioden, a12
  1, Bedarf, Rüstkosten und Lagerkosten wie folgt

Produkt t 1 t 2 t 3 t 4 Si hi
i 1 - - - - 120 10
i 2 10 10 10 10 100 11

• Zunächst wird das Endprodukt i 2 geplant. Nach
  Silver-Meal ergeben sich folgende Lose

• t 1 100/1 lt 100 11?10/2 105 d.h. q21
  10, u.s.w. also keine Losbildung ? q22 10, q23
  10, q24 10.

• Es ergibt sich somit folgender Sekundärbedarf für
  das Vorprodukt 1

Produkt t 1 t 2 t 3 t 4 Si hi
i 1 10 10 10 10 120 10
46
Erzeugnisorientierte Dekomposition III

• Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose

• t 1 120/1 gt 120 10?10/2 110, aber 110 lt
  120 10?10 10?2?10/3 140 d.h. Losbildung
  q11 10 10, q12 0.

• t 3 120/1 gt 110, d.h. Losbildung q13 10
  10, q14 0.

• Die Gesamtkosten sind dann 840 Produkt 2 4 ?
  Rüsten, also 400 Produkt 1 2 ? Rüsten, 2 ?
  Lagern, also 240 200 440

• Zum Vergleich Losbildung schon beim Endprodukt

• q21 20, q22 0, q23 20, q24 0

• Dies ergibt Bedarfsmengen für das Vorprodukt 1

Produkt t 1 t 2 t 3 t 4 Si hi
i 1 20 0 20 0 120 10
47
Erzeugnisorientierte Dekomposition IV

• Nach Silver-Meal ergeben sich folgende Lose

• t 1 120/1 gt 120 0/2 60, aber 60 lt 120
  0 10?2?20/3 173,3d.h. Losbildung q11
  20, q12 0.

• t 3 analoge Losbildung q13 20, q14 0.

• Die Gesamtkosten sind dann 660 Produkt 2 2 ?
  Rüsten, 2 ? Lagern, also 200 220
  420 Produkt 1 2 ? Rüsten, also 240
• Die Lösung aus dem vorigen Abschnitt lässt sich
  also um über 20 verbessert!

• Die Losbildung beim Endprodukt sollte nämlich
  berücksichtigen, dass die hier getroffenen
  Entscheidungen die Kosten bei den untergeordneten
  Produkten beeinflussen. Dies führt zur Idee der
  Kostenanpassung, d.h. man versucht durch
  systematische Erhöhung der Lagerkosten und/oder
  Rüstkosten die Folgekosten bei den
  untergeordneten Produkten schon bei der
  Losbildung mittels Einproduktmodell zu
  berücksichtigen.

48
5.3.1.3 Erzeugnisorientierte Dekomposition mit
Kostenanpassung bei konvergierender
Produktstruktur

• Annahme Vorliegen einer konvergierenden
  Produktstruktur (d.h. jedes Produkt (bis auf die
  Endprodukte) hat einen eindeutig bestimmten
  Nachfolger) Es gibt verschiedene Ansätze die
  zumeist wie folgt vorgehen

• Bei Ermittlung der modifizierten Kosten wird von
  konstanten Primär-bedarfsmengen ausgegangen,
  wobei wir hier nur Primärbedarfsmengen für das
  Endprodukt n N zulassen wollen, also

Bedarf/Periode
(Endprodukt) Bedarf pro Periode 0 sonst.

• ?Multiplikatoren ?i ermittelt, die angeben, wie
  oft (im Schnitt) ein Los des Nachfolgerproduktes
  n(i) während eines Zyklus von Produkt i aufgelegt
  wird. Bei geschachtelten Politiken muss also
  immer ?i ? 1 gelten,

• Auf Basis von ?i werden dann (ausgehend von den
  untergeordneten Produkten) die Lagerkosten
  und/oder Rüstkosten modifiziert.

49
Varianten

• Variante 1 motiviert durch Überlegungen zum ELSP
  mit konvergierender
• Produktstruktur werden folgende Multiplikatoren
  ermittelt
• sodann werden die Rüstkosten korrigiert
• wobei die Lagerkosten hj nicht verändert werden.

• Im obigen Beispiel

• Silver-Meal für Endprodukt 2 q21 20, q22 0,
  q23 20, q24 0, denn204,35/1 gt 204,35
  11?10/2 157,18 lt 204,35 330/3 178,12

50
Varianten II

• Variante 2 ähnlich wie Variante 1,
  berücksichtigt aber ?i ? 1, also

• Variante 3 berücksichtigt auch noch die
  Ganzzahligkeit der ?i, usw.

