Pou

1
Použití metody konecných prvku v úlohách
elasticity s malou stlacitelností

• Jana Cibulková
• Obor Matematické modelování v technice
• Školitel Ing. Jirí Plešek, CSc.
• Konzultant RNDr. Marta Certíková

2

• Úvodem
• formulace problému
• aproximace pomocí MKP
• Uzamknutí (locking) a jeho odstranení
• metody vedoucí k odstranení uzamykání
• metoda podintegrování
• numerické experimenty
• Shrnutí

3
Klasická formulace smíšené úlohy pružnosti

• Na oblasti s jednou spojite diferencovatelnou
  hranicí G hledáme složky kde
• splnující
• Lamého rovnice pro homogenní a izotropní materiál
  v O, i1,2
• Okrajové podmínky
• ?, µ Lamého konstanty tij tenzor napetí
• vektor vnejších sil eij tenzor malé
  deformace
• zadaný vektor napetí na Gt ?i vektor jednotkové
  vnejší normály
• zadané posunutí na Gu

4
Slabá formulace a její aproximace MKP

• Hledáme složky splnující
• Prostor testovacích funkcí
• Necht Vh je konecne rozmerný podprostor V s bází
  .
• Rešení hledáme ve tvaru
• Výsledkem je systém rovnic pro neznámý vektor
  posunutí U v uzlech
• Zde B je matice derivací testovacích funkcí a E
  je matice elastických konstant.

5
Uzamknutí (locking) a jeho odstranení

• Locking je oznacení situace, kdy tvarové funkce
  prvku neprenesou
• žádaný deformacní mod.
• Hlavní typy uzamknutí
• smykové uzamknutí (shear locking)
• objemové uzamknutí (volumetric locking)
• Projevy uzamknutí
• výskyt fiktivních napetí
• zvýšení tuhosti
• výrazné zmeny hodnot napetí na elementu
• Metody odstranení uzamknutí
• smíšené a hybridne smíšené metody
• podintegrování a stabilizace

6
Podintegrování

• Under-integration je použití integracního
  pravidla s nižším než
• plným rádem.
• Výhody
• redukce výpoctového casu
• zmekcující vliv (odstranení objemového uzamknutí)
• Nevýhody
• výskyt hourglass modu (spourious mody, mody
  nulové energie, singulární mody, nestabilita nebo
  mechanismus)

7
Numerické experimenty

• známé analytické rešení
• pole napetí nezávisí na Poissonove císle
• Q4 bilineární isoparametrický element se 4 uzly
• obdélníková a ctyrúhelníková sít

8
Q4 element

• Výhody
• jednoduchá formulace
• konvergence numerického rešení k anlytickému se
  zjemnením síte
• snadný výpocet matice tuhosti
• Nevýhody
• nevhodný pro hrubé síte
• volumteric locking pro materiál s nestlacitelým
  chováním pri rovinné deformaci

9
Konvergence numerického rešení k anlytickému se
zjemnením síte pro Q4

• a) 16 elementu b) 64 elementu
• c) 256 elementu d) 1024 elementu

• Obr. 2 Konvergence numerického rešení

Obr. 1 Regulární zahuštení síte
10
Q4 a podintegrace

• Plná Gaussova integrace 2x2 Gaussovy body
• Redukovaná integrace 1 Gaussuv bod ve stredu
  elementu
• Mod 1 - 3 pohyb tuhého telesa
• Mod 4 - 6 konstatní deformace
• Mod 7 - 8 ohyb
• Obr. 3 Nezávislé mody posunutí elementu Q4

11
Referencní príklady

• 1. príklad pevná deska
• Jednoosá napjatost
• Okrajové podmínky
• Analytické rešení
• Ocekáváme
• mody nulové energie

12
1. referencní príklad

• 2x2 integrace
• Poissonovo císlo ? 0.3 ? 0.4998
• 1x1 integrace
• Poissonovo císlo ? 0.3 ? 0.4998

• Obr. 4 Vývoj napetí na desce

13
Chyba numerických výsledku

• Obr. 4a) Vývoj chyby v posunutí v uzlu 13
• pro hodnoty Poissonova císla ? 0.3 - 0.4998

14
Referencní príklady

• 2. príklad pevná deska s dírou
• Okrajové podmínky
• Analytické rešení (s pomocí Airyho funkce napetí)
  podél osy x
• Maximální hodnota napetí
• Ocekáváme
• objemové uzamknutí pro rostoucí Poissonovo císlo

15
2. referencní príklad - 2x2 integrace

• Obr. 5 Vývoj napetí na desce
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.3 a ?0.4998

16
2. referencní príklad - 2x2 integrace

• Obr. 6 Vývoj napetí podél osy x
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.3, ?0.4998

17
2. referencní príklad - 2x2 integrace

• Obr. 6a) Vývoj napetí podél osy x
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.3

18
2. referencní príklad - 2x2 integrace

• Obr. 6b) Detail vývoje napetí podél osy x
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.3

19
2. referencní príklad - 2x2 integrace

• Obr. 6c) Vývoj napetí podél osy x
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.49 a ?0.4998

20
2. referencní príklad - Podintegrace

• Obr. 7 Vývoj napetí na desce
• pro hodnoty Poissonova císla ?0.3 a ?0.4998

21
2. referencní príklad - Podintegrace

• Obr. 8 Vývoj napetí podél osy x
• pro hodnotu Poissonova císla ?0.3, ?0.4998

22
Chyba numerických výsledku

• Obr. 9 Vývoj chyby pro maximum napetí sy
• a hodnoty Poissonova císla ? 0.3 - 0.4998

23
Záver

• Hlavní výsledky práce
• vývoj vlastního MKP programu pro testování
  uzamykání a metod
• pro jeho odstranení, implementace metody
  podintegrace
• testovací úlohy pro objemové uzamknutí
• porovnaní analytického rešení a podintegrace na
  desce s dírou
• Získané poznatky
• demonstrace projevu objemového uzamknutí
• podintegrace postacuje k zabránení uzamknutí na
  složitejší síti
• pointegrovaní nestací pro pravidelnou
  obdélníkovou sít a vyžaduje
• stabilizaci v posunutí
• Práce byla soucástí grantového projektu
  101/06/0914.

24
Literatura

• 1 M. Bischoff Advanced Finite Element Methods,
  lecture notes for Program on Computational
  Mechanics, Technical University Munich, summer
  2005
• 2 R. D. Cook, D. S. Malkus, M. E. Plesha, R. J.
  Witt Concepts and Applications of Finite Element
  Analysis, John Wiley sons, 4th edition, 2002
• 3 U. Hueck, P. Wriggers A Formulation for the
  4-node Quadrilateral Element, International
  Journal for Numerical Methods In Engineering,
  vol. 38, 3007-3037, 1995
• 4 U. Hueck, H. L. Schreyer, P. Wriggers On the
  Incompressible Constraint of the 4-node
  Quadrilateral Element, International Journal for
  Numerical Methods In Engineering, vol. 38,
  3039-3053, 1995
• 5 M. Certíková Finite Element Method, lecture
  notes for Program on Applied Mathematics, Czech
  Technical University, summer 2005
• 6 D. Gabriel Applied Strength Of Materials,
  lecture notes for Program on Applied Mathematics,
  Czech Technical University, winter 2004
• 7 K. J. Bathe Finite Element Procedures, Upper
  Saddle River Prentice Hall, 1996
• 8 Wikipedia, the free encyclopedia,
  www.wikipedia.org