Doswiadczenia%20tr

1
Doswiadczenia trójczynnikowe z krzyzowa i
zagniezdzona struktura poziomów czynnikówCzesc
I Planowanie, modelowanie doswiadczen
i analiza wyników

• Katarzyna Ambrozy-Deregowska, Iwona Mejza
• Katedra Metod Matematycznych i Statystycznych
• Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu
•  

2
Uklady mieszane kombinacja pewnych ukladów
zlozonych typu split-plot i typu
split-block (np. LeClerg (1962), Elandt (1964),
Gomez i Gomez (1984), Tretowski i
Wójcik (1988), Rudnicki i inni (1992), Federer i
King (2007))
3

• Czynniki A i B wystepuja
• w ukladzie split-block (strip-plot, pasów
  prostopadlych),
• w ukladzie split-plot (o jednostkach pojedynczo
  
• rozszczepionych).

4
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do kombinacji obiektowych dwóch
pierwszych czynników, które sa w ukladzie
split-block.
5
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do kombinacji obiektowych dwóch
pierwszych czynników, które sa w ukladzie
split-block.
Uklad split-block-plot (w skrócie uklad SBP)
6
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do obiektów np. czynnika B (tzn. sa w
ukladzie split-plot wzgledem tego
czynnika)
7
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do obiektów np. czynnika B (tzn. sa w
ukladzie split-plot wzgledem tego czynnika)
Uklad split-plot ? split-block (w skrócie uklad
SPSB)
8
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do kombinacji dwóch poprzednich
czynników, które sa w ukladzie split-plot.
9
Obiekty trzeciego czynnika sa zagniezdzone w
stosunku do kombinacji dwóch poprzednich
czynników, które sa w ukladzie split-plot.
Uklad split-split-plot (w skrócie uklad SSP)
10
Cel prezentacji

• Przedstawienie metodyki obejmujacej
  planowanie, modelowanie i analize wyników z
  doswiadczen z trzema czynnikami zakladanych w
  ukladach SBP, SPSB lub SSP.

Uklady kompletne
Uklady niekompletne
11

• W literaturze swiatowej uklad split-block-plot
  (SBP) wystepuje równiez pod nazwa uklad
  strip-split-plot (Gomez i Gomez (1984)).
• Przyklad zamieszczony w podrozdziale 4.4
  monografii tych autorów opisuje doswiadczenie
  polowe, w którym obserwowano plon ziarna szesciu
  odmian ryzu (czynnik A) przy trzech dawkach azotu
  (czynnik B) i dwóch metodach sadzenia (czynnik
  C).

12

• W polskiej literaturze uklad kompletny SBP zostal
  dokladnie opisany pod nazwa uklad
  split-block-split-plot
• W pracy Tretowskiego i Wójcika (1988) w wersji
  dla trzech i czterech czynników.
• Zamieszczony w monografii przyklad (str. 391)
  dotyczy badania plonu ogólnego kapusty bialej w
  zaleznosci od przedplonu (A), metod jego koszenia
  (B) i nawozenia NPK (C).

13

• W pracy Korsak-Adomowicz (2004) w zastosowaniu
  do doswiadczenia, w którym badano wplyw sposobu
  przedsiewu uprawy gleby (A), nawozenia azotem (B)
  oraz odmian (C) na plon ziarna pszenzyta jarego.
• W pracy Jankowski i inni (2012) badano wplyw
  odmian, rodzaju podloza oraz zastosowanych
  nawozów mineralnych na tempo odrastania traw.
• W pracy Dopka i inni (2013) badano wplyw
  rodzaju miedzyplonu scierniskowego, zróznicowania
  uprawy pozniwnej i terminu siewu na zmiany
  wybranych wlasciwosci fizycznych gleby w
  poczatkowym okresie wzrostu zyta jarego.

14

• W polskiej literaturze uklad kompletny SPSB
  zostal dokladnie opisany pod nazwa uklad
  split-plot-split-block.
• W pracy Kolodziejczyk i inni (2005), badania
  przeprowadzone w latach 2000 2002 dotyczyly
  wplywu odmiany, nawozenia azotem oraz typu gleby
  na sklonnosc do ciemnienia bulw ziemniaka
  jadalnego.

