Kapitel 8:

1
Kapitel 8  Graphalgorithmen 8.1   Grundlagen
8.2   Tiefen- und Breitensuche 8.3   Prim- und
Kruskal-Algorithmus 8.4   Kürzeste Wege in
Graphen 8.5   Eulersche und Hamiltonsche
Graphen8.6   Bipartite Graphen
2
8 Algoritmos sobre grafos8.1 Conceptos básicos

• Definiciones
• Grafo dirigido (Digraph) un par ordenado
• G (V,E) ,
• donde
• V un conjunto de nodos (finito en la
  mayoría),
• E un conjunto de arcos, subconjunto de V ?
  V.
• (los arcos tienen una dirección!)

3
Ejemplo
V 1, 2, 3, 4, 5 E (1,2), (2,1), (1,4),
(2,4), (4,5), (5,3), (3,5), (3,3)
4
Definición (2)

• w se llama sucesor de v yv predecesor de w,
  cuando hay un (v,w) de E.
• Loop arco(v,v).

5
Grafo (no dirigido)

• Los arcos no tienen dirección!
• Formalmente un par ordenado
• G (V,E) ,
• donde
• V conjunto de nodos (casi siempre finito),
• E conjunto de arcos, un multiconjunto de
  pares no ordenados de V.
• (se admiten multiples arcos entre nodos!)
• Un grafo se llama simple cuando no tiene
  multiples arcos ni loops.

6
Beispiel
V 1, 2, 3, 4, 5 E (1,2), (1,4), (2,4),
(4,5), (5,3)
7
Grafo con pesos

• Es un Grafo con arcos valorados tripleta
• G (V, E, d)
• mit
• (V,E) Grafo
• dE ? x ? R x ? 0 valoración de arcos

8
Ejemplo
0.5
V 1, 2, 3, 4, 5 E (1,2,2.5),
(1,4,0.18), (2,4,2.5), (4,5,0.5), (5,3,0.02)
0.18
2.5
0.02
1.66
9
Grado de los vértices

• Sea v un nodo en un grafo no dirigido.
• Grado del vértice g(v) número arcos que
  inciden en v
• número de arcos que tienen un extremo
  en v.
• Lema Sea G grafo no dirigido sin loops. Entonces
  ?v ? V g(v) es un número par.
• En un grafo dirigido
• Grado de arcos salientes/entrantes de un nodo v
  número de arcos que empiezan/terminan en v

10
Accesabilidad y cohesión en Grafos

• En grafos dirigidos y no dirigidos
• Ruta una sucesión (v0, v1, , vp) con (vi-1,vi)
  en E para i1,,p.
• Camino o ruta simple ruta en la que todos los
  nodos son distintos, excpeto eventualmente el
  primero y el último.
• Ciclo camino en que el primer y el último nodo
  son los mismos.

11
Definiciones (3)

• En un grafo no dirigido
• Los nodos v y w están conectados o w se puede
  alcanzar desde v si hay un un camino de v hasta
  w.
• Un Subgrafo de un grafo G(V,E) es un grafo
  G(V,E) tal que
• V subconjunto de V y E Subconjunto de E.
• El subgrafo compuesto por todos los nodos
  alcanzables desde w y todos los arcos entre estos
  nodos se llama componente conexa de w.
• Si este corresponde a todo el grafo (y por lo
  tanto es independiente de w) se dice que el grafo
  es conexo.
• Un grafo conexo sin ciclos es un árbol.

12
Definiciones (4)

• Analogamente en un grafo dirigido
• Dos nodos v y w se dices fuertemente relacionados
  cuando hay un camino de v a w y un camino de w a
  v gibt.
• Una compoenente fuertemente conexa es un subgrafo
  con el número máximo de arcos posibles. Es decir,
  de un nodo cualquiera salen (y llegan) arcos a
  todos los otros nodos.

13
Ejemplos de Grafos

• Red de tráfico con caminos y cruces.
• Redes de cañerías
• Flujos grafos dirigidos
• Redes de computadores (transmisión de datos)
• Largos o costos y capacidades de los arcos se
  representan por pesos, y/o valores en los arcos.