• Es gibt auch Formulierungen über den systemweiten
  Lagerbestand. All diese Verfahren sind zwar etwas
  rascher als das folgende Verfahren von Afentakis,
  liefern aber in der Regel schlechtere Lösungen.

51
5.3.1.4 Verfahren von Afentakis

• Es gibt eine Vielzahl an Heuristiken, die man
  nach folgendem Gesichtspunkt einteilen kann

• erzeugnisorientierte Dekomposition man
  betrachtet unabhängige Einproduktmodelle, die
  dann eventuell (z.B. durch Kostenanpassung)
  gekoppelt werden

• periodenorientierte Dekomposition man betrachtet
  simultan alle Produkte und erweitert schrittweise
  den Planungshorizont

• Ein typischer Vertreter der letzteren Gruppe ist
  das Verfahren von Afentakis (1987). Dabei wird
  schrittweise für t 1, 2, ... , T eine
  näherungsweise optimale Lösung Q(t) für das
  Planungsintervall 1, t ermittelt.

52
Afentakis II

• Wir gehen davon aus, dass nur für das Endprodukt
  N ein Primärbedarf dNt vorliegt.

• Startlösung

• Wir erläutern den Schritt von t-1 ? t

• Ausgangspunkt

wobei

• Ferner sei ?i,t-1 die letzte Produktionsperiode
  von Produkt i, also die letzte Periode mit
  positiver Losgröße.

53
Afentakis III

• Es wird nun die Politik Q(t), also
  für alle i ermittelt.

• Dabei bleiben alle Produktionsperioden erhalten,
  und der Bedarf an Produkt i der Periode t wird
  entweder durch Erhöhung der Produktionsmenge in
  ?i,t-1 gedeckt oder durch Neuauflage eines Loses
  an Produkt i in einer der Perioden ?i,t-1 1,
  ... , t. Es stehen also t 1 - ?i,t-1 mögliche
  Perioden zur Verfügung, in denen der Bedarf der
  Periode t produziert werden kann.

• Ferner soll die Politik geschachtelt sein, d.h.
  es wird nur dann ein Los für i aufgelegt, wenn
  für alle direkten (und damit auch indirekten)
  Nachfolger ein Los aufgelegt wird xit 1 ?
  xn(i),t 1. Diese Eigenschaft ist bei jeder
  optimalen Politik erfüllt, sodass es sinnvoll
  ist, sie auch im Rahmen der Heuristik zu
  verlangen.

• Unter allen Politiken, die a) und b) erfüllen,
  ermittle man die kostengünstigste Variante.

54
Afentakis IV

• Beispiel T 3, N 3. Endprodukt 3 und
  Vorprodukte 1 und 2 wobei a13 a23 1 und aij
  0 sonst.

• Startlösung t1 jedes Produkt in t1 produzieren.

also
mit Kosten 8 10 5 23
55
Afentakis V

• Iteration t 1 Es bestehen 5 potentielle
  Politiken, wobei nicht geschachtelte bereits
  weggelassen wurden

• Lösung

• Kosten

56
Afentakis VI

• Iteration t 2 Es bestehen 8 potentielle
  Politiken

57
Afentakis VII

• Näherungsweise optimale Politik für Zeitraum 1,
  ..., 3

oder

• Die zugehörigen Losgrößenentscheidungen sind

oder
58
5.3.2 LP-Modelle für mehrstufige dynamische
Modelle ohne Kapazitätsbeschränkungen
5.3.2.1 LP-Modell mit normalen Lagerbeständen

• i ... Index für die Vorprodukte (i 1,...,N-1)

• N ... Index des Endproduktes

• t ... Index für die Perioden (t 1,...,T)

• hi ... Lagerhaltungskostensatz für Produkt i

• Si ... Rüstkosten für Produkt i

• dit ... Effektive Nachfrage nach Produkt i in
  Periode t (Primärbedarf)

• qit ... Losgröße des Produkts i in Periode t

• yit ... Lagerbestand des Produkts i am Ende der
  Periode t

• N(i) ... Menge der direkten Nachfolger des
  Produktes i

59
LP-Modell mit normalen Lagerbeständen II

• aij ... Direktbedarfskoeffizient, d.h. Menge an
  Produkt i, die direkt in 1 Einheit Produkt j
  eingeht (Zahl bei Pfeil i ? j im Gozintographen)

• Weiters sei eine
  Binärvariable, die Losauflage anzeigt

• Annahme die Produktion der Periode t steht zur
  Befriedigung der Nachfrage t zur Verfügung und
  dass keine Fehlmengen zugelassen sind. Da die
  gesamte Nachfrage befriedigt werden muss, ist die
  gesamte Produktionsmenge vorgegeben, weshalb die
  konstanten variablen Produktionskosten
  weggelassen werden können.

