A tiszta

1
A tiszta ész fényuzése

• A matematika a tiszta ész bátor fényuzése,
  egyike a keveseknek amely ma még létezik
• Robert Musil A matematikus ember

2
R. Musil fenykep
A sok badarság egyike, amely a matematikáról
lényegének félreismerése miatt kering az, hogy
nagy hadvezéreket a csatatér matematikusainak
neveznek. ... Ez nem a hadvezéri lángész ellen
szól, hanem a matematika sajátos természete
mellett. Azt mondják, a matematika a gondolkodás
végletes ökonómiája, és ez így is van. Ám a
gondolkodás maga kiterjedt és bizonytalan dolog.
Még ha egyszeru biológiai takarékoskodás gyanánt
kezdodött is, régóta a takarékosság bonyodalmas
szenvedélyévé vált, amelynek éppoly kevéssé
fontos, meddig késlekedik a haszon, mint ahogy
közömbösen érinti a fösvényt kéjesen az
ellentmondásig késleltetett szegénysége. R.
Musil A matematikus ember 567. Old.
3
R. Musil
Csupán ha nem a kifelé hajtott hasznot, hanem a
matematikában magában a kihasználatlan részek
viszonyát tekintjük, ötlik szembe e tudomány
másik, s egyszersmind igazi arca. S e szerint az
nem célirányos, hanem gazdaságtalan és
szenvedélyes. A mindennapi embernek nem sokkal
van többre belole szüksége, mint amennyit
megtanul az elemi iskolában, a mérnöknek csak
annyira amennyivel elboldogul egy technikai
zsebkönyv szabálygyujteményében, s ez nem sok,
még a fizikus is többnyire kevéssé differenciált
eszközökkel dolgozik. Ha egyszer mégis másra van
szükségük, többnyire magukra vanak utalva, mert a
matematikust ilyen alkalmazási munkák kevéssé
érdeklik. Ez az oka, amiért a matematika némely
gyakorlati szempontból fontos részterületének
specialistái nem matematikusok.
4
R. Musil
Melletük azonban mérhetetlen területek nyúlnak
el, melyek csupán a matematikusok számára
léteznek néhány izom kiindulópontja körül
roppant idegfonadék halmozódott fel. Valahol benn
dolgozik a magányos matematikus és ablakai nem
kifelé nyílnak, hanem a szomszéd helyiségekre.
Specialista, mert nincs már olyan lángész, aki
képes volna az egészet birtokában tartani. Hiszi,
hogy amit muvel, valamikor valamilyen praktikusan
folyósítható hasznot fog hajtani, de nem ez
sarkallja O az igazságnak szolgál, azaz
sorsának, és nem sorsa céljának. Legyen bár
muködésének hatása ezerszer is az ökonómia,
immanens benne a mindent odaadás és szenvedély.
5
R. Musil
A matematika a tiszta ész bátor fényuzése, egyike
a keveseknek amely ma még létezik. Némely
filológusok is foglalkoznak olyasmivel, melyek
hasznát ok maguk aligha látják, s a bélyeggyujtok
meg a nyakkendogyujtok még inkább. De ezek
ártalmatlan szenvedélyek, amelyek életünk komoly
ügyeitol távol játszódnak, míg a matematika éppen
ott kínálja az emberi lét egyik legcsíposebb
kalandját. Egy kis példa hadd szolgáljon erre
tanulságul állíthatjuk, hogy gyakorlatilag
mindenestül e tudomány neki magának közömbössé
vált eredményeibol élünk. Általa sütjük
kenyerünket, építjük házunkat és hajtjuk
jármuveinket. A kézzel eloállított bútorok,
ruhák, cipok fajtáin és a gyermekeinken kívül
minden máshoz matematikai számítások segítségével
jutunk.
6
R. Musil
Ez az egész lét, mely körülöttünk rohan és áll,
nemcsak felfoghatósága tekintetében függvénye a
matematikának, hanem kifejezetten általa
keletkezett, így vagy úgy meghatározott létében
rajta nyugszik. Mert a matematika pionírjai
bizonyos alapokra használható elképzeléseket
emeltek, melyekbol következtetések, számítási
módszerek, eredmények adódtak, ezeket azután
hatalmukba kerítették a fizikusok, hogy további
új eredményekhez jussanak, s végül jöttek a
technikusok, sokszor csupán az eredményeket
vették át, újabb számításokat építettek rájuk és
létrejöttek a gépek.