14
Problemas importantes en la tería de grafos

• Calcular la distancia mínima desde un nodo de
  salida hasta todos los otros nodos.
• Calcular un árbol cobertor (el subgrafo que tiene
  la menor menor suma de la cantidad/costo/largo de
  los arcos que une a todos los nodos).
• Encontrar un elemento en el grafo, determinar si
  hay ciclos.
• Cálculo de un camino que pasa justo una sola vez
  por todos los arcos/nodos.
• Coloracion de grafos.
• Centralidades en grafos ej. Cual es el nodo mas
  central.

15
Representación de grafos

• Matriz de adjacencia

Se asocian los nodos a los índices de las filas y
columnas de la matriz. Un arco del i-esimo al
j-esimo nodo se representa por una marca en el
elemento (i,j) de lamatriz. Para grafos no
dirigidos basta una mitad de la matriz.
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
16
Representación de grafos

• 2. Lista de Adjacencia
• Los sucesores de un nodo se ponen en una misma
  lista enlazada, una asiciada a cada nodo.
  (arreglo de listas, o lista de listas)

1
2
4
2
4
1
3
3
5
4
5
5
3
17
Representación de grafos
4
3

• 3. Matriz de Incidencia
• de un grafo no dirigido G(V,E) es una matriz
  V ? E, con i(j,k) 0, cuando el arco k no
  incide en el nodo j (no llega/sale), bzw.
  i(j,k)1,2, cuando el arco k incide una o dos
  veces (bei Loops) con el nodo j.

2
5
1
6
1 2 3 4 5
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1
5 1 1
6 2
18
Costo de las representaciones

• 1. Matriz de adjacencia
• Memoria O(V²)
• costo de saber si hay un arco (v,w) O(1).
• 2. Lista de adjacencia
• Memoria O(VE)
• costo de saber si hay un arco (v,w) O(E).
• 3. Matriz de incidencia
• Memoria O(V E)

19
8.2 Búsqueda (recorrido) en profundidad o en
amplitud

• La expansión de un grafo dirigido desde un nodo v
  se representa por un árbol X(v) donde
• X(v) (v), si v no tiene sucesores,
• X(v) (v, X(v1), , X(vp)), si v1,,vp son los
  sucesores de v.
• Cuando el grafo tiene ciclos la expansión es
  infinitamente.

20
Ejemplo de Expansion
21
Dos algoritmos de búsqueda

• En profundidad en un grafo dirigido G hacer un
  recorrido similar al de preorden (primero los
  hijos luego el padre) pero se detiene la
  recursividad cuando se alcanza un einem
  gerichteten Graphen G Preorder-Durchlauf der
  Expansion von G mit Abbruch jeweils bei einem
  schon besuchten Knoten des Graphen rekursiv
• Profundidad(v)
• si v no ha sido visitado
• procesar v
• marcar v como visitado
• para todo sucesor de N(v) de v (de izquierda a
  derecha) invocar (N(v)).
• costo O(V E).
• Estructura de datos Stack.

22
Búsqueda en amplitud

• Procesar en expansión
• primero la raíz,
• luego los nodos en nivel 1,
• luego nodos en nivel 2,
• usw.
• costo O(V E).
• Estructura d edatos Queue

23
Algoritmo Búsqueda en amplitud

• print(root)
• Mark(root)
• p new Queue()
• put all neighbors of root in q and mark them
• while(!empty(q))
• o dequeue(q)
• print(o)
• put all not marked neighbors of o in q and
  mark them

24
Ejemplo búsqueda en profundidad y en amplitud
25
8.3 Algoritmos de Prim- y Kruskal

• Recordemos un grafo conexo (no dirigido ) zin
  ciclos es un árbol.
• Características
• Tiene n nodos y exactamente n-1 arcos.
• Si se le pone un arco más entonces se crea un
  ciclo en el grafo.
• Objetivo Calcular el spanning tree de minimo
  costo para un grafo conexo no dirigido (un árbol
  que es subgrafo del original que contiene todos
  los nodos y la suma de los costos de sus arcos es
  mínima).

