Digitalna tehnika

1
Digitalna tehnika

• Brojni sistemi

Prof. Biljana Vidakovic
2
Brojni sistemi

• Brojni sistemi su sistemi simbola za oznacavanje
  skupova.
• Za osnovu brojnog sistema može se uzeti bilo
  koji broj veci od 1.
• Pored decimalnog brojnog sistema sa osnovom
  10 (prirodni brojni sistem za covjeka) najpoznati
  brojni sistemi su
• binarni (b2) 0, 1
• oktalni (b8) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• heksadecimalni. (b16) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
  8, 9, A, B, C, D, E, F
• U digitalnoj tehnici najpogodniji za primjenu je
  binarni brojni sistem sa osnovom 2 koji
  predstavlja prirodni jezik racunara.
• Prednost binarnog brojnog sistema je
  jednostavnost tehnicke realizacije i pouzdanost.
• Nedostatak binarnog brojnog sistema je znatno
  više cifarskih mjesta u odnosu na decimalni
  brojni sistem.

3
Decimalni i binarni brojni sistemi

• Decimalni brojni sistem ima deset razlicitih
  cifara 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 i osnovu 10.
• Svaka cifra ima zadatu težinu. Spada u pozicione
  brojne sisteme.
• Opšti oblik broja u decimalnom brojnom sistemu
• A an 10n an-1 10n-1 an-2 10n-2
  ... a1 101 a0 100 a-110-1 a-210-2
  ... a-m10-m
• a koeficijenti sa vrijednostima od 0-9
• Opšti oblik za broj sa n cijelih i m razlomljenih
  mjesta
• A an bn an-1 bn-1 an-2 bn-2 ... a1
  b1 a0 b0 a-1b-1 a-2b-2 ...
  a-mb-m
• b osnova (baza)
• n1 broj cjelobrojnih cifara
• m broj decimala

4
Decimalni i binarni brojni sistemi

• Binarni brojni sistem ima osnovu 2 i dvije cifre
  0 i 1.
• Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u
  težinske brojne sisteme.
• Opšti oblik broja u binarnom brojnom sistemu
• A an 2n an-1 2n-1 an-2 2n-2
  ... a1 21 a0 20 a-12-1
• a-22-2 ... a-m2-m
• a koeficijenti sa vrijednostima od 0 i 1
• Svaki clan u nizu ima težinu dvostruko vecu od
  prethodnog clana.

5
Decimalni i binarni brojni sistemi-primjeri

• 198410 1103 9102 8101 4100
• 11000 9100 810 41
• 1000 900 80 4 1984
• 100112 124 023 022 121 120
• 116 08 04 12 11 16 2 1 19
• 12,310 1101 2100 310-1
• 110 21 30,1
• 1020,3 12,3

6
Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi

• Oktalni brojni sistem ima osnovu 8 i cifre
  0,1,2,3,4,5,6 i 7.
• Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u
  težinske brojne sisteme.
• Opšti oblik broja u oktalnom brojnom sistemu
• A an 8n an-1 8n-1 an-2 8n-2
  ... a1 81 a0 80 a-18-1
• a-28-2 ... a-m8-m
• a koeficijenti sa vrijednostima od 0 do 7.
• Oktalni brojevi manji od nule se vrlo rijetko
  upotrebljavaju.

7
Oktalni i heksadecimalni brojni sistemi

• Heksadecimalni brojni sistem ima osnovu 16 i
  cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 a za vece brojeve
  koriste se slova A 10
• 
  B 11
• C 12
• D 13
• E 14
• F 15
• Svaka cifra ima zadatu težinu tj. spada u
  težinske brojne sisteme.
• Opšti oblik broja u oktalnom brojnom sistemu
• A an 16n an-1 16n-1 an-2 16n-2
  ... a1 161 a0 160 a-116-1
• a-216-2 ... a-m16-m
• a koeficijenti sa vrijednostima od 0 do 9 i od
  A do F.
• Heksadecimalni brojevi manji od nule se vrlo
  rijetko upotrebljavaju.

