NUMERICK

1
NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESu
NAP9
CFD transportní rovnice Turbulence a modely RANS
Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské
techniky CVUT FS 2010
2
Modely transportních rovnic
NAP9
Parabolické rovnice difúze a vedení tepla jsou
také transportní rovnice, ale bez konvektivního
mechanizmu transportu prenosu. A práve ten pusobí
pri numerickém modelování problémy a bývá
základním zdrojem nelinearit a nestabilit. Obecná
transportní rovnice má tvar
divergence hustoty toku transportované veliciny,
charakterizuje prostorové rozmazávání a
vyhlazování zmen
Casová zmena vlastnosti ? cástice pohybující se
rychlostí v
zdroj transportované veliciny (napr. gradient
tlaku pri transportu hybnosti, nebo reakcní
entalpie).
? je bud teplota T, hmotnostní podíl složky ?A ,
složky rychlosti vx,vy,vz nebo další skalární,
vektorové ci tenzorové veliciny, napr. kinetická
energie turbulentních fluktuací, složky tenzoru
vazkých napetí apod.
3
Modely transportních rovnic
NAP9
Co se vlastne transportuje?
? vztažená na jednotku hmoty ?? vztažené na jednotku objemu Difúzní tok vlastnosti ? jednotkou plochy
Hmota 1 ?
Hybnost Tensor vazkých napetí Pa
Celková energie E ?E Tepelný tok W/m2
Hmotnostní zlomek složky smesi ?A ??A Difúzní tok složky A kg/m2.s
(soucet vnitrní, kinetické a potenciální energie)
4
Konstitutivní rovnice
NAP9
Vztah mezi difuzním tokem transportované veliciny
(napr. napetím) a potenciálem prenosu (napr.
gradientem rychlosti, nebo gradientem teploty ci
koncentrace) je tzv. konstitutivní rovnice
materiálu. Konstitutivní rovnice pro molekulární
transport hybnosti Newtonské tekutiny
to ješte není konstitutivní rovnice, jen rozklad
celkového napetí na hydrostatický tlak, který
nezávisí na vlastnostech tekutiny a tenzor
vazkých napetí
Tenzor rychlosti deformace (symetrická cást
gradientu rychlosti)
Odpor vuci deformaci (úmerný gradientu rychlosti
proudení)
Objemová vazkost (odpor vuci expanzi nebo
kompresi)
Poznámka nepochybne vás zarazí clen s divergencí
rychlosti (proc 1/3?). Zkuste spocítat stopu
tenzoru vazkých napetí
A to je ten duvod (Lambova hypotéza) soucet
všech normálových vazkých napetí by mel být
nulový. Je to jen hypotéza, premýšlejte o
duvodech.
5
Konstitutivní rovnice
NAP9
Zvlášt jednoduchý je speciální prípad
nestlacitelné kapaliny (nulová divergence
rychlosti)
Rychlost deformace 1/s
Dynamická viskozita Pa.s
Pro zredené plyny se dá viskozita pomerne presne
odhadnout z kinetické teorie plynu (neuvažují se
mezimolekulové síly) v závislosti na strední
rychlosti molekul u (ta závisí na teplote) a na
strední volné dráze lm
Uvádím tento vztah (Maxwell 1860!) proto, že z
podobných úvah vycházel první Prandtluv model
turbulentní viskozity (nahrazující srážkovou
vzdálenost molekul, smešovací vzdáleností
turbulentních víru)
Viskozita ? závisí predevším na teplote. Z
predchozího Maxwellova vztahu lze dovodit, že s
teplotou roste ??T. Teorie viskozity kapalin je
složitejší, viskozita kapalin s teplotou vetšinou
exponenciálne klesá.