26
Algoritmo de Kruskal

• Descripción
• Descomponer el grafo y su conjunto de nodos en
  componentes unitarias en una particion P de una
  estructura tipño Find-and-Merge.
• Los arcos se ordenan segun sus costos de menor a
  mayor usando una cola de prioridad Q
• Si el arco de menor costo une dos componentes
  de la estructura se usa para la construcción del
  spanning tree minimal T. Las componentes que une
  se funden entonces en una sola.
• Si no se ignora.
• Cuando la estructura quede con una componente
  entonces esta corresponde al spanning tree T de
  G.

27
(No Transcript)
28
(No Transcript)
29

• Sea G(V,E,d) un grafo conexto con n nodos.
• Sea e E.
• Algorithmus Kruskal (G) //Computa el spanning
  tree minimal de G
• Inicializar la partición P de modo que cada nodo
  V es una componente O(n)
• Sea T (V, )
• Construir una cola de prioridad (Heap) Q con los
  arco   O(e log e)
• ncomp n
• while ncomp gt 1 do        
  máximo e iteraciones
• (Q, (v,w)) deletemin(Q) 
  O(log e)
• a find (P, v)            
  
  O(log n)
• b find (P, w)            
  
  O(log n)
• if a!b
• insert(T,(v,w)) P merge(P,a,b)
  dec(ncomp)                             O(1)
• end Kruskal.
• Partition in Find-and-Merge-Struktur con ella se
  construye el spanning tree.
• Costo total O(e log e)

30
Correctitud del algoritmo de Kruskal

• Por probar el árbol construido T es minimal.
• Prueba por contradicción.
• Suposición no es el caso.
• Sea H un árbol cobertor minimal, que tiene los
  arcos casi todos coincidentes con T.
• Sea ei el primer arco considerado por el
  algoritmo que solo pertenece a E(T) o solo
  pertenece a E(H), pero no está está en ambos.
  Segun el algoritmo el segundo caso (esta en E(H),
  pero no en E(T)) imposible. Por lo tanto, ei esta
  en E(T), pero no en E(H).
• Si uno pone ei en el árbol H entonces se tiene en
  H con ei un ciclo. En este ciclo hay un arco
  em, que no pertenece a T. Si lo sacamos entonces
  tenemos un nuevo árbol cobertor H que tiene a lo
  más el mismo peso que H. Según la definición de
  ei éste se considera antes que em por el
  algoritmo, o sea puede tener a lo más el mismo
  peso que em. Con esto es H también un árbol
  cobertor mínimo y tiene un un arco más en común
  con T

31
Algoritmo de Prim

• Sea G(V,E,d) un grafo conexo con pesos.
• Objetivo calcular el árbol cobertor mínimo T.
• Breve
• Construir el árbol T por pasos
• Partir con un vértico (nodo) cualquiera.
• incorporar siempre el arco con menor peso (costo)
  que tiene un extremo en el árbol construido y
  otro fuera de él hasta que todos los nodos hayan
  sido incorporados al árbol.

32
Beispiel
33
A -gt B -gt E -gt G-gtF, D, C
34
Algoritmo de Prim - detallado

• Construir
• Lista de n vértices, en la que se especifican sus
  respectivos arcos con sus pesos y su posición en
  el heap (de los arcos),
• Lista de arcos con sus vértices.
• Inicializar dos conjuntos de nodos M y NV
  \ M así como el árbol cobertor T (V, ).
• Escoger un vértice y0 de V, poner My0 y
  adaptar N.
• Definir s(y) d(y,y0), donde d(y) maxInteger,
  si es que no hay un arco entre y0 a y.
• Se construye un Heap (según la función s(y)) de
  todos los arcos que salen de N se guarda su
  posición en el Heap en la lista de vértices.
• WHILE N ltgt DO BEGIN
• Sea y1 el nodo con el s(y1) mínimo. Se inserta el
  arco de M a y1 en T, se saca y1 del Heap y se
  pone y1 en M.
• Redefinir s(y) min s(y), d(y1,y) para todo
  y de N.
• Ahora debe adecuarse el heap para todos los
  sucesores de y1. Esto puede ser realizado con la
  informacion de ka posición en el Heap con un
  costo de O(log n).
• END While