15
LeClerg i inni (1962) rozwazali uklad SPSB w
kontekscie brakujacych obserwacji, podajac wzór
na oszacowanie brakujacej wartosci w tym
ukladzie. Problem ten przedstawili na przykladzie
hipotetycznego doswiadczenia, w którym
obserwowano plon w zaleznosci od dwóch sposobów
traktowania nasion (A), trzech wariantów uprawy
(B) i dwóch gestosci siewu (C).
16

• W polskiej literaturze uklad kompletny SSP zostal
  dokladnie opisany
• W pracy Sulewska i inni (2008) w
  przeprowadzonym doswiadczeniu w Wielkopolsce
  badano wplyw terminu i gestosci siewu oraz odmian
  na plon orkiszu.
• W pracy Panasiewicz i inni (2012) badano wplyw
  deszczowania, ochrony fungicydowej i nawozenia
  azotem na zdrowotnosc pszenzyta ozimego.

17
Doswiadczenia trójczynnikowe
(s ? t ? w) czynnikowe doswiadczenie
A A1, A2,..., As B B1, B2,..., Bt
v  stw C C1, C2,..., Cw
18
Uklad kompletny split-block




19
Uklad kompletny split-block




blok
20
Uklad kompletny split-block




k1 2 (liczba wierszy)
21
Uklad kompletny split-block




k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn)
22
Uklad kompletny split-block

? A1 ?
? A1 ?
? A2 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn)
23
Uklad kompletny split-block
????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1????
? A1 ?
? A1 ?
? A2 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn)
24
Uklad kompletny split-block
????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1????
? A1 ? Poletko duze Poletko duze
? A1 ? Poletko duze Poletko duze
? A2 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn)
25
Uklad kompletny split-block-plot (SBP)
????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1????
? A1 ? Poletko male
? A1 ? Poletko male
? A2 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn) k3
2 (liczba poletek malych)
26
Uklad kompletny split-block-plot (SBP)
????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1????
? A1 ?
? A1 ? C2 C1 C1 C2 C1 C2
? A2 ?
? A2 ? C1 C2 C2 C1 C1 C2

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn) k3
2 (liczba poletek malych)
b ? (k1 ? k2 ) ? k3
27
Uklad kompletny split-blok
????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1????
? A1 ?
? A1 ?
? A2 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn I
rzedu)
28
Uklad kompletny split-plot ? split-block (SPSB)
????B2???? ????B2???? ????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1???? ????B1???? ????B1????
? A1 ?
? A2 ?

k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn I
rzedu) k3 3 (liczba kolumn II rzedu)
29
Uklad kompletny split-plot ? split-block (SPSB)
????B2???? ????B2???? ????B2???? ????B3???? ????B3???? ????B3???? ????B1???? ????B1???? ????B1????
? A1 ?
? A2 ?
??C2?? ??C1?? ??C3?? ??C1?? ??C3?? ??C2?? ??C3?? ??C2?? ??C1??
k1 2 (liczba wierszy) k2 3 (liczba kolumn I
rzedu) k3 3 (liczba kolumn II rzedu)
b ? k1 ? (k2 ? k3)
30
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)


blok
31
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)


k1 2 (liczba poletek I rzedu)
32
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)
?????????A2????????? ?????????A1?????????

k1 2 (liczba poletek I rzedu)
33
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)
?????????A2????????? ?????????A1?????????

k1 2 (liczba poletek I rzedu) k2 2 (liczba
poletek II rzedu)
34
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)
?????????A2????????? ?????????A1?????????

????B1???? ????B2???? ????B2????
????B1????
k1 2 (liczba poletek I rzedu) k2 2 (liczba
poletek II rzedu)
35
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)
?????????A2????????? ?????????A1?????????