• Beispiel N 3

• 1 Einheit Endprodukt 3 besteht aus 1 Teil
  Vor-produkt 1 und aus 2 Teilen Vorprodukt 2. In
  Vor-produkt 1 steckt noch 1 Einheit von
  Vorprodukt 2.
• N(1) 3N(2) 1, 3N(3)

60
LP-Formulierung

• Kosten

• Lager-bilanzen

• Rüstkosten-verrechnung

wobei M eine große Zahl ist.

• Nicht-Negativität

• Binärvariable

61
5.3.2.2 LP-Modell mit systemweiten
Lagerbeständen

• statt den obigen Formulierungen wird der
  systemweite Lagerbestand verwendet

... systemweiter Lagerbestand des Produkts i am
Ende der Periode t, d.h. jene Menge an Bauteil i,
die als Bauteil i oder eingebaut in übergeordnete
Produkte im Lager vorrätig ist, dabei ist

• vij ... Verflechtungs(Gesamt-)bedarfskoeffizient
  an Produkt i bzgl. Produkt j, d.h. Menge an
  Produkt i, die direkt oder indirekt in 1 Einheit
  Produkt j eingeht, und

• N(i) ... Menge aller (auch indirekten)
  Nachfolger

• Die Rückrechnung von Yit zu yit erfolgt über

62
LP mit systemweiten Lagerbeständen II

• analog definiert man

• 
  ... systemweiter Lagerhaltungs- kostensatz
  für Produkt i , wobei

• V(i) ... Menge aller direkten Vorgänger des
  Produktes i

• Obiges Beispiel

• N(i) N(i) hier z.B. a23 2, v23 2 1
  3
• Also Y2t y2t 1y1t 3y3t
• V(1) 2, V(3) 1, 2
• Wenn z.B. h1 2, h2 1, h3 6,
• dann H2 1, H1 2 - 1 1, H3 6 - 1?2 - 2?1
  2

63
LP - Formulierung

• Kosten

• Lager-bilanzen

• keine Fehlmengen

• Rüstkosten-verrechnung

wobei M eine große Zahl ist.

• Nicht-Negativität

• Binärvariable

64
5.3.3 konvergierende Produktionsstruktur

• Falls jedes Produkt (bis auf das Endprodukt)
  genau einen Nachfolger besitzt (konvergierende
  Produktstruktur, Montageprozeß), so vereinfachen
  sich die obigen Formeln etwas.

• In der ersten Formulierung kann man

durch

ersetzen, wobei n(i) der einzige
Nachfolger von i ist, also N(i) n(i).

• In der Formulierung mit systemweitem Lagerbestand
  ergibt sich folgende Vereinfachung

keine Fehlmengen
65
konvergierende Produktionsstruktur II

• Im Rahmen der Kostenanpassung findet der
  systemweite Ansatz ebenfalls Verwendung

• Variante 4 hier wird von systemweiten
  Lagerkosten Hi ausgegangen und die ?i werden
  etwas anders ermittelt

• sodann werden die Kosten wie folgt korrigiert

und
66
5.3.3 Weiterführende Bemerkungen zu
Kapazitätsbeschränkungen

• Im Rahmen der LP-Modelle lassen sich
  Kapazitätsbeschränkungen natürlich leicht formal
  berücksichtigen. Bei den Heuristiken verursacht
  die Tatsache Schwierigkeiten, dass man infolge
  von Kapazitätsengpässen in der Zukunft

• eventuell schon jetzt mehr (als scheinbar
  kostengünstig ist) produzieren muss, und

• eventuell auch nur Teile von Periodenbedarfen in
  einer Vorperiode auf Lager produzieren muss.

• Bei einstufigen Problemen nennt man diese Klasse
  von Problemen CLSP (capacitated lot sizing
  problem) und das bekannteste Verfahren ist das
  von Dixon und Silver.
• Bei mehrstufigen Problemen (MLCLSP, multi level
  CLSP) werden oft allgemeine heuristische Ansätze
  wie Simulated Annealing eingesetzt siehe z.B.
  Domschke -Scholl - Voß (1993).