8
Primjer
9
Konverzije brojnih sistema

• Opšta formula
• cjelobrojni dio
• cjelobrojni dio (a) u novu bazu b
• a b r1 i ostatak o1
• r1 b r2 i ostatak o2
• r2 b r3 i ostatak o3
• ...
• rn b 0 i ostatak on
• ----------------------------------
• rezultat on ... o3 o2 o1

10
Konverzije brojnih sistema

• Opšta formula
• razlomljeni dio
• razlomljeni dio (a) u novu bazu b
• a b c1,r1 tj. cjelobrojni dio c1 i
  razlomljeni dio r1
• r1 b c2,r2 tj. cjelobrojni dio c2 i
  razlomljeni dio r2
• r2 b c3,r3 tj. cjelobrojni dio c3 i
  razlomljeni dio r3
• ...
• rn b cn,0 tj. cjelobrojni dio cn i
  razlomljeni dio 0
• ------------------------------------------
• Rezultat c1 c2 ... cn
• Problem ako razlomljeni dio ne bude 0

11
Konverzija decimalnog broja u binarni i obrnuto

• Broj 37,62510 konvertovati u binarni brojni
  sistem.
• 37 2 18 i ostatak 1
• 18 2 9 i ostatak 0
• 9 2 4 i ostatak 1
• 4 2 2 i ostatak 0
• 2 2 1 i ostatak 0
• 1 2 0 i ostatak 1
• ----------------------------------
• rezultat 100101
• Razlomljeni dio 0,0625
• 0,625 2 1,25 tj. cjelobrojni dio 1 i
  razlomljeni dio 0,25
• 0,25 2 0,5 tj. cjelobrojni dio 0 i
  razlomljeni dio 0,5
• 0,5 2 1,0 tj. cjelobrojni dio 1 i razlomljeni
  dio 0
• -----------------------
• rezultat 101
• Konacan rezultat 100101,1012 dobije se
  spajanjem cjelobrojnog i razlomljenog dijela

12
Konverzija decimalnog broja u binarni i obrnuto

• (1101011,01)2 1 26 1 25 0 24 1 23
  0 22 1 21 1 20, 0
  2-1 1 2-2 64 32 0
  8 0 2 1,0 ¼ (107,25)10
• -----------------------
• rezultat 107,2510

13
Konverzija binarnih brojeva u oktalne i obrnuto

• Pošto je 8 23 znaci da za jedan jednocifreni
  oktalni broj treba tri bita.
• Binarni broj se dijeli u grupe po tri bita
  pocevši od pozicionog zareza.
• Primjer
• 1101011011112 110 101 101 111 65578
• 6 5 5
  7
• 
  -----------------------
• Oktalni broj se takode jednostavno pretvara u
  binarni
• Primjer
• 701528 111 000 001 101 010
  1110000011010102
• 7 0 1 5 2
• -----------------------

14
Konverzija oktalnih brojeva u decimalne i obrnuto

• Broj 64310 konvertovati u oktalni brojni sistem.
• 
  1 2 0
  3
• 643
• -512 1 83
• 131
• -128 2 82
• 3
• - 0 0 81
• 3
• - 3 3 80
• 0
• rezultat 12038

15
Konverzija oktalnih brojeva u decimalne i obrnuto

• Primjer
• (1267)8 7 80 7
• 6 81 48
• 2 82 128
• 1 83 512
• -------------
• 69510
• rezultat 69510

16
Konverzija binarnih brojeva u heksadecimalne i
obrnuto

• Pošto je 16 24 znaci da za jedan jednocifreni
  heksadecimalni broj trebaju cetiri bita.
• Binarni broj se dijeli u grupe po cetiri bita
  pocevši od pozicionog zareza.
• Primjer
• 10011010000111112 1001 1010 0001 1111
  9 A 1 F
• 9A1F16
• Heksadecimalni broj se takode jednostavno
  pretvara u binarni
• Primjer
• E6A216 E 6 A 2
  11100110101000102
• 1110 0110 1010 0010

17
Konverzija heksadecimalnih brojeva u decimalne i
obrnuto

• Primjer Broj 701,62510 konvertovati u
  heksadecimalni brojni sistem.
• 701 16 43 i ostatak 13 ? D
• 43 16 2 i ostatak 11 ?
  B
• 2 16 0 i ostatak 2
• -------------------------------
  ---
• rezultat 2ED

• Primjer Broj 1E9B16 konvertovati u decimalni
  brojni sistem.
• 1 E 9 B 16
• 
  
• 
  nulta cifra B iz tabele 11
• 783510

prva cifra 9 iz tabele 144
druga cifra E iz tabele 3584
treca cifra 1 iz tabele 4096
18
heksadecimalni ?? oktalni

• Preko binarnog brojnog sistema.
• Primjer
• A316 101000112
• 0101000112 2438

19
Racunske operacije binarni brojni sistem

• Sabiranje
• Oduzimanje

20
Racunske operacije binarni brojni sistem

• Množenje
• Deljenje
• nulom nije dozvoljeno
• jedinicom - trivijalno

21
Racunske operacije binarni brojni sistem
110 -101 --- 001

• 11
• 11
• ---
• 110

110 x 11 -------- 110
110 ----------- 10010
1001 11 11 ---- 100 -011
----- 0011 -0011 ------ 0000
22
Racunske operacije oktalni brojni sistem
54,3 -45,4 ---- 6,7