????B1???? ????B2???? ????B2????
????B1????
k1 2 (liczba poletek I rzedu) k2 2 (liczba
poletek II rzedu) k3 2 (liczba poletek III
rzedu)
36
Uklad kompletny split-split-plot (SSP)
?????????A2????????? ?????????A1?????????
C2 C1 C1 C2 C2 C1 C1 C2
????B1???? ????B2???? ????B2????
????B1????
k1 2 (liczba poletek I rzedu) k2 2 (liczba
poletek II rzedu) k3 2 (liczba poletek III
rzedu)
b ? k1 ? k2 ? k3
37
Czterostopniowy proces randomizacyjny

• uklad SBP
• Bloki wiersze kolumny poletka male
• uklad SPSB
• Bloki wiersze kolumny I rzedu kolumny II
  rzedu
• uklad SSP
• Bloki poletka I rzedu poletka II rzedu
  poletka III
• rzedu

38
Modele liniowe obserwacji




39
Modele liniowe obserwacji


(1)
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)



40
Modele liniowe obserwacji


(1)
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
y jest n wymiarowym wektorem obserwacji
uporzadkowanych leksykograficznie

jest (n ? v) - wymiarowa macierza ukladu dla v ko
mbinacji obiektowych
? ?1, ?2,..., ?v - wektor stalych efektów
kombinacji obiektowych
e jest n wymiarowym wektorem efektów bledów
technicznych



41
Modele liniowe obserwacji (SBP)


(1)
- macierze ukladu
odpowiednio wzgledem bloków, wierszy, kolumn, pole
tek duzych i poletek malych,

- wektory losowych
efektów odpowiednio bloków, wierszy, kolumn,
duzych poletek i poletek malych,


42
Modele liniowe obserwacji (SPSB)


(1)
- macierze
ukladu odpowiednio wzgledem bloków,
wierszy, kolumn I rzedu, kolumn II rzedu,
poletek duzych i poletek malych,

- wektory
efektów losowych odpowiednio bloków, wierszy,
kolumn I rzedu, kolumn II rzedu, poletek duzych i
poletek malych,


43
Modele liniowe obserwacji (SSP)


(1)
- macierze ukladu
odpowiednio wzgledem bloków, poletek I rzedu,
poletek II rzedu, poletek III rzedu,

- wektory efektów losowych
odpowiednio bloków, poletek I rzedu, poletek II
rzedu, poletek III rzedu.


44
Modele liniowe obserwacji


(1)
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
gdzie Vf (f  1, 2,..., m) sa macierzami
kowariancji wektorów losowych .



45
Modele liniowe obserwacji


(1)
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)

Pf ( f  0, 1, ..., m) macierze ortogonalne

?f ( f  0, 1, ..., m) funkcje komponentów
wariancyjnych



46
Modele liniowe obserwacji


(1)
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
Ortogonalna struktura blokowa



47
Modele liniowe obserwacji

m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
Pf ( f  0, 1, ..., m) macierze ortogonalne


Uklad SBP i SPSB np. Ambrozy i Mejza (2006) Uklad
SSP np. Mejza (1997)



48

• Uklad SBP
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami
• ? (2) - miedzy wierszami
• ? (3) - miedzy kolumnami
• ? (4) - miedzy poletkami duzymi
  
• ? (5) - miedzy poletkami malymi

49

• Uklad SBP (kompletny)
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami
• ? (2) - miedzy wierszami ? A
• ? (3) - miedzy kolumnami ? B
• ? (4) - miedzy poletkami duzymi ? A ? B
  
• ? (5) - miedzy poletkami malymi ? C, A ? C,
  B ? C, A ? B ? C

50

• Uklad SBP (niekompletny)
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami ? C
• ? (2) - miedzy wierszami ? A, A ? C
• ? (3) - miedzy kolumnami ? B, B ? C
• ? (4) - miedzy poletkami duzymi ? A ? B, A
  ? B ? C
  
