INTRODUCCIN A LA METROLOGA

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INTRODUCCIÓN A LA METROLOGÍA Curso Académico
2009-10
Rafael Muñoz Bueno Laboratorio de Metrología y
Metrotecnia LMM-ETSII-UPM
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TEMA 4. Cuantificación y propagación de la
incertidumbre
Índice

• Concepto de incertidumbre típica combinada.
• Ley de propagación de la incertidumbre (sin
  correlación).
• Incertidumbre expandida
• Supuesto práctico de la evaluación de
  incertidumbres.

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Concepto de incertidumbre típica combinada
La incertidumbre típica de y (siendo y la
estimación del mensurando Y) es decir, el
resultado de medida, se obtiene componiendo
apropiadamente las incertidumbres típicas de las
estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta
incertidumbre típica combinada de la estimación y
se nota como uc(y).
Incertidumbre típica
Incertidumbre típica combinada
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Ley de propagación de incertidumbres (i)
Desarrollo en serie de Taylor de primer orden
torno al valor esperado, y gracias a las
propiedades de la varianza y el valor esperado
(esperanza matemática) llegamos a
LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE
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Ley de propagación de incertidumbres (ii)
Consideraciones (i)
Magnitudes de entrada no correlacionadas
Magnitudes de entrada correlacionadas
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Ley de propagación de incertidumbres (iii)
Consideraciones (ii)

• Magnitudes de entrada no correlacionadas
• Ej. Determinación de una longitud a una
  temperatura t habiendo realizado la medida a
  temperatura t0 L L0 1a (t-t0)
• El coeficiente de dilatación es una magnitud
  conocida
• La longitud L0 se mide con una cinta métrica
• La temperatura se mide con un sensor de
  temperatura

• Magnitudes de entrada correlacionadas
• Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo
  sólido ? m/V
• La masa ha sido medida por comparación usando
  otras masas patrón
• El volumen ha sido determinado por pesada
  hidrostática usando las mismas masas patrón

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Ley de propagación de incertidumbres (iv)
Consideraciones (iii)
Trataremos sólo el caso de magnitudes de entrada
no correlacionadas
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Ley de propagación de incertidumbres (v)
Donde f Función de transferencia o
función modelo Y f (X1,X2,, XN ) u(xi )
Incertidumbre típica evaluada (tipo A o tipo
B) uc(y) Incertidumbre típica combinada
La incertidumbre típica combinada es una
desviación típica estimada y caracteriza la
dispersión de los valores que podrían ser
razonablemente atribuidos al mensurando Y.
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Ley de propagación de incertidumbres (vi)
Estas derivadas, denominadas coeficientes de
sensibilidad (ci ), describen cómo varía la
estimación de salida y, en función de las
variaciones en los valores de las estimaciones de
entrada x1 , x2 , ..., xN
En general, la variación de y producida por una
pequeña variación ?xi en la estimación de entrada
xi viene dada por Si esta variación es debida
a la incertidumbre típica de la estimación xi, la
variación correspondiente de y es
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Ley de propagación de incertidumbres (vii)
Por tanto, la varianza combinada uc2(y) puede
considerarse entonces como una suma de términos,
cada uno de ellos representando la varianza
estimada asociada a y, debido a la varianza
estimada asociada a cada estimación de entrada xi.
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Concepto de incertidumbre típica combinada (viii)
Coeficiente de sensibilidad
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Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)
Ejemplo (Supuesta no correlación)
Cálculo de la incertidumbre típica combinada en
la medida indirecta del área de una placa
rectangular
A
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Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)
Aunque la incertidumbre típica combinada, uc(y)
puede ser utilizada universalmente para expresar
la incertidumbre de un resultado de medida, es
necesario dar una medida de la incertidumbre que
defina, alrededor del resultado de medida, un
intervalo en el interior del cual pueda esperarse
encontrar gran parte de la distribución de
valores que podrían ser razonablemente atribuidos
al mensurando. La nueva medida de la
incertidumbre, que satisface la exigencia de
aportar tal intervalo se denomina incertidumbre
expandida, y se representa por U. La
incertidumbre expandida U se obtiene
multiplicando la incertidumbre típica combinada
uc(y) por un factor de cobertura k.
U k uc(y)
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Determinación de la incertidumbre expandida, U
(ii)
Resultado de la medida Y y U

• Lo que significa que
• La mejor estimación del valor atribuible al
  mensurando Y es y
• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U
  a yU esté comprendida una fracción importante de
  la distribución de valores que podrían ser
  razonablemente atribuidos a Y.
• Un intervalo tal se expresa por y - U Y y
  U
• Siempre que sea posible, debe estimarse e
  indicarse el nivel de confianza p asociado al
  intervalo definido por U.

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Determinación de la incertidumbre expandida, U
(iii)
Elección de un factor de cobertura

• El valor del factor de cobertura k se elige en
  función del nivel de confianza requerido para el
  intervalo y-U a yU.
• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No
  obstante, en aplicaciones especiales, k puede
  tomarse fuera de dicho campo de valores.
• Idealmente, debería poderse escoger un valor
  específico del factor de cobertura k que
  proporcionase un intervalo Y y U y k
  uc(y) correspondiente a un nivel de confianza
  particular p, por ejemplo, un 95 o un 99 por
  ciento.
• En la práctica, puede suponerse que la elección
  de un factor k 2 proporciona un intervalo con
  un nivel de confianza en torno al 95, y que la
  elección de k 3 proporciona un intervalo con un
  nivel de confianza en torno al 99.