Konstitutivní rovnice pro molekulární transport
tepla (Fourieruv zákon)
Konstitutivní rovnice pro molekulární transport
složky (Fick)
6
Konstitutivní rovnice
NAP9
Dosazením konstitutivních vztahu do obecné
transportní rovnice bilance hmoty, hybnosti,
energie a hmotnosti složky, získáme finální
soustavu rovnic pro rychlosti, tlaky, teploty a
koncentrace
7
Modely transportních rovnic
NAP9
Prehled základních transportních rovnic, které by
mel znát procesní inženýr
rovnice kontinuity
Navier Stokes (newtonské kapaliny)
Cauchyho rovnice
Fourier Kirchhoff
zdrojový clen je treba gravitacní zrychlení
zdrojový clen je treba ohmické nebo reakcní teplo
Fick
rychlost produkce složky A chemickou reakcí
8
Modely transportních rovnic
NAP9
Poznámka k Navierovým Stokesovým rovnicím
Toto je NS rovnice zapsaná pomocí tzv.
primitivních promenných u,v,w,p (složky rychlosti
a tlak)
Použitím rovnice kontinuity ukažte, že je to
presne totéž jako rovnice, zapsaná v tzv.
konzervativním tvaru
Matematicky jsou tyto zápisy ekvivalentní, ale
pro numerické rešení (CFD) jsou rozdíly zásadní
(souvisí s rychlostí šírení zvuku a
charakteristikami). Zatímco varianta v
primitivních promenných je vhodná pro
nestlacitelné proudení, je konzervativní varianta
(kde se nepocítají složky rychlostí, ale
hybnosti) lepší pro stlacitelné proudení, s
nespojitostmi rychlostí a tlaku (rázové vlny).
9
Turbulence
NAP9
Co je to turbulence? Deterministický chaos,
casové i prostorové náhodné fluktuace
transportovaných velicin (fluktuace rychlostí,
tlaku, teplot,)
Okamžitá hodnota
Strední hodnota
fluktuace
10
Turbulence kaskáda víru
NAP9
Kinetická energie turbulence je souctem energií
víru ruzné velikosti
Velké energetické víry
E(?)
Spektrální energie
Inerciální režim (spektrální energie závisí jen
na vlnovém císle a ?)
odvození na následující folii
Nejmenší víry (Kolmogorovské merítko) zmizí,
protože se premení v teplo
?2?f/u
1/L 1/?
vlnové císlo (1/rozmer víru)
Typické frekvence f10 kHz, Kolmogorovské merítko
?0.01 až 0.1 mm Kolmogorovské merítko ? klesá s
rostoucím Re
11
Inerciální režim turbulence
NAP9
Rozmerová analýza v inerciálním režimu
A to je proslulý Kolmogorovuv zákon 5/3
12
Turbulence
NAP9
Navier Stokes rovnice platí beze zmeny v
laminárním i turbulentním režimu
jenže
konvektivní clen je kvadratickou funkcí rychlosti
proudení a po prekrocení Rekrit se nelinearita
stává zdrojem nestabilit (rešení vykazuje casové
fluktuace), vzniká deterministický chaos
divergence hustoty toku hybnosti má za úkol
vyhlazovat nespojitosti a fluktuace náhodným
pohybem molekul ci celých víru
Pro numerické metody by bylo príliš obtížné a
casove nárocné se snažit pocítat casové fluktuace
rychlostí, teplot, a modely RANS (Reynolds
Averaging Navier Stokes) se omezují na stanovení
casove zprumernených hodnot.
Strední (prumerovaná, filtrovaná) hodnota
13
Turbulence RANS
NAP9
Zprumernení rovnice kontinuity
Reynoldsova napetí
Prumerování Navier Stokesovy rovnice
Prumerování obecné transportní rovnice
Turbulentní toky tepla a hmoty
14
Turbulence RANS
NAP9
Nove vzniklé cervené cleny (turbulentní napetí a
turbulentní toky tepla a hmoty) jsou strední
hodnoty soucinu fluktuací. Boussinesque
navrhl, aby se pocítaly ze stejných
konstitutivních rovnic jako laminární napetí a
laminární difúzní toky, jen s jinými
transportními koeficienty.