• ? (5) - miedzy poletkami malymi ? C, A ? C,
  B ? C, A ? B ? C

51
Uklad SPSB Warstwy ? zerowa ? ? (1) -
miedzy blokami ? (2) - miedzy wierszami
? (3) - miedzy kolumnami I rzedu ? (4) -
miedzy kolumnami II rzedu ? (5) - miedzy
poletkami duzymi ? (6) - miedzy poletkami
malymi
52
Uklad SPSB (kompletny) Warstwy ? zerowa ?
? (1) - miedzy blokami ? (2) - miedzy
wierszami ? A ? (3) - miedzy kolumnami I
rzedu ? B ? (4) - miedzy kolumnami II rzedu
? C, B ? C ? (5) - miedzy poletkami duzymi
? A ? B ? (6) - miedzy poletkami malymi ?
A ? C, A ? B ? C
53
Uklad SPSB (niekompletny) Warstwy ? zerowa
? ? (1) - miedzy blokami ? C ? (2) -
miedzy wierszami ? A, A ? C ? (3) - miedzy
kolumnami I rzedu ? B, B ? C ? (4) -
miedzy kolumnami II rzedu ? C, B ? C ? (5)
- miedzy poletkami duzymi ? A ? B, A ? B ? C
? (6) - miedzy poletkami malymi ? A ? C, A ? B
? C
54

• Uklad SSP
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami
• ? (2) - miedzy poletkami I rzedu
• ? (3) - miedzy poletkami II rzedu
• ? (4) - miedzy poletkami III rzedu
  

55

• Uklad SSP (kompletny)
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami
• ? (2) - miedzy poletkami I rzedu ? A
• ? (3) - miedzy poletkami II rzedu ? B, A ?
  B
• ? (4) - miedzy poletkami III rzedu ? C, A ?
  C, B ? C, A ? B ? C

56

• Uklad SSP (niekompletny)
• Warstwy
• ? ? zerowa
• ? ? (1) - miedzy blokami ? C
• ? (2) - miedzy poletkami I rzedu ? A, A C
• ? (3) - miedzy poletkami II rzedu ? B, A ?
  B, B ? C, A ? B ? C
• ? (4) - miedzy poletkami III rzedu ? C, A ?
  C, B ? C, A ? B ? C

57
Estymacja parametrów obiektowych
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
58
Analiza modeli mieszanych polega na rozbiciu
analizy ogólnej na tak zwane analizy warstwowe
oparte na modelach
, f  0, 1,..., m ( 4, 5
lub 6), (2)
Mozna wykazac (zob. Bailey 1981, Baksalary i Kala
1983, Houtman i Speed 1983), ze analiza
statystyczna modeli opisanych w (2) jest
równowazna, ze wzgledu na ortogonalna strukture
blokowa oraz wlasciwosci macierzy Pf , zwyklej
metodzie najmniejszych kwadratów. Metoda ta
opiera sie na modelu liniowym
59
Tak wiec, przez rozbicie analizy na warstwy
uzyskuje sie korzystna wlasciwosc polegajaca na
tym, ze w kazdej warstwie do analizy
statystycznej mozna wykorzystac teorie wlasciwa
dla najprostszego modelu Gaussa - Markowa z
macierza kowariancji typu .
Zaleta takiego postepowania jest to, ze
otrzymane warstwowe estymatory nieobciazone
wykorzystac mozna do budowy testów dokladnych
zarówno hipotez ogólnych, jak i hipotez
szczególowych.
60
Warstwowe macierze informacji dla kombinacji
obiektowych (np. Mejza I., (1997), Ambrozy i
Mejza, (2011)) m 4 (uklad SSP), m
5 (uklad SBP) lub m 6 (uklad SPSB)

61

• Estymowalnosc kontrastu w f-tej warstwie, mozna
  sprawdzic za pomoca ogólnego kryterium (zob. Rao
  i Mitra (1971)) ,
  gdzie oznacza uogólniona odwrotnosc
  macierzy.

• Uklady typu SBP, SPSB i SSP sa ogólnie
  zrównowazone wtedy i tylko wtedy, gdy macierze
  informacji wzajemnie komutuja wzgledem r ? ,
  czyli

62

• Macierze Af maja wspólny zbiór wektorów
  wlasnych ph odpowiadajacych wartosciom wlasnym
  wzgledem , gdzie
• oraz f 1, 2,, m ( 4, 5 lub
  6) h 1, 2,, v.