67
5.4. Maschinenbelegung

• Maschinenbelegungsprobleme (scheduling) befassen
  sich mit der zeitlichen Zuordnung von Aufträgen
  zu Arbeitsträgern bzw. Maschinen und umgekehrt
  unter Beachtung vorgegebener Zielsetzungen und
  Restriktionen.
• Dabei ist zu beachten, dass zu jedem Zeitpunkt
  jede Maschine höchstens einen Auftrag bearbeiten
  und jeder Auftrag nur von höchstens einer
  Maschine gleichzeitig bearbeitet werden kann.

68
5.4.1 Begriffe

• Bei einem Maschinenbelegungsproblem sind n
  Aufträge oder Jobs (j l,...,n) auf m Maschinen
  (Mi für i l,...,m) zu bearbeiten. Dazu sind für
  jeden Auftrag j in der Regel folgende Daten
  gegeben

• aj Auftragsfreigabe- oder Bereitstellungszeitpunk
  t bzw. - termin (release date) des Auftrags j

Stehen alle Aufträge zum Zeitpunkt aj 0 zur
Bearbeitung bereit, bezeichnet man das Problem
als statisch, ansonsten als dynamisch.

• fj gewünschter Fertigstellungstermin (due date)
  des Auftrags j

• tji Bearbeitungszeit (oder -dauer, processing
  time) von Auftrag j auf Maschine i

• Werden alle oben erwähnten Größen als bekannt
  vorausgesetzt, so liegen deterministische Modelle
  vor andernfalls (stochastische
  Ankunftszeitpunkte oder Bearbeitungszeiten)
  spricht man von stochastischen Modellen.

69
Reihenfolgearten

• Ein Auftrag j läßt sich in gj verschiedene
  Arbeitsgänge Aj1,...,Ajgj unterteilen, die in
  einer fest vorgegebenen Reihenfolge zu bearbeiten
  sind. Diese Reihenfolge bezeichnen wir als
  Arbeitsgangfolge. Sie ist in der Regel
  technologisch determiniert.

• Läßt sich jedem Arbeitsgang Ajh eines Auftrags j
  eindeutig eine Maschine ?jh zuordnen, so
  bezeichnet man die zeitliche Reihenfolge, in der
  die einzelnen Arbeitsgänge von j die Maschinen zu
  durchlaufen haben, als Maschinenfolge ?j
  (?j1,...,?jgj)von j. Die Maschinenfolgen sind
  damit ebenfalls durch technologische
  Erfordernisse festgelegt.

• Die Reihenfolge, in der die einzelnen Aufträge
  auf einer Maschine i zu bearbeiten sind, heißt
  Auftragsfolge von i. Dabei können mehrere
  Aufträge gleichzeitig um dieselben Maschinen
  konkurrieren. Die Auftragsfolge ist nicht
  vorgegeben, sondern Gegenstand der Planung.

• Eine zeitliche Zuordnung von Arbeitsgängen zu
  Maschinen heißt (zulässiger) Ablaufplan, falls
  alle Reihenfolgebedingungen sowie weitere
  Restriktionen eingehalten werden.

70
5.4.2 Darstellungsmöglichkeiten

• Beispiel statisches Jobshop-Problem mit 3
  Maschinen und 3 Aufträgen

• jeder Auftrag besteht aus gj 3 Arbeitsgängen

• diese Aufträge sind in Reihenfolge Aj1, Aj2, Aj3
  zu bearbeiten

Maschine µj1
Arbeitsgang Ajh
j\h 1 2 3
1 1 2 3
2 2 3 1
3 2 1 3
j\i 1 2 3
1 3 3 2
2 3 2 3
3 3 4 1
Auftrag
Auftrag
Maschinennummer µjh
Bearbeitungszeit tji
71
5.4.2.2 Maschinenfolgegraph, Ablaufgraph

• Die Vorgaben hinsichtlich der Arbeitsgang- und
  der Maschinenfolgen lassen sich in folgendem
  Maschinenfolgegraphen veranschaulichen. Jede
  Knotenbezeichnung entspricht der Maschine ?jh,
  die den Arbeitsgang h des Auftrags j auszuführen
  hat.

• Maschinenfolgegraph Angabe

• jeder Knoten entspricht einer Maschine i ?jh

72
Ablaufgraph II

• Bei der Bestimmung von Auftragsfolgen ist für
  jede Maschine i festzulegen, in welcher
  Reihenfolge die einzelnen Aufträge j 1, 2, 3
  auf ihr zu bearbeiten sind. Dabei sind innerhalb
  des Maschinenfolgegraphen jeweils die Knoten mit
  derselben Maschinenbezeichnung i durch
  zusätzliche Pfeile, die jeweils genau einen Weg
  bilden, zu verbinden. Der entstehende Graph heißt
  Ablaufgraph.