7
R. Musil
És egyszer csak, mikor már minden szép rendben
megvolt, rájöttek a matematikusok azok, akik
ott benn töprenkednek -- , hogy az egésznek az
alapjaiban valami sehogyan sem akar rendbe
igazodni. Csakugyan, belestek az építmény legalja
alá, s úgy találták, hogy a levegoben lebeg. A
gépek mégis muködtek! Azt kell hinnie az
embernek, hogy egész létünk halovány kísértet
csupán, éljünk ugyan, de voltaképpen csak valami
tévedés folytán, ami nélkül létre sem jött volna.
Nincs ma még egy lehetoség olyan fantasztikus
érzésre, amilyen a matematikusnak kínálkozik. R.
Musil A matematikus ember 568-570. Old.
8
J.W. Goethe
A matematikusok olyasmik mint a franciák ha az
ember beszél velük, mindent a saját nyelvükre
fordítanak le, és ezzel az mindjárt valami más
lesz. Die Mathematiker sind eine Art Französen
Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre
Sprache, und dann ist es alsobald ganz
etwas anderes. Johann Wolfgang von Goethe
Maximen und Reflexionen
9
Platon
Az a tudás, melyet a geometria célul tuz ki, az
örökérvényunek a tudása. Platon Állam, VII.
525
10
T. Hobbes
A matematika ... Az egyetlen tudomány ...
amellyel Istennek ez ideig az emberiséget
megajándékoznia tetszett. T. Hobbes Leviathan
(1970) 31. Old.
11
H. Weyl
... A tiszta matematikai kutatás önmagában sok
nagy gondolkodó véleménye szerint speciális
jellegénél, bizonyosságánál és szigorúságánál
fogva az emberi gondolkodást közelebb viszi az
istenihez, mint bármely más medium. A matematika
a végtelen tudománya, célja a végtelen
szimbolikus megértése emberi, azaz véges
eszközökkel. A görögök nagy eredménye, hogy a
véges és végtelen ellentétét gyümölcsözové tették
a valóság megismerése szempontjából. A
végtelennek Keletrol jövo vallásos intuiciója, az
apeiron, megragadta a görögök lelkét. ... Ez a
feszültség a véges és végtelen között, és
összeegyeztetésük válik a görögök kutatásainak
vezérmotívumává. H. Weyl idézve P.J. Davies,
R. Hersh A Matematika Élménye (Muszaki, 1984)
/1981/ 128 .Old.
12
Novalis
Az Istenek élete a matematika. Das Leben der
Götter ist Mathematik. Novalis, idézve P.J.
Davies, R. Hersh A Matematika Élménye (Muszaki,
1984) /1981/129. Old.
13
I. Lakatos fenykep
Több mint kétezer éve vitatkoznak egymással a
dogmatikusok és a szkeptikusok. A dogmatikusok
azt állítják, hogy emberi értelmünk és/vagy
érzékszerveink segítségével képesek vagyunk
eljutni az igazsághoz, és meg is tudjuk
állapítani, hogy eljutottunk hozzá. A
szkeptikusok viszont azt állítják, hogy
egyáltalán nem juthatunk el az igazsághoz (hacsak
nem misztikus élményeken keresztül nem), vagy
azt, hogy nem tudhatjuk, képesek vagyunk-e elérni
avagy hogy elértük az igazságot. Ebben a nagy
vitában, amelyben újra és újra korszerusítik az
érveket, a matematika a dogmatizmus büszke
fellegvára volt. Lakatos Imre Bizonyítások és
Cáfolatok (Typotex, 18-19. old)
14
M. Kac, S. Ulam
A matematikai gondolkodásmód sajátos és egyedi
jellege leginkább a lehetetlenségi
bizonyításokban mutatkozik meg. Amikor
kijelentjük, hogy a kockakettozés (azaz
szerkesztése körzovel és vonalzóval) lehetetlen,
akkor ez az állítás nem a képességeink vagy
lehetoségeink átmeneti korlátozottságára utal.
Ennél sokkal többet állít, azt mondja, hogy soha
senki, semmilyen körülmények között sem lesz
képes a -t megszerkeszteni vagy egy
általános szöget harmadolni, ha csupán körzo és
vonalzó áll a rendelkezésére. Semmilyen más
tudomány, sot az emberi törekvések egyetlen más
területe sem álmodozhat ilyen visszavonhatatlan
véglegességrol. M. Kac, S. Ulam Mathematics
and Logic (The New American
Library, 1969 Idézve Laczkovics M. Sejtés és
bizonyítás (Typotex, 1998) 9. Old.