• Przynajmniej jedna z wartosci wlasnych macierzy
  Af jest równa zero, a odpowiadajacy jej
  wektor (np. ostatni) jest postaci
  . Pozostale wektory wlasne ph dla h
   lt  v, gdzie , stanowia baze dla
  wszystkich wektorów wyznaczajacych pewne
  kontrasty, które z tego wzgledu nazywane sa
  kontrastami bazowymi (Pearce i inni (1974)).

63
Kontrasty te oznaczamy symbolem , gdzie

• Kontrast jest estymowalny w f - tej
  warstwie, gdy zachodzi relacja (np. Houtman i
  Speed (1983))

64

• Z wlasnosci ogólnego zrównowazenie wynika, ze
  dla f 1, 2,?, m ( 4, 5 lub 6) h 1,
  2,..., v - 1,

Stad wartosci wlasne sa traktowane jako
warstwowe wspólczynniki efektywnosci ukladu
wzgledem kontrastu . Gdy , to
cala informacja o h - tym kontrascie bazowym jest
zawarta tylko w jednej (f - tej) warstwie. Uklad
taki nazywany jest ukladem ortogonalnym w f - tej
warstwie wzgledem tego kontrastu. Gdy
, to informacja o h - tym kontrascie bazowym
wystepuje w co najmniej dwóch warstwach.
65

• Najlepszy liniowy estymator estymowalnego
  kontrastu w f - tej warstwie
  jest postaci

66

• W kazdej warstwowej analizie rozwazanych ukladów
  uzyskuje sie funkcje testowa postaci
• która przy prawdziwosci warstwowej hipotezy
  ogólnej
• podlega rozkladowi centralnemu F z ?Tf i ?Ef
  stopniami swobody.

67
Tabela 1. ANOVA w f-tej warstwie, f 1, 2,,
m ( 4, 5 lub 6)
Zródla zmiennosci DF SS E(MS)
Obiekty (f) SSTf
Blad (f) SSEf
Ogólem (f) SSYf
SSY f yPf y
SSE f SSY f - SST f
68
Wlasciwosci statystyczne ukladów
Definicja 1. Uklad doswiadczalny jest nazywany
ukladem zrównowazonym w f - tej warstwie (ze
wzgledu na efektywnosc), jezeli warstwowe
wspólczynniki efektywnosci dla wszystkich
estymowalnych w tej warstwie kontrastów bazowych
sa jednakowe. W szczególnosci, jezeli wszystkie
warstwowe wspólczynniki sa równe 1, to uklad jest
ortogonalny w f - tej warstwie. W innych
sytuacjach uklad jest czesciowo zrównowazony w
f - tej warstwie (ze wzgledu na efektywnosc),
f 1,..., m ( 4, 5 lub 6).

69
Definicja 2. Niech MfT, ? oznacza taka
wlasciwosc ukladu doswiadczalnego o ortogonalnej
strukturze blokowej, ze T kontrastów
pomiedzy obiektami czynnika M (lub T
interakcyjnych kontrastów) jest estymowanych w
f - tej warstwie ze wspólczynnikiem efektywnosci
równym ?. Inaczej mówiac, uklad jest MfT, ? -
zrównowazony. W
szczególnosci, gdy ?   1, uklad jest
MfT, 1 -ortogonalny.

70
Definicja 3. Niech
symbolizuje uklad mieszany, gdzie ? jest
wygenerowanym ukladem typu SSP, SBP lub SPSB,
oznaczaja uklady generujace,
w których wystepuja obiekty czynników A, B i C,
a znak okresla iloczyn lub pól-iloczyn
Kroneckera macierzy w zaleznosci od zastosowanej
metody konstrukcji.