• Ablaufgraph Entscheidung

• Das nebenstehende Bild zeigt den Ablaufgraphen
  für obiges Problem, wenn die Aufträge auf der
  Maschine 1 in der Reihenfolge 1, 3, 2, auf der
  Maschine 2 in der Reihenfolge 3, 2, 1 und auf der
  Maschine 3 in der Reihenfolge 2, 1, 3 bearbeitet
  werden.

73
5.4.2.3 Gantt-Diagramm

• Bei Gantt-Diagrammen werden die
  Bearbeitungszeiten über der Abszisse (Zeitachse)
  sowie die Maschinen bzw. die Aufträge über der
  Ordinate aufgetragen. Man unterscheidet eine
  maschinenorientierte (gebräuchlichere Variante)
  und eine auftragsorientierte Darstellung.

3
2
1
3
maschinenorientiertes Gantt-Diagramm
3
2
1
Leerzeit
2
Auftrag 1
3
2
1
74
Gantt-Diagramm II
3
2
1
3
auftragsorientiertes Gantt-Diagramm
2
3
1
2
Maschine 1
2
3
Wartezeit
1

• Hier sind alle Arbeitsgänge unter
  Berücksichtigung der Reihenfolgebeziehungen des
  Ablaufgraphen frühestmöglich eingeplant. Dabei
  entsprechen die schraffierten Felder den
  Leerzeiten der Maschinen bzw. den Wartezeiten der
  Aufträge. Da die Maschinen unterschiedliche
  Auftragsfolgen aufweisen, handelt es sich um
  einen normalen Ablaufplan, aber um keinen
  Permutationsplan.

75
5.4.3 Semiaktive und aktive Ablaufpläne

• Semiaktive Ablaufpläne haben die Eigenschaft,
  dass der Beginn keines AG zeitlich vorgezogen
  werden kann, ohne eine Maschinenfolge zu
  verletzen oder eine Auftragsfolge zu ändern.

• Beispiel (maschinenorientiertes Gantt-Diagramm)

nicht semiaktiv
semiaktiv
76
Semiaktive und aktive Ablaufpläne

• Zu jedem zulässigen Ablaufplan existiert ein
  zugehöriger semiaktiver Ablaufplan, der leicht zu
  ermitteln ist man verschiebt einfach alles so
  weit wie möglich nach links. Offensichtlich ist
  obiger Ablaufplan zwar semiaktiv, aber dennoch
  sehr schlecht.

• Aktive Ablaufpläne

• kein AG kann zeitlich vorgezogen werden, ohne den
  Beginn mindestens eines anderen AGs zu verzögern

• es darf nur die Auftragsfolge verändert werden

• Klarerweise ist jeder aktive Ablaufplan auch
  semiaktiv.

77
Aktive Ablaufpläne

• Obiges Beispiel Auftragsfolge an Maschine 2
  ändern

nicht aktiv
78
5.4.4 Klassifikation

• Im Bereich deterministischer Modelle werden
  Probleme mittels Tripeln aß? charakterisiert.

• Maschinenart und anordnung a1

• wenn die Aufträge aus nur einem Arbeitsgang
  bestehen

• a1 0, wenn genau 1 Maschine zur Verfügung steht

• a1 IP, wenn alle Maschinen identisch und
  gleichzeitig einsetzbar sind, bzw. gleiche
  Fertigungsgeschwindigkeiten auf allen Maschinen

• wenn die Aufträge aus mehreren Arbeitsgängen
  bestehen

• a1 F (Flow Shop) jeder Auftrag ist auf jeder
  Maschine genau einmal zu bearbeiten, und zwar in
  derselben Reihenfolge

• a1 PF (Permutations-Flow Shop)
  Überholverbot auf allen Maschinen ist die
  Reihenfolge identisch

• a1 J (Job Shop) jeder Auftrag muss die
  Maschinen in einer eigenen, fest vorgegeben
  Reihenfolge durchlaufen

• a1 O (Open Shop) die Reihenfolge ist frei und
  spielt keine Rolle

79
Klassifikation II

• Maschinenzahl a2 wird nichts angegeben, so wird
  eine beliebige Anzahl betrachtet.

• F ?

Flow Shop mit beliebig viel Maschinen

• J2 ?