15
B. Russell
Túl gyakran halljuk azt, hogy nincs abszolút
igazság, csak vélekedés és egyéni ítélet, hogy
világszemléletünk tekintetében mindannyian a
magunk sajátosságaitól, a magunk ízlésétol és
elfogultságától függünk, hogy nem létezik az
igazság külso birodalma, ahová türelemmel és
fegyelemmel végül bebocsátást nyerhetünk, hanem
csak számomra meg számodra való igazság létezik
minden egyes személynek a maga külön igazsága. Ez
a gondolkodásmód tagadja az emberi erofeszítés
egyik legfobb végcélját, és erkölcsi
szemléletünkbol így eltunik az elfogulatlanság
páratlan erénye a bátor elismerése mindannak,
ami létezik. Az efféle szkepticizmussal szemben a
matematika örökös szemrehányás mert igazságainak
építménye rendíthetetlenül és bevehetetlenül
állja a kétkedo cinizmus minden fegyverének
ostromát. B. Russell A matematika
tanulmányozása In Miszticizmus és Logika (Magyar
Helikon, 1976) 114-115
16
B. Russell fenykep
A tiszta matematika csupa ilyen értelmu
kijelentésbol áll ha ez és ez az állítás igaz
valamely tetszoleges dologra, akkor ez és ez a
másik kijelentés szintén igaz erre a bizonyos
dologra. Lényeges, hogy sem azt nem vizsgáljuk,
hogy valóban igaz-e az elso kijelentés, sem pedig
azt nem mondjuk ki, hogy mi az a tetszoleges
dolog, amelyre a feltételezések szerint a
kijelentés igaz. A matematikát tehát úgy
határozhatjuk meg, mint azt a tárgyat, amellyel
kapcsolatban sem azt nem tudjuk, hogy mirol
beszélünk, sem azt, hogy igaz-e amit mondunk. B.
Russell A matematika és a metafizikusok In
Miszticizmus és Logika (Magyar Helikon, 1976) 121
17
B. Russell
A logika és matematika ... mindegyike fejlodött
a modern idokben a logika matematikaibb lett, a
matematika logikaibb. Ennek az a következménye,
hogy mostanra teljességgel lehetetlenné vált
határvonalat húzni a ketto közé, és valójában a
ketto egy. Mint fiú és férfi különböznek a
logika a matematika ifjúsága, a matematika a
logika férfikora. B. Russell Introduction
to Mathematical Philosophy
(Dover, 1993) /first edition 1919/ 194
18
H.B. Curry
A manapság folyó népszeru vitákban azt mondják
hogy az intuícionizmus, formalizmus és logicizmus
a három fo nézet a matematika természetével
kapcsolatban. Az utóbbi az a nézet volna, hogy a
matematika az logika. De nincs itt egy harmadik
nézet párhuzamosan a másik kettovel, mert azt
mondani, hogy a matematika logika, pusztán csak
annyit jelent, hogy az egyik definiálatlan
terminust egy másik definiálatlan szóval
helyettesítettük. H.B. Curry Remarks on the
definitiona and nature of mathematics Dialectica,
8 (1954) 228-233 In Philosophy of Mathematics.
Selected Readings, P. Benacerraf, H. Putnam,
Cambridge University Press, 1997) p. 206
19
H. Hahn fenykep
A matematikai állítások ugyanolyan típusúak mint
a logikaiak tautológikusak, egyáltalán semmit
sem jelentenek ki a tárgyakról amelyekrol
beszélni akarunk -- , hanem csak arról a módról
szólnak, ahogyan ezekrol beszélni akarunk H.
Hahn Logika, matematika és természetismeret
(1933) In A Bécsi Kör Filozófiája (Gondolat,
1972, 236. Old.)
20
P.J. Davis, R. Hersh
Ahogy a matematika minden ágában megnövekedett a
hangsúlya a deduktív jellegnek, a XIX. Sz.
Közepén C.S. Peirce kijelentette, hogy a a
matematika a szükségszeru következtetések
levonásának tudománya. De mire vonatkoznak a
következtetések? Mennyiségre? Térre? A matematika
tartalmát nem fogalmaztuk meg ezzel a
definícióval. A matematika bármirol szólhatna,
amennyiben a tárgy eleget tesz a
hipotézis-dedukció-konklúzió sémának. Scherlock
Holmes jegyzi meg Watsonnak a The Sign of
Four-ban, hogy A nyomozás egzakt tudomány, vagy
legalábbis annak kellene lennie, amelyet hideg és
érzelemmentes módon kell kezelni. Ön romantikát
próbál belevinni. Ez éppen olyan, mintha egy
szerelem vagy egy no megszöktetésének történetét
próbálná Euklidesz ötödik tételébe beleszoni.
21
Itt Connan Doyle leplezett gúnnyal jelenti ki
azt, hogy a bunügyi nyomozást teljes joggal
lehetne a matematika egyik ágának tekinteni. És
Peirce egyetértene. P.J. Davies, R. Hersh A
Matematika Élménye (Muszaki, 1984) /1981/ 30.
Old.