71
Metoda konstrukcji niekompletnego ukladu SBP
SBP(? RCB, RCB, EB)
72
Metoda konstrukcji niekompletnego ukladu SBP
SBP(? RCB, RCB, EB)
73
Metoda konstrukcji niekompletnego ukladu SBP
SBP(? RCB, RCB, EB)
v stw, b b3, k
stk3,
74
Metoda konstrukcji niekompletnego ukladu SBP
SBP(? RCB, RCB, EB)

gdzie
75
Uklad SBP- niekompletny (nieortogonalny),-
wlasciwy z jednakowymi replikacjami kombinacji
obiektowych,- ma ortogonalna strukture blokowa.
76
Wniosek 1. Uklad SBP(? RCB, RCB, EB) z macierza
incydencji N1 jest A2s 1 ,
1  ortogonalny, B3t 1 , 1
ortogonalny, C1t 1, 1 ? zrównowazony i
C5t 1, ? zrównowazony, (A?B)4(s 1)(t
1), 1  ortogonalny, (A?C)2(s 1)(w 1),
(1 ?)  zrównowazony i

(A?C)5(s 1)(w
1), ?  zrównowazony, (B?C)3(t 1)(w 1),
(1 ?) zrównowazony i (B?C)5(t 1)(w
1), ? zrównowazony, (A?B?C)4(s 1)(t
1)(w 1), (1 ?) zrównowazony i
(A?B?C)5(s 1)(t 1)(w 1), ? zrównowazony.