Job Shop mit 2 Maschinen

• Auftragszahl ß1

• J ein Job Shop mit beliebig vielen und J3
  eins mit 3 Aufträgen

• Unterbrechbarkeit ß2

• Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge nicht
  unterbrochen werden

• pmtn Unterbrechung ist möglich

• no wait es sind keine Unterbrechungen (bzw. keine
  Zwischenlager- oder Wartezeiten) zwischen den
  Arbeitsgängen erlaubt.

80
Klassifikation III

• Reihenfolgebeziehungen ß3

• Wird nichts angegeben, dürfen die Aufträge
  beliebig gereiht werden

• prec Reihenfolgebeziehung entspricht einem
  gerichteten, zyklenfreien Graphen

• tree Reihenfolgebeziehung wird in Form eines
  gerichteten Baumes betrachtet

• Auftragsfreigabetermine und Nachlaufzeiten ß4

• Wird nichts angegeben, liegt ein statisches
  Problem vor

• aj unterschiedliche Auftragsfreigabetermine aj

• nj Nachlaufzeiten nach der Bearbeitung benötigt
  der Auftrag j noch min. nj ZE bevor er fertig
  ist oder weiterverarbeitet werden kann

81
Klassifikation IV

• Die restlichen Untergruppen betreffen

• ß5 Bearbeitungszeiten

• ß6 reihenfolgeabhängige Rüstzeiten bzw. Rüstkosten

• ß7 Ressourcenbeschränkungen

• ß8 Fertigstellungstermine

82
Klassifikation V

• Zielsetzungen ?

• zmax symbolisiert eine zu minimierende maximale
  Zeitdauer (Minimax-Zielsetzung)

• ?zj steht für eine zu minimierende (ggf.
  gewichtete) Summe von Zeitgrößen.

• z verwenden wir zur Bestimmung einer zu
  minimierenden (ggf. gewichteten) Anzahl von
  Aufträgen mit bestimmten Eigenschaften (z.B.
  Verspätung).

• Durchlaufzeitbezogene Ziele

• Fertigstellungszeitpunkt Fj (realiserte
  Fertigstellung von Auftrag j)

• Wartezeit Wji bezeichnet die Wartezeit von j auf
  Mi und

ist die gesamte Wartezeit des Auftrags j

• Durchlaufzeit Dj Fj aj Bearbeitungszeitspanne
  eines Auftrags

83
Durchlaufzeitbezogene Ziele

• Minimierung der Summe der Durchlaufzeiten bzw.
  der mittleren Durchlaufzeit

• ? min. bzw. D/n
  ? min. (äquivalent, da n konstant

• Minimierung der maximalen Durchlaufzeit

• 
  ? min.

• Minimierung der Summe der Wartezeiten

• ? min.

84
Kapazitätsorientierte Ziele

• Zykluszeit

• 
  Gesamtbearbeitungszeit

• Leerzeit

• von
  Maschine i ist die Summe aller Zeiten, zu
• denen
  i keinen Auftrag bearbeitet.

• ? Offensichtlich ist die Minimierung der
  Zykluszeit äquivelent mit der Minimierung der
  Summe der Leerzeiten.

• Kapazitätsauslastung (ebenfalls äquivalent)

• ? max.

85
Terminorientierte Ziele

• Terminabweichung

• Tj Fj fj (effektiver minus geforderter
  Endzeitpunkt)
• Tj gt 0 ? Strafkosten
• Tj lt 0 ? Kapitalbindung

• Verspätung

• Vj max 0,Tj . . . Terminüberschreitung
• Kapitalbindung wird hier ignoriert

• gebräuchliche terminorientierte Ziele

• Minimierung der maximalen Terminabweichung
• Minimierung der maximalen Verspätung
• Minimierung der Summe aller Verspätungen
• Minimierung der Anzahl der verspäteten Aufträge

86
Zielbeziehungen

• Äquivalenz zweier Ziele

• wenn die Zielfunktionen durch lineare
  Umwandlungen mittels konstanter Parameter
  ineinander überführbar sind heißen sie äquivalent.

• ? es ist äquivalent die Summe oder den Mittelwert
  von Zielgrößen zu optimieren

• ? bei statischen Problemen (d.h. alle Aufträge
  werden zum Zeitpunkt 0 freigegeben) sind die
  Ziele F und D, bzw. Z und Dmax äquivalent.

• ? die Zielsetzungen Minimierung von Z, Lmax, L
  und L? sowie die Maximierung der
  durchschnittlichen Maschinenauslastung sind
  äquivalent.