35
Costo del Algoritmo de Prim

• Construir la lista de vértices y el primer Heap
  O(E V log V) (O usando la idea de que un
  heap puede construirse en tiempo lineal O(E
  V) O(E) ).
• La actualización del heap requiere que se itere
  sobre la lista de los sucesores de un vértice
  costo O(E log V), es decir O(log V) por
  cada sucesor.
• La readecuación del Heap se tiene que hacer la
  cantidad de vértices que hayan V-veces, cada
  vez que se extrae el mínimo. costo O(V log
  V).
• Costo total O(E logV)
• (ya que E ? V-1)

36
Bases para el Algoritmo de Prim

• Observación Loa árboles de cobertura mínimos
  tienen siempre un arco con el peso mínimo.
• Demostración Si no fuera así se puede introducir
  este arco y se creará un ciclo. Como dos vértices
  pueden alcanzarse uno a otro por dos caminos
  distintos, basta borrar uno sin que deje de ser
  un árbol conexo. De esta manera se puede lograr
  otro árbol que tiene al menos el mismo peso que
  el original (sino menor).

37

• Esta característica es válida en forma más
  general aún. Sean U y W una partición del
  conjunto de vértices de G en dos subconjuntos
  disjuntivos y (u,w) un arco de costo mínimo que
  une estos dos conjuntos. Entonces existe un
  árboil de costo mínimo que contiene este arco.
• Demostración aquí también se podria incluir
  (u,w) y borrar otro arco (u',w') que une U con W
  .
• La correctitud del algoritmo se demuestra ya que
  la última observación se aplica en cada iteración
  del algoritmo para unir los conjuntos de los
  nodos que están en el árbol construido hasta
  ahora con los nodos del conjunto de vértices que
  aún no están

38
8.4 Distancias mínimas en Grafos

• Single source shortest path problem
• Dado
• Grafo dirigido con pesos (todos ?0),
• Un vértice (pubto de partida) v0 en el grafo.
• Buscar camino más corto de v0 a todos los otros
  nodos (suponiendo que hay camino a ellos).

39
Dijkstra-Algorithmus

• Algorithmus Dijkstra (v0,G) //verdes distancia
  final calculada, amarillos distancia previa
  calculada
• para todo u
• dist(u) maxint
• verde vacío amarillo v0 dist(v0)0
  While amarillo ! vacío do   escoger w de
  amarillo de modo que dist(w) minimal     
  colorear w verde      para cada u scc(w) do
          si u está en V\(verde o amarillo)
               colorear u amarillo
                 dist(u) dist(w) cost(w,u)
           si u de amarillo //tenia calculada una
  distancia preliminar              si dist (u)
  gt dist(w)cost(w,u)               entonces
  dist(u)dist(w)cost(w,u)
•     end

40
Ejemplo
C
D
10
40
40
30
A
B
30
10
100
90
F
E
20
Distancias más cortas desade A
100
90
10
40
40
10
20
30
41
Descripción

• Idea Hacer crecer el subárbol construido hasta
  ahora por los caminos más cortos.
• Nodos verdes
• nodos cuyos sucesores ya han sido considerados.
• nodos a los cuales ya se les ha calculado la
  distancia mínima .
• Nodos amarillos los sucesores de los nodos
  verdes que no son verdes
• Arcos rojos arcos sobre los cuales pasa al menos
  una ruta óptima de las calculadas hasta el
  momento.
• Arcos amarillo arcos que han sido reconocidos
  como no optimales.

42
Ciclo

• Un ciclo del algoritmo
• De todos los nodos amarillos, colorear verde el w
  el que tiene menor distancia a v0.
• Colorear amarillo todos los sucesores de w.
• Registrar o corregir los los caminos más cortos
  desde v0 a cada uno de los sucesores de w, asi
  como su longitud (con esto arcos no coloreados
  pueden tornarse rojos y arcos rojos pueden
  tornarse amarillos).