77
Przyklad
(2 ? 4 ? 6) czynnikowe doswiadczenie z lubinem
(Barbacki (1951))
78
Przyklad
(2 ? 4 ? 6) czynnikowe doswiadczenie z lubinem
A terminy siewu A1 termin pierwszy
31.III A2 termin drugi 28.IV
C rozstawy C1 10 cm ? 10 cm C2 5 cm ? 20
cm C3 10 cm ? 20 cm C4 5 cm ? 30 cm C5 10
cm ? 30 cm C6 5 cm ? 40 cm
B gatunki lubinu B1 lubin bialy III B2
lubin bialy I B3 lubin zólty B4 lubin
niebieski
(Barbacki (1951))
79
Przyklad
(2 ? 4 ? 6) czynnikowe doswiadczenie z lubinem
A terminy siewu A1 termin pierwszy
31.III A2 termin drugi 28.IV k1 s 2
C rozstawy C1 10 cm ? 10 cm C2 5 cm ? 20
cm C3 10 cm ? 20 cm C4 5 cm ? 30 cm C5 10
cm ? 30 cm C6 5 cm ? 40 cm k3 lt w 6
B gatunki lubinu B1 lubin bialy III B2
lubin bialy I B3 lubin zólty B4 lubin
niebieski k2 t 4
80
Przyklad
(2 ? 4 ? 6) czynnikowe doswiadczenie z lubinem
(macierz incydencji wzgledem bloków)
(Cochran i Cox (1957))
81
Przyklad
(2 ? 4 ? 6) czynnikowe doswiadczenie z lubinem
(macierz incydencji wzgledem bloków)
w 6 b3 10 k3 3 r 5 ? 2
(Cochran i Cox (1957))
82
Przyklad
Parametry ukladu SBP v stw 2?4?6 48, b
b3 10, k stk3 2?4?3 24, n bk1k2k3
10?2?4?3 240,
83
Przyklad
h 1, 2,..., 48 j 1, 2 k 1, 2, 3, 4
l 1, 2,..., 6
84
Przyklad
85
Tabela 2. Warstwowe wspólczynniki efektywnosci
ukladu SBP wzgledem kontrastów bazowych
Typ kontrastu Warstwy Warstwy Warstwy Warstwy Warstwy
Typ kontrastu (1) (2) (3) (4) (5)
Terminy siewu (A) 1
Gatunki (B) 1
A ? B 1
Rozstawy (C) 0,2 0,8
A ? C 0,2 0,8
B ? C 0,2 0,8
A ? B ? C 0,2 0,8
(1) warstwa miedzy blokami, (2) warstwa
miedzy wierszami, (3) warstwa miedzy kolumnami,
(4) warstwa miedzy poletkami duzymi, (5)
warstwa miedzy poletkami malymi
86
Tabela 3. Analiza wariancji (uklad SBP)
Zródla zmiennosci DF SS F P
Warstwa (1) analiza bloków Warstwa (1) analiza bloków Warstwa (1) analiza bloków Warstwa (1) analiza bloków Warstwa (1) analiza bloków
Czynnik C (Rozstawy) Blad (1) Calosc (1) bloki 5 4 9 0,0426 0,0050 0,0476 6,816? 0,043
Warstwa (2) analiza wierszy Warstwa (2) analiza wierszy Warstwa (2) analiza wierszy Warstwa (2) analiza wierszy Warstwa (2) analiza wierszy
Czynnik A (Termin siewu) A ? C Blad (2) Calosc (2) wiersze 1 5 4 10 9,0673 0,0838 0,0078 9,1589 4649,897?? 8,595? 0,000 0,027
Warstwa (3) analiza kolumn Warstwa (3) analiza kolumn Warstwa (3) analiza kolumn Warstwa (3) analiza kolumn Warstwa (3) analiza kolumn
Czynnik B (Gatunki) B ? C Blad (3) Calosc (3) kolumny 3 15 12 30 22,4044 0,3086 0,3214 23,0344 279,015 ?? 0,768 0,000 0,690
87
Tabela 3. Analiza wariancji (uklad SBP)
Zródla zmiennosci DF SS F P
Warstwa (4) analiza poletek duzych Warstwa (4) analiza poletek duzych Warstwa (4) analiza poletek duzych Warstwa (4) analiza poletek duzych Warstwa (4) analiza poletek duzych
A ? B A ? B ? C Blad (4) Calosc (4) poletka duze 3 15 12 30 1,3562 0,2625 0,3157 1,9343 17,182?? 0,665 0,000 0,775
Warstwa (5) analiza poletek malych Warstwa (5) analiza poletek malych Warstwa (5) analiza poletek malych Warstwa (5) analiza poletek malych Warstwa (5) analiza poletek malych
Czynnik C (Rozstawy) A ? C B ? C A ? B ? C Blad (5) Calosc (5) poletka male 5 5 15 15 120 160 0,2278 0,1235 0,7170 0,2512 0,8693 2,1888 6,289 ?? 3,410 ?? 6,596 ?? 2,311 ?? 0,000 0,006 0,000 0,006
P lt 0,05 P lt 0,01
88
Kombinowanie estymatorów
Najlepszy liniowy estymator kontrastu bazowego
zapisac mozna jako
(Calinski i Kageyama (2000))
89
Jednym z naturalnych sposobów uzyskania
estymatora powyzszego kontrastu w wypadku, gdy
komponenty wariancyjne nie sa znane, jest
zastapienie nieznanych komponentów ich
estymatorami. Estymator kontrastu uzyskany w
ten sposób nazywa sie estymatorem empirycznym.
Jest to jeden ze sposobów kombinowania
estymatorów z róznych warstw. Nalezy
jednak zauwazyc, ze estymator empiryczny posiada
korzystne wlasciwosci statystyczne w
sytuacji, gdy oparty jest na duzej próbie (np.
Bhattacharya (1978) i Schinozaki (1978)).
90
Uzyskany zgodnie z powyzsza metoda estymator
kombinowany kontrastu ma postac
m 4 (uklad SSP), m 5 (uklad SBP) lub m 6
(uklad SPSB)
91
Uzyskany zgodnie z powyzsza metoda estymator
kombinowany kontrastu ma postac
Estymator ten jest jednostajnie lepszy niz kazdy
z estymatorów warstwowych wtedy i tylko wtedy,
gdy zachodzi
, dla kazdego
, przy czym i sa dowolnymi
stalymi, tak dobranymi, aby spelniona byla
relacja (3).
(3)
92
Shinozaki (1978) stwierdza, ze stale mozna
dobrac wtedy i tylko wtedy, gdy
i
(4) dla
kazdego , f, f 1, 2, ?, m ( 4, 5
lub 6). Wtedy proponuje on, aby