• ? die Zielsetzungen D, F, W und T sind äquivalent
  (gilt auch für die gewichteten Größen)

87
Dilemma der Ablaufplanung

• Zwischen den Zielen D und Z existiert keine der
  genannten Zielbeziehungen. Diese beiden Ziele
  sind in der Regel (bei Mehrmaschinenproblemen)
  zueinander konkurrierend, d.h. mit der
  Verbesserung des eines Zieles nimmt man zumeist
  eine Verschlechterung des anderen in Kauf.
  Beispiel in Übung

• Da Z zur Zielsetzung L der Leerzeitminimierung
  (Kapazitätsausnutzung) äquivalent ist, sind auch
  D und L zueinander konkurrierend. Dieser
  Sachverhalt wird als Dilemma der Ablaufplanung
  bezeichnet.

88
5.4.5 Grundlegende Entscheidungs- und
Prioritätsregeln

• Maschinenprobleme sind meist NP-schwer und in der
  Praxis müssen rasch Lösungen gefunden werden ?
  Heuristiken (sog. Prioritätsverfahren)

• Schritt 1 Sortiere die Aufträge nach einer
  vorzugebenden Prioritätsregel.

• Schritt 2 Plane die Aufträge in
  Sortierreihenfolge auf den Maschinen ein.

• bekanntesten Prioritätsregeln

• Shortest Processing Time - Regel

• Sortierung nach wachsenden Bearbeitungszeiten
  (mittlere Durchlaufzeit)

• Longest Processing Time - Regel

• Sortierung nach fallenden Bearbeitungszeiten
  (Zykluszeit)

• Shortest Remaining Processing Time - Regel

• Sortierung nach wachsenden Restbearbeitungszeiten
  ? bei Aufträgen mit mehreren Arbeitsgängen

89
Entscheidungs- und Prioritätsregeln II

• Longest Remaining Processing Time - Regel

• Sortierung nach fallenden Restbearbeitungszeiten

• Earliest Due Date - Regel

• Sortierung nach wachsenden gewünschten
  Fertigstellungsterminen ? auch als Jackson-Regel
  bekannt ? minimiert Verspätungen

• Earliest Release Date Regel (first come, first
  serve)

• Sortierung nach wachsenden Bereitstellungsterminen

• Diese Verfahren dienen bei schwierigen Probleme
  zur Ermittlung suboptimaler (Start-)Lösungen. Bei
  eher einfachen Problemen können sie als exakte
  Verfahren eingesetzt werden.

90
5.4.6 Probleme mit zwei Aufträgen

• Wir betrachten Flow Shop und Job Shop-Probleme
  mit 2 Aufträgen (Ziel Minimierung der
  Zykluszeit)

• Beispiel aus Domschke, Scholl und Voß (1993)
  statisches Flow Shop mit vier Maschinen,
  Maschinenfolgen ?1 ?2 (1, 2, 3, 4) und
  folgenden Bearbeitungszeiten

j 1 2 3 4
t1j 3 1 1 3
t2j 1 3 3 1

• Das Problem läßt in einem zweidimensionalen
  Koordinatensystem veranschaulichen, bei dem eine
  Achse jeweils einem der beiden Aufträge
  entspricht. Der Koordinatensprung Q (0,0)
  repräsentiert den Zeitnullpunkt
  (Freigabezeitpunkt).

91
Probleme mit zwei Aufträgen II

• Sj ?i tji bezeichnet den frühestmöglichen
  Fertigstellungszeitpunkt des Auftrags j, wenn er
  - beginnend im Zeitpunkt 0 - ohne Unterbrechung
  gefertigt wird. Die Punkte Q und S (S1,S2)
  spannen ein Rechteck (Operationsfeld) auf.

• Das Intervall 0,S1 läßt sich in m disjunkte
  Intervalle unterteilen, die aufgrund der
  Maschinenfolge ?1 des ersten Auftrags in der
  Reihenfolge i ?1,...,?1m angeordnet sind. Die
  Länge der Intervalle ist jeweils die
  Bearbeitungszeit t1j Analog ist 0, S2
  unterteilbar.

• Für jede Maschine i wird durch die beiden
  Intervalle ein Rechteck definiert, das als
  Konfliktfeld bezeichnet wird. In der folgenden
  Abbildung sind die Konfliktfelder für das obige
  Beispiel grau eingezeichnet.