15
Turbulence RANS
NAP9
Koncept turbulentní viskozity ?t (Boussinesque)
Analogie Fourierova zákona
Analogie Newtonova zákona
Rychlost deformace založená na zprumerovaných
rychlostech
16
Turbulence
NAP9
Modely RANS tedy doplnují molekulární transport o
transport turbulentními víry. Místo skutecné
molekulární viskozity ? se použije o nekolik rádu
vyšší turbulentní viskozita ?t, odhadovaná z nove
definovaných skalárních transportních velicin
kinetické energie turbulentních fluktuací k
m2/s2 a dissipace kinetické energie ? m2/s3.
17
Turbulence
NAP9
Ponechme zatím stranou to, jakým zpusobem se dá
k(t,x,y,z) a ?(t,x,y,z) spocítat a
predpokládejme, že jsou známé. Turbulentní
viskozita se z nich odvodí tím nejjednodušším
možným zpusobem (Occamova britva) jen na základe
rozmerových úvah
Uvažuje se mocninová závislost a její exponenty
plynou jednoznacne z požadavku na rozmerovou
konzistenci
Stejným zpusobem (jen z rozmeru) lze dovodit
vztahy pro turbulentní difuzivitu m2/s nebo
rychlost mikromísení R kg/(m3s)
U velicin v jejichž rozmeru figuruje i teplota
(napr. teplotní vodivost) tento postup striktne
vzato použít nelze (k,? totiž neobsahují jednotku
teploty). V takových prípadech se použije
Reynoldsova analogie, tj. napr. turbulentní
tepelná vodivost se považuje za úmernou
turbulentní viskozite.
18
Turbulence modely
NAP9
Poznámka Existují i jednodušší modely
turbulence, tzv. algebraické modely, které
turbulentní viskozitu odhadují ne na základe
transportovaných velicin, ale dle místní hodnoty
rychlosti deformace (gradientu rychlosti) a dle
charakteristické vzdálenosti (napr. od steny)
v(y)
kruhový paprsek
výtok ze šterbiny
smešování vrstev
Prandluv model smešovací délky je inspirován
identickým vztahem pro viskozitu plynu, kde lm je
strední volná dráha molekul. Smešovací délka lm
je strední volná dráha turbulentních víru.
Nevýhodou algebraických modelu (modernejší než
Prandtluv model je napr. Baldwin Lomax a Cebecci
Smith) je neschopnost reagovat na to, že
turbulentní fluktuace a jejich energie se
transportují a stav turbulence v daném míste je
ovlivnen stupnem turbulence míst odkud tekutina
pritéká. Algebraické modely jsou užitecné treba
pri popisu obtékání profilu nebo toku v kanálech.
Nemohou verohodne popsat odtrhávání proudu a
tvorbu recirkulacních zón.
19
Turbulence modely
NAP9
Použití transportní rovnice pro kinetickou
energii turbulence k je základem vetšiny
prakticky používaných modelu typu RANS
akumulace konvekce k
disperze k
produkce k
dissipace k (premena v teplo)
-?? dissipace kinetické energie turbulence
turbulentní viskozita
skutecná (molekulární) viskozita
tenzor rychlosti deformace (symetrická cást
gradientu prumerných rychlostí)
tenzor fluktuacní složky rychlosti deformace
20
Turbulence modely
NAP9
K transportní rovnici pro kinetickou energii
turbulence se pridává další transportní rovnice,
nejcasteji transportní rovnice pro dissipaci
kinetické energie ?. Je dost podobná rovnici
prenosu kinetické energie fluktuací k
akumulace konvekce ?
disperze ?
produkce
dissipace
Tento clen vyplývá z rozmerové analýzy
Výpocet turbulentní viskozity z dvojice k,? je
klasika, vhodná pro vysoké hodnoty Re, a když
proudení není príliš zakrivené. k,? modely
vetšinou nadhodnocují turbulentní viskozitu,
takže dobre konvergují. Modernejší modely, napr.