43
Ejemplo (2)
C
D
C
D
40
10
30
30
A
B
A
B
100
100
90
90
F
E
F
E
44
Ejemplo(3)
40
40
C
D
C
D
10
40
40
10
40
40
30
30
A
B
A
B
10
10
100
100
90
90
F
E
F
E
50
20
45
Ejemplo (4)
40
40
C
D
C
D
70
70
40
40
40
40
10
10
30
30
30
30
30
A
B
A
B
10
10
100
100
90
90
F
F
E
E
50
50
20
20
70
70
46
Computing on the paper
G
47
Computing on the paper
A
5
B
7
5
5
6
4
D
2
3
2
E
3
1
F
C
G
2
3
Primero se ponen las distancias desde A en la
primera fila correspondientes a los arcos que
salen de A. De estos se escoge el menor (5) y se
anota en la primera columna de la segunda fila.
Ademas se anota el nodo (B) y las distancias de A
a los vecinos pasando por B (10 a C, 10 a D y 9
a E). De aquí notamos que hay un camino menor de
A a D sin pasar por B (directo 6). El siguiente
más cercano a A es D (6) por lo que se anota en
la tercera fila y se hace el mismo proceso.
48
8.4.2 Implementación del Algoritmo a)
Implementación con una matriz de adjacencia

• Sea V1,...,n y sea cost(i,j) la matriz de
  distancias donde se registra un infinito donde no
  hay camino directo entre dos nodos. Además
  usaremos
• double dist new doublen node father
  new nodenboolean green new booleann
• El arreglo father representa el árbol de los
  arcos rojos, en el cual cada nodo apunta a su
  nodo padre.
• Los nodos amarillo no se representan
  explícitamente.

49
Ciclo

• Cada iteración consta de los siguientes pasos
• El arreglo dist se recorre completo, para
  encontrar el w amarillo con la menor distancia.
• costo O(n).
• Las lineas cost(w,) de la matriz son recorridas
  para corregir (en caso necesario) las distancias
  de los sucesores de w.
• costo O(n).
• Costo total O(n²), ya que hay n iteraciones.
• Inefficiente, salvo cuando n es muy chico o e
  cercano a n² !

50
b) Implemntaciòn con listas de adyacencia y Heap

• Grafo dado con listas de adjacencia.
• Como antes
• Array dist
• Array father
• Además
• Heap (implementado cmo arreglo) de todos los
  nodos amarillos, ordenados según distancia al
  nodo de origen,
• Array heapaddress, que contiene para cada nodo
  amarillo su posición en el Heap.

51
Iteración

• Cada iteracion consta de los siguientes pasos
• 1. Sacar el nodo amarillo w con la distancia
  mínima del Heap
• Aufwand O(log n).
• 2. Encontrar en la lista de adyacencia m(w)
  sucesor de w.
• Aufwand O(m(w)).
• (i) para cada nodo sucesor amarillo ,,nuevo"
  ponero en el heap
• (ii) para cada nodo sucesor ,,antiguo"
  corregir en caso necesario su distancia y su
  posiciòn en el heap. Su posiciòn se puede
  encontrar en el heapaddress. Dado que su
  distancia al nodo de origen disminuye (o no se
  correige) puede ser necesario elevarlo a la parte
  superior. Las posiciones en el heap de este nodo
  pueden modificarse en O(1).
• Costo para (i) y (ii) en total O(m(w) log
  n).
• Costo total para 2 O( log n ? Knoten w m(w))
  O( e log n).
• Costo total para 1 O(minn,e log n), ya que un
  elemento se puede sacar del heap solo si antes se
  haia puesto.
• Costo total O(e log n)
• (costo total de memoria O(ne))

52
Prueba de correctitud

• Aseveración en todo momento se cumple para todo
  nodo verde
• Existe un camino mínimo de v0 hasta u, que solo
  contiene nodos verdes.
• Su longitud es dist(u).
• Prueba por Induccion. Se debe mostrar esta
  aseveración para los nodos que pasan de amarillo
  a verde.
• De esta aseveración se desprende la correctitud
  del algoritmo.