• Für die gesuchte minimale Zykluszeit Z lassen
  sich Z max S1, S2 als untere Schranke und
  als triviale obere Schranke angegeben. In unserem
  Beispiel gilt Z 8 und

92
Verfahren nach Akers
S (S1,S2)
S2

• Das Verfahren von Akers bestimmt im
  Operationsfeld einen kürzesten Weg zwischen
  Ursprung Q und Punkt S unter den
  Nebenbedingungen, dass

i 4
i3

• keines der (gelben) Konfliktfelder durchlaufen
  wird)

i2

• der Weg nur aus senkrechten, waagrechten und
  diagonalen Abschnitten besteht.

i 1
Q (0,0)
M1
M2
M3
M4
S1
93
Verfahren nach Akers II

• Unter diagonalen Abschnitten verstehen wir
  Strecken mit Steigung 1 sie bedeuten eine
  gleichzeitige Bearbeitung beider Aufträge auf
  verschiedenen Maschinen. Waagerechte Abschnitte
  bedeuten die alleinige Bearbeitung des Auftrags 1
  und senkrechte die des Auftrags 2.

• Die Länge eines Weges von Q nach S ergibt sich
  dadurch, dass jede Bewegung eine Einheit nach
  rechts und/oder nach oben eine verstrichene
  Zeiteinheit bedeutet.

• ? mehrere Wege möglich (in unserem Beispiel 3).
  Während die beiden Wege der Länge Z 11
  Permutationsplänen entsprechen, gilt dies für den
  optimalen Plan mit Z 10 nicht, da ein Überholen
  der Aufträge stattfindet, was man auch in den
  Gantt-Diagramm sieht

94
Verfahren nach Akers III
Maschine
J1
J2
J1
J2
M2
M3
J1
J2
1
4
5
6
J2
J2
9
10
10
1
4
5
6
9

• Es ist nötig, die einzubeziehenden Wege zwischen
  Q und S systematisch abzuarbeiten ? Dazu wird ein
  gerichteter Graph G (V, e, c) konstruiert.
  Seine Knotenmenge V umfasst die Quelle Q, die
  Senke S sowie für jede Maschine Nordwest- und die
  Südostecke des jeweiligen Konfliktfeldes. Seine
  Pfeilmenge E, deren Bewertungen c sowie die
  kürzeste Entfernung von Q nach S werden simultan
  durch den unten angegebenen Algorithmus
  ermittelt.

95
Verfahren nach Akers IV

• Ausgehend von jedem von Q aus bereits erreichten
  Knoten p (p1, p2) mit (aktuell) kürzester
  Entfernung von dp von Q, schreitet man so lange
  diagonal in Richtung S vorwärts, bis

• entweder der Rand des Operationsfeldes getroffen
  wird dann führt man einen Pfeil (p, S) ein

• oder das Konfliktfeld einer Maschine i getroffen
  wird.

Beispiel

• Dann sind zur Umgehung des Konfliktfeldes i ein
  Pfeil von p zur Nordwestecke q von i und ein
  Pfeil von p zur Südostecke r von i einzuführen.
  Als Bewertung dient die verstrichene Zeit, also
  das Maximum der x- bzw. y-Distanzen.

96
Verfahren nach Akers V

• Beispiel Job Shop-Problem J5?n 2?Z. Die
  Bearbeitungszeiten und Maschinenfolgen sind in
  den folgenden beiden Tableaus angegeben. Die
  Numerierung der Maschinen erfüllt bereits die
  Voraussetzungen des Algorithmus.

tji M1 M2 M3 M4 M5
J1 3 5 3 2 4
J2 4 3 3 3 2
i 1 2 3 4 5
J1 M4 M1 M3 M2 M5
J2 M1 M2 M3 M4 M5

• Durch Addition der Bearbeitungszeiten erhält man
  S (17, 15).

• Nun werden die Konfliktfelder der Maschinen gemäß
  den Auftragsfolgen eingetragen, wobei sie bei Job
  Shop Probleme nicht mehr diagonal angeordnet
  sind.

97
Verfahren nach Akers VI
S
M5
M4
M3
M2
Regel
M1
Q
98
Verfahren nach Akers VII

• Die Anwendung des kürzeste Wege Verfahrens
  liefert

Lösung
99
Verfahren nach Akers VIII
Leerzeiten der Maschinen
M4
M5
M5
B
D
F
Q
S
J1
J2
Wartezeiten der Aufträge
Weg
J2
J1
J2
J1
100
Verfahren nach Akers IX
Gantt
S
Das Akers-Verfahren lässt sich auch anwenden,
falls Auftrags-freigabetermine aj ? 0 vorgegeben
sind (Konfliktfelder nach NO verschieben) bzw.
auch falls andere Zielfunktionen berücksichtigt
werden, z.B. Dmax und Wmax (durch geeignetes
Umdefinieren der Pfeilbewertungen).
Q