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Determinación de la incertidumbre expandida, U
(iv)
La guía GUM
La Guía para la Expresión de la Incertidumbre de
Medida o GUM (Guide to the Expression of
Uncertainty in Measurement), establece las reglas
generales para la evaluación y expresión de la
incertidumbre de medida, previstas para ser
aplicadas en una gran variedad de mediciones. La
guía GUM, se basa en la Recomendación 1 (CI-1981)
del Comité Internacional de Pesas y Medidas
(CIPM) y en la Recomendación INC-1 (1980) del
grupo de trabajo sobre la expresión de las
incertidumbres. Este grupo de trabajo se
constituyó previamente por el Bureau
Internacional de Pesas y Medidas (BIPM) en
respuesta a una demanda del CIPM. La
Recomendación del CIPM es la única recomendación
referida a la expresión de la incertidumbre de
medida, avalada por una organización
intergubernamental.
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Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM basado en la filosofía GUM (i)

• Identificar todas las componentes importantes de
  la incertidumbre de medida
• Existen muchas fuentes que pueden contribuir a
  la incertidumbre de medida. Aplicar un modelo del
  proceso de medida real para identificar las
  fuentes. La función f debe incluir todas las
  magnitudes, incluyendo correcciones y factores de
  corrección que pueden contribuir
  significativamente a la incertidumbre del
  resultado de medición.
• Determinar xi , valor estimado de la magnitud de
  entrada Xi , bien a partir del análisis
  estadístico de una serie de observaciones, bien
  por otros métodos

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Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM basado en la filosofía GUM (i)

• Evaluar la incertidumbre típica u(xi ) de cada
  estimación xi
• Para una estimación de entrada obtenida por
  análisis estadístico de series de observaciones,
  la incertidumbre típica se obtiene a partir de
  una evaluación de Tipo A
• Para una estimación de entrada obtenida por
  otros medios, la incertidumbre típica u(xi ) se
  obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.

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Determinación de la incertidumbre expandida, U (v)
El método GUM basado en la filosofía GUM (i)

• Calcular el resultado de medición esto es, la
  estimación y del mensurando Y, a partir de la
  relación funcional f utilizando para las
  magnitudes de entrada Xi las estimaciones xi
  obtenidas en el paso 2.
• Determinar la incertidumbre típica combinada
  uc(y) del resultado de medida y, a partir de las
  incertidumbres típicas asociadas a las
  estimaciones de entrada.
• Para una suma o diferencia de componentes, la
  incertidumbre combinada se calcula como la raíz
  cuadrada de la suma de los cuadrados de las
  incertidumbres típicas de las componentes.
• Para un producto o cociente de
  componentes se aplica, a las incertidumbres
  típicas relativas de las componentes, la misma
  regla que para la suma/diferencia.

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Determinación de la incertidumbre expandida, U
(vi)
El método GUM basado en la filosofía GUM (ii)

• Calcular la incertidumbre expandida
• Multiplicar la incertidumbre combinada por el
  factor de cobertura k.
• Expresar el resultado de medida en la forma

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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Definición del problema de medición

La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se
determina por comparación con otro bloque patrón
conocido, de la misma longitud nominal y del
mismo material. En la comparación de los dos
bloques se obtiene directamente la diferencia d
entre sus longitudes.
d l - lp
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• El modelo matemático

Corrección por dilatación térmica
Corrección por resolución del comparador
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Estimación del valor del mensurando, l

l Valor del mesurando a determinar. lp
Longitud del patrón a 20 C, tal como figura en
su certificado de calibración. d Diferencia
entre los bloques, estimada como la media
aritmética de 10 medidas independientes.
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Contribución de varianzas (i)

Ley de propagación de la incertidumbre
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Contribución de varianzas (ii)

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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre debida a la calibración del patrón,
  u(lp)

El certificado de calibración da como
incertidumbre expandida del patrón U 0,040 µm,
precisando que ha sido obtenida utilizando un
factor de cobertura k 2. La incertidumbre
típica es entonces
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la
desviación típica
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)

Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre
el bloque patrón y el bloque a calibrar, con una
desviación típica de 13 nm. Se considera una
distribución normal, por lo que la incertidumbre
típica se obtiene de una evaluación de tipo A.
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la
desviación típica
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre debida dilatación térmica del
  bloque patrón, u(C?tp )

Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo
que
(Coef. De dilatación térmica) 11,5 x 10-6 C-1
(Desviación de la temperatura del bloque a la
temperatura de referencia de 20 ºC durante la
medición tp - 20). La temperatura media del
bloque durante la medición fue de 19,9 ºC0,02
ºC, considerándose una distribución rectangular.
Por tanto ? -0,1 ºC
Decisión del evaluador
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre debida dilatación térmica del
  bloque, u(C?t )

Se acepta una modelo de dilatación lineal, con lo
que
(Coef. De dilatación térmica) 11,5 x 10-6 C-1
(Desviación de la temperatura del bloque a la
temperatura de referencia de 20 ºC durante la
medición tp - 20). La temperatura media del
bloque durante la medición fue de 19,9 ºC0,02
ºC, considerándose una distribución rectangular.
Por tanto ?-0,1 ºC
Decisión del evaluador
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre debida a la resolución de la
  máquina u(res)

Se sabe que la resolución del equipo de medida es
E 0,01 µm. Por lo tanto, considerando
distribución rectangular
Y la varianza será por tanto el cuadrado de la
desviación típica
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre típica combinada uc(l)

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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Incertidumbre expandida, U

La incertidumbre expandida U se obtiene
multiplicando la incertidumbre típica combinada
uc(l) por un factor de cobertura k. Para el
ejemplo, consideraremos un factor de cobertura
k2,equivalente a un nivel de confianza del 95.
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Ejemplo Calibración de bloques patrón
longitudinales, BPL

• Resultado final

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