• 447
• 652
• ----
• 1321

123 x 21 -------- 123
246 ----------- 2603
2603 21 123 ---- 26 -21 ----
50 -42 ---- 63 -63 -----
0
23
Racunske operacije heksadecimalni brojni sistem
2C -25 ---- 7

• 127
• 1AA
• ----
• 2D1

53 x 11 -------- 53 53 -----------
583
583 11 53 ---- 58 -55 ----
33 -33 ---- 0
1A0 x 13 -------- 4E0
1A0 ----------- 1EE0
24
Predstavljanje cjelobrojnih brojevau racunaru

• Svaka memorijska celija u racunaru ima 8 bitova
  jedan bajt.
• u jedan bajt se može smjestiti broj u rasponu od
  0 255
• Ako je cjelobrojna vrijednost veca od 255, uzme
  se više bajtova
• dva bajta 16 bita 0 65535
• cetiri bajta 32 bita 0 4.294.967.295

25
Predstavljanje negativnih brojeva

• Preko znaka i apsolutne vrijednosti
• komplikovan algoritam za sabiranje i oduzimanje
• Preko komplementa
• jednostavan algoritam za sabiranje i oduzimanje

26
Predstavljanje negativnih brojeva komplementom

• Potpuni komplement (u binarnom brojnom sistemu se
  još zove i komplement dvojke).
• Nepotpuni komplement (u binarnom brojnom sistemu
  se još zove i komplement jedinice).
• U oba sistema se poslednja cifra koristi za znak
  broja (pozitivan ili negativan).

27
Potpuni komplement

• broj x
• n cifara
• baza b
• Potpuni omplement (x) bn1 x

28
Potpuni komplement

• Primjer
• x 00102210
• n 3
• b 2
• Potpuni komplement (2) 231 2
• 100002 00102 11102

znak!
znak!
29
Potpuni komplement

• Primjer
• x 11102-210
• n 3
• b 2
• Potpuni komplement (-2) 231 (-2)
• 100002 11102 00102

znak!
znak!
30
Sabiranje sa potpunim komplementom

• Pravilo
• A B A Potpuni komplement(B)
• Rezultat Prenos
• Ako je Prenos 1 onda je Rezultat korektan.
• Ako je Prenos 0 onda je rezultat negativan
  (stvarni rezultat je potpuni komplement od
  rezultata sa negativnim predznakom).

31
Primjer

• 01012 00102 01012 11102 100112
• 00012 00102 00012 11102 011112
• Stvarni rezultat - Potpuni komplement(11112)
• 100002 11112 - 000012

prenos
prenos
32
Prekoracenje (overflow)

• Javlja se kada se prilikom sabiranja dva broja
  dobije rezultat koji ne može da stane u zadati
  broj bitova
• Pravilo
• ako se prilikom sabiranja dva pozitivna ili dva
  negativna broja dobije broj suprotnog znaka,
  dogodilo se prekoracenje.
• Primjer
• 01012 01002 10012 (5 4 9)
• 10012 10102 100112 ((-7)(-6) -13)

33
Nepotpuni komplement

• broj x
• n cifara
• baza b
• Nepotpuni komplement (x) (bn1 -1) x

34
Nepotpuni komplement

• Primjer
• x 00102210
• n 3
• b 2
• Nepotpuni komplement (2) (231 -1) 2
• (100002 00012) 00102 11012

znak!
znak!
35
Nepotpuni komplement

• Primjer
• x 11012-210
• n 3
• b 2
• Nepotpuni komplement (-2) (231 -1) (-2)
• (100002 - 00012) 11012 00102

znak!
znak!
36
Sabiranje sa nepotpunim komplementom

• Pravilo
• A B A Nepotpuni komplement(B)
• Rezultat Prenos
• Ako je Prenos 1 onda je
• konacan rezultat rezultat bez prenosa 1.
• Ako je Prenos 0 onda je rezultat negativan
  (stvarni rezultat je nepotpuni komplement od
  rezultata sa negativnim predznakom).

37
Primjer

• 01012 00102 01012 11012 1 00102
• Pravi rezultat 00102 1 00112
• 00012 00102 00012 11012 011102
• Stvarni rezultat - Nepotpuni komplement(11102)
  
• 100002 00012 - 11102 - 000012

prenos
prenos
38
Sracunavanje komplementa bez oduzimanja!