(5)
93
Kombinowanie testów
Jezeli dana hipoteza jest testowalna w dwóch lub
wiecej warstwach, pozadany bylby test, który
pozwolilby wykorzystac informacje z wszystkich
zródel jednoczesnie. Przeglad wybranych metod
kombinowania testów zostal podany przez Hedgesa i
Olkina (1985). Z ich porównania wynika, ze metoda
zaproponowana przez Fishera (1954) daje test
asymptotycznie optymalny wzgledem innych metod
kombinowania testów.
94
Zastosowanie tej metody zostanie pokazane na
przykladzie kombinowania testów szczególowych dla
pojedynczego kontrastu bazowego, estymowalnego co
najmniej w dwóch warstwach i co najwyzej w g
warstwach (2 ? g ? m, gdzie m 4, 5 lub 6).
95
Niech f1, f2, ..., fg oznaczaja numery warstw,
w których kontrast , h 1, 2,..., v 1,
jest estymowalny. Z faktu, ze wszystkie
statystyki o postaci form kwadratowych
wystepujace we funkcjach testowych hipotezy
, dla ustalonego h, sa wzajemnie
niezalezne, wynika równiez niezaleznosc tych
funkcji (zob. Zubrzycki (1966)). Zatem jest
mozliwe zastosowanie metody Fishera kombinowania
testów.
96
Niech

(6) f f1, f2, ..., fg 2 ? g ? m ( 4,
5 lub 6), dla ustalonego h ( 1,
2,..., v 1).
97
Niech

(6) f f1, f2, ..., fg 2 ? g ? m ( 4,
5 lub 6), dla ustalonego h ( 1,
2,..., v 1). Wówczas statystyka

(7) przy
prawdziwosci hipotezy zerowej, podlega w
przyblizeniu rozkladowi chi-kwadrat z a stopniami
swobody. Liczba stopni swobody a jest równa
podwojonej liczbie kombinowanych testów, czyli
a  2g.
98
Przyklad
99
Z kolei z tabeli 3 wynika, ze MSE3 0,0268 ?E3
12 oraz MSE5 0,0072 ?E5  120.

(3)


(4)

(5)
100
Uzyskany estymator kombinowany jest estymatorem
jednostajnie lepszym od estymatorów w warstwach o
numerach 3 i 5. Szczególy zobacz w pracy Ambrozy
i Mejza (2006).
101
(No Transcript)
102
(No Transcript)
103
Zob. tez Ambrozy i Mejza (2006)
104
Literatura
Ambrozy K., Mejza I. (2002) Doswiadczenia
trójczynnikowe w ukladzie pasów
prostopadlych z rozszczepionymi
poletkami. Colloq. Biom. 32, 79-91.
Ambrozy K., Mejza I. (2003) Some split-plot ?
split-block designs. Colloquium
Biometryczne, 33, 83?96. Ambrozy K., Mejza
I. (2006) Doswiadczenia trójczynnikowe z
krzyzowa i zagniezdzona struktura poziomów
czynników. Wyd. PTB i PRODRUK, Poznan.
Barbacki S. (1951) Doswiadczenia kombinowane.
PWRiL, Warszawa. Calinski, T., Kageyama,
S. (2000). Block Designs. A Randomization
Approach, Volume I. Analysis. Lecture Notes in
Statistics 150, Springer-Verlag, New York.
Gomez K.A., Gomez A.A. (1984) Statistical
procedures for agricultural research. Wiley, New
York. Houtman A.M., Speed T.P. (1983)
Balance in designed experiments with orthogonal
block structure. Ann. Statist. 11, 1069-1085.
Nelder J.A. (1965a) The analysis of
randomized experiments with orthogonal block
structure. 1. Block structure and the null
analysis of variance. Proc. of the Royal Soc. of
Lond. Ser. A, 283, 147-162. Nelder J.A.
(1965b) The analysis of randomized experiments
with orthogonal block structure. 2. Treatment
structure and general analysis of variance. Proc.
of the Royal Soc. of Lond. Ser. A, 283, 163-178.