RNG, modifikují zejména transportní rovnici pro ?
tak aby lépe popisovala proudení pri menších Re,
nebo se místo ? použijí jiné charakteristiky
turbulence, napr. ? (specifická dissipace 1/s).
21
Turbulence modely
NAP9
Modely k-epsilon, k-omega, RNG, Spalart Almaras
(které nabízí Fluent) jsou všechny typu RANS, tj.
jsou založené na casovém prumerování fluktuací a
na konceptu turbulentní viskozity. Modely RSM
(Reynolds Stress Modelling) jsou také založeny na
casovém prumerování fluktuací, ale už nepoužívají
koncept turbulentní viskozity. Jako konstitutivní
rovnice jsou použity prímo transportní rovnice
pro 6 složek tenzoru turbulentních napetí. Nereší
se transportní rovnice pro kinetickou energii
turbulence, protože ta je prímo souctem
diagonálních prvku tenzoru turbulentních
Reynoldsových napetí. Model LES (Large Eddy
Simulation) se nesnaží prumerovat casové
fluktuace, ale prímo je v malých casových krocích
pocítá. Prumerují se pouze prostorové fluktuace.
Presneji, propocítávají se casové i prostorové
pulzace alespon velkých turbulentních víru, víru,
které jsou vetší než je rozmer bunky síte.
22
Turbulence modely Fluent
NAP9

• Spalart Almaras (transport viskozity 1 PDE)
• k-? dissipace k (standardRNGrealizable)
• k-? specific dissipace (standardSST shear stress
  transport)
• k-kl-? transition model laminar?turbulent
• v2-f boundary layer detachment (low Re)
• RSM
• DES (Detached Eddy Simulation, Spalart
  AlmarasrealizableSST), jako LES u steny
• LES (Large Eddy Simulation)

Tok v trubce tlakové ztráty a rychlostní profily
23
Turbulence Fluent
NAP9
Tok v trubce tlakové ztráty a rychlostní profily
Lukáš
24
Turbulence Fluent
NAP9
Jako príklad uvedeme rešení stacionárního
izotermního proudení v trubce s kruhovým
prurezem, kde na vstupu je zadán konstantní
rychlostní profil u1 m/s. Cílem je stanovit
tlakovou ztrátu a vyvinutý rychlostní profil (a
porovnat hodnoty vypoctené Fluentem s
inženýrskými korelacemi, Blasiovým vztahem pro
trecí ztráty ). Pri stejné
geometrii a rychlostech budou propocítávána dve
media vzduch (velmi nízké Re cca 2400) a voda
(Re cca 40000). Pri výpoctu budou použity a
porovnány ruzné modely turbulence typu RANS.
25
Turbulence Fluent
NAP9
Material water-liquid (fluid) Property
Units Method
Value(s) -------------------------------
-------------------------------- Density
kg/m3 constant
998.20001 Cp (Specific Heat)
j/kg-k constant 4182 Thermal
Conductivit w/m-k constant 0.6
Viscosity kg/m-s
constant 0.001003 Molecular Weight
kg/kgmol constant 18.0152
WALL
VELOCITY INLET
AXIS
Geometrie trubky L0.5m, D0.04m. Rychlost na
vstupu u1m/s sít 50 x 20, zhuštení 2
(poslední/první)
PRESSURE OUTLET
26
Turbulence Fluent
NAP9
Voda
Def.?Model?Visc. Def.?Axisymmetric
Def.?Boundary?u1
Display?Vectors
27
Turbulence Fluent
NAP9
Vzduch Laminar Mass-Weighted Average
Static Pressure
(pascal) --------------------------------
--------------------
velocity_inlet.3 0.61464286 Spalart
Almaras Mass-Weighted Average
Static Pressure (pascal) -------------
------------------- --------------------
velocity_inlet.3 0.62425083
k-epsilon Mass-Weighted Average
Static Pressure (pascal) -------------
------------------- --------------------
velocity_inlet.3 1.2050774 RNG
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 1.2050774 Realizable
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 1.1221648 k-omega
Mass-Weighted Average
Static Pressure (pascal) -------------
------------------- --------------------