22
I. Kant
A matematikai ítéletek mind szintetikusak. E
tétel, úgy látszik, elkerülte az emberi ész
taglalóinak figyelmét, sot homlokegyenest
ellenkezik vélekedésükkel, habár
ellenmondhatatlanul bizonyos s a következokben
nagyon fontos. ... Mindenekelott megjegyzendo,
hogy voltaképi matematikai tételek mindig a
priori ítéletek, nem pedig empirikusak, mert
szükségszeruséggel járnak, mely pedig
tapasztalatból nem merítheto.
23
I. Kant
Elso pillanatra azt gondolhatnók ugyan, hogy e
tétel 7512 csak analitikus tétel, mely hét meg
öt összegének fogalmából az ellentmondás tétele
alaján következik. De ha közelebbrol tekintjük,
azt találjuk, hogy 7 meg 5 összegének fogalma nem
foglal magában egyebet, mint e két számnak
egyetlen egyben való egyesítését, a mivel még
nincs megmondva, melyik szám az, mely a kettot
egybefoglalja. Azzal, hogy a hét meg ötnek
egyesítését gondolom, még éppenséggel nem
gondoltam a tizenketto fogalmát, s bármennyit
taglaljam is ily leheto összegrol való
fogalmamat, a tizenkettot azért nem találtam meg
benne. Kant a Tiszta ész kritikája, 36. Old.

24
I. Kant
A tiszta geometria alaptételei sem analitikusak.
Hogy az egyenes vonal a legrövidebb két pont
közt, szintetikus tétel. Mert fogalmam az
egyenességrol nem foglal magában mennyiséget,
csak minoséget. A legrövidebb fogalma tehát
egészen hozzákerül, nem vonható ki semmiféle
találgatással az egyenes vonal fogalmából. Kant
A tiszta ész kritikája 36-37 old.
25
B. Russell
Annak bizonyítása, hogy az egész tiszta
matematika a geometriát is beleértve semmi
más, mint formális logika, végzetes csapást
jelent a kanti filozófiára. ... Az a priori
intuíciók egész doktrinája, amelynek révén Kant a
tiszta matematika lehetoségére magyarázatot
adott, teljességgel alkalmazhatatlan a
matematikára annak jelenlegi formájában. B.
Russell A matematika és a metafizikusok In
Miszticizmus és Logika (Magyar Helikon, 1976) 155
26
P.J. Davis, R. Hersh
Azt hallottuk, hogy az I. Világháború a
vegyészek háborúja, a II. a fizikusoké volt, a
III. pedig (bárcsak ne lenne) a matematikusoké
lesz. Ezzel bekerült a köztudatba, hogy a
matematika szükségszeruen összekapcsolódott az
élet általános szerkezetével, jó vagy rossz attól
függoen, hogy az emberek milyenné teszik, és hogy
az emberi értelem egyetlen tevékenysége sem
mentes az erkölcsi problémáktól. P.J. Davies,
R. Hersh A Matematika Élménye (Muszaki, 1984)
/1981/ 117. Old.
27
Neumann János
Hadd idézzem a német költo, Schiller egy
epigrammáját. Leír egy elképzelt beszélgetést
Arkhimedesz és egy tanítványa között. A tanítvány
kifejezésre juttatja a Mester elott csodálatát a
tudomány iránt, s hogy szeretné, ha beavatnák az
isteni tudományba, amely éppen most mentette meg
az Államot, a technikát értve ezen, amely
segített Szirakuza ostrománál. Úgy értem, a
szirakuzaiakat segítette a római hadsereg
ostromával szemben. Arkhimedesz erre egy kissé
dagályos beszédet tart, amelyben figyelmezteti a
csodálót, hogy a tudomány isteni, de isteni volt
már azelott is, hogy az Államot segítette volna,
és isteni függetlenül attól, hogy segíti-e az
Államot vagy sem.
28
Neumann János
Nos ez az álláspont nagyon fontos és helyes. A
tudomány valószínuleg jottányival sem istenibb
azért, mert segítette az államot vagy a
társadalmat. Ám ha valaki csatlakozik ehhez az
állásponthoz, rögtön számolnia kell a duális
állítással, azaz ha a tudomány jottányival sem
istenibb, mert segíti a táradalamat, talán
jottányival sem kevésbé isteni azért, mert
károsítja a társadalmat. A kérdés egyáltalán nem
triviális. ... Azt hiszem, a legjobb, amit tíz
perc alatt megtehetünk, ha hangsúlyozzuk, milyen
nehéz és veszélyes gyors ítéletet alkotni ebben a
kérdésben. Neumann János A matematika szerepe a
tudományban és társadalomban In Válogatott
tanulmányok (Typotex, 2003) 105-106. Old.
29
J. Dieudonne fenykep
Az alapokról szólva