• Potpuni komplement invertovati sve bitove i
  dodati 1.
• Primer 00102 gt 11012 1 11102
• Nepotpuni komplement invertovati sve bitove.
• Primer 00102 gt 11012

39
Predstavljanje cjelobrojnih brojevau racunaru

• Svaka memorijska celija u racunaru ima 8 bitova
  jedan bajt.
• u jedan bajt se može smestiti broj u rasponu od
• 0 255, neoznacen
• -128 127, oznacen, u potpunom/nepotpunom
  komplementu
• Ako je cjelobrojna vrednost veca od 128/255, uzme
  se više bajtova
• dva bajta 16 bita
• 0 65535, neoznacen
• -32768 32767, oznacen, u potpunom/nepotpunom
  komplementu
• cetiri bajta 32 bita
• 0 4.294.967.295, neoznacen
• -2.147.483.648 2.147.483.647, oznacen, u
  potpunom/nepotpunom komplementu

40
Predstavljanje razlomljenih brojeva u racunaru

• U nepokretnom zarezu
• fiksna pozicija decimalnog zareza.
• U pokretnom zarezu (floating point)
• brojevi se predstavljaju u obliku m be
• m mantisa
• b baza
• e eksponent
• U memoriji racunara se pamte mantisa i eksponent
  kao cjelobrojne oznacene vrednosti, najcešce sa
  bazom 2.

41
Pokretni zarez

• Sabiranje odn. oduzimanje - prije sabiranja
  (oduzimanja) brojevi se svedu na isti eksponent
• m1 be m2 be (m1 m2) be
• Množenje, odn. deljenje
• (m1 be1) (m2 be2) (m1 m2) b(e1e2)
• Svodenje eksponenata na istu vrijednost se svodi
  na smanjenje/povecanje eksponenta, uz istovremeno
  dijeljenje/množenje mantise bazom
• u racunaru se dijeljenje/množenje matise bazom 2
  svodi na pomijeranje desno/lijevo bitova.

42
Pokretni zarez

• Normalizovana mantisa kada je
• b-1 m 1
• U praksi se normalizacija mantise svodi na zapis
  1,xxxx, gde se 1 podrazumijeva
• Tada je preciznost najveca.
• Pokretni zarez u racunarnima, u nekim situacijama
  nije dovoljno precizan!
• razlog je taj što je baza 2, pa konverzija
  decimalnih brojeva u oblik m 2e ne daje okrugao
  broj.
• greška je veoma mala, ali se uzastopnim
  operacijama može akumulirati.

43
Kodiranje alfanumerickih informacija

• Alfanumericki simboli
• numericki simboli (0, 1, ..., 9)
• slovni simboli (A, B, ..., Z)
• inteprunkcijski znakovi (, . ...)
• specijalni simboli (, , , ...)
• Standardi
• ASCII (American Standard Code for Information
  Interchange)
• ISO 8859-1
• Windows CP 1250
• Unicode

44
Kodovi za detekciju i korekciju grešaka

• Koncentrisacemo se na binarni brojni sistem. Sve
  informacije ce biti kodirane binarno!
• Uzrok pojave grešaka.
• Kodovi za detekciju grešaka
• u stanju su da detektuju grešku, ali ne i da je
  koriguju
• Kodovi za korekciju grešaka
• detekcija i korekcija grešaka

45
Kodovi za detekciju grešaka

• Najjednostavnije je da se doda još jedan bit tako
  da ukupan broj jedinica u poruci bude paran ili
  neparan.
• Primer
• originalna poruka 001101
• sa dodatnim bitom (uk. br. jedinica paran)
• 0011011
• sa greškom 0001011
• vidimo da je došlo do greške pošto je ukupan broj
  jedinica neparan!
• Greške od više od jednog bita mogu da produ
  nedetektovane!
• 1111011

46
Karakter za provjeru bloka

• b1 b2 b3 b4 p1
• b5 b6 b7 b8 p2
• p3 p4 p5 p6 p7
• U slucaju greške od jednog bita bilo gdje, moguce
  je detektovati i korigovati grešku
• b1 b2 b3 b4 p1
• b5 b6 b7 b8 p2
• p3 p4 p5 p6 p7

47
CRC kod

• Cyclic Redundancy Character
• Poruka se kao niz bitova dijeli sa nekim
  unaprijed dogovorenim brojem, rezultat se
  odbacuje a ostatak pri dijeljenju se doda uz
  poruku.
• Na prijemnoj strani se primljena poruka dijeli
  istim brojem i ostatak se poredi sa primljenim
  ostatkom.