velocity_inlet.3 0.78146631
Results?Surface average
Voda Spalart Almaraz Mass-Weighted Average
Static Pressure
(pascal) --------------------------------
--------------------
velocity_inlet.3 141.57076 RNG
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 245.41853 k-epsilon
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 274.16226 k-omega
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 258.04153
28
Turbulence Fluent
NAP9
Bývá užitecné se presvedcit, zda je správne
modelována turbulence v oblasti u steny, a to na
základe vypocteného (nebo odhadnutého) smykového
napetí na stene
bezrozmerná vzdálenost nejbližšího uzlu
Tato hodnota byla vypoctena pro 2x jemnejší sít v
radiálním smeru
Nárazníková podvrstva 5ltylt30 Je treba použít
stenové funkce
29
Turbulence Fluent
NAP9
/ Journal File for GAMBIT 2.4.6, Database 2.4.4,
ntx86 SP2007051421 / Identifier "pipe2dn" / File
opened for write Mon Nov 28 082827
2011. identifier name "pipe2dn" new
nosaveprevious face create width 1 height 0.02
xyplane rectangle window matrix 1 entries 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 -0.2624999880791 \
0.2624999880791 -0.1590357869864 0.1590357869864
-1 1 face move "face.1" offset 0.5 0.01 0 undo
begingroup edge delete "edge.1" keepsettings
onlymesh edge mesh "edge.1" firstlast ratio1
1.981 intervals 100 undo endgroup undo
begingroup edge delete "edge.3" keepsettings
onlymesh edge modify "edge.3" backward edge mesh
"edge.3" firstlast ratio1 2 intervals 100 undo
endgroup undo begingroup edge delete "edge.4"
keepsettings onlymesh edge modify "edge.4"
backward edge picklink "edge.4" edge mesh
"edge.4" lastfirst ratio1 2 intervals 40 undo
endgroup undo begingroup edge delete "edge.2"
keepsettings onlymesh edge mesh "edge.2"
firstlast ratio1 0.5 intervals 40 undo
endgroup face mesh "face.1" map physics create
btype "WALL" edge "edge.3" physics create btype
"AXIS" edge "edge.1" physics create btype
"VELOCITY_INLET" edge "edge.4" physics create
btype "PRESSURE_OUTLET" edge "edge.2" solver
select "FLUENT/UNS" export fluent5 "pipe2dn.msh"
nozval save / File closed at Sat Nov 26 135619
2011, 1.39 cpu second(s), 3331408 maximum
memory. save name "pipe2dn.dbs" export fluent5
"pipe2dn.msh" nozval / File closed at Mon Nov 28
083130 2011, 0.50 cpu second(s), 4639176
maximum memory.
Nejjednodušší zpusob jak modifikovat geometrii
(pro L1m a sít 100x40) je upravit žurnálový
soubor .jou
Jedine porovnáním tlakových ztrát pro ruzne
dlouhé trubky lze urcit zvýšení tlakové ztráty na
vstupu
30
Turbulence Fluent
NAP9
Voda L1m Spalart Almaraz Mass-Weighted Average
Static Pressure
(pascal) --------------------------------
--------------------
velocity_inlet.3 282. RNG
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 410. k-epsilon
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 445 k-omega
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 481
Voda L0.5m Spalart Almaraz Mass-Weighted
Average Static Pressure
(pascal) --------------------------------
--------------------
velocity_inlet.3 141.57076 RNG
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 245.41853 k-epsilon
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 274.16226 k-omega
Mass-Weighted Average Static
Pressure (pascal) --------------------
------------ --------------------
velocity_inlet.3 258.04153
141Pa error 1 165Pa error 18 171Pa
error 22 223Pa error 59
RSM dává dokonce zápornou tlakovou ztrátu
-230.0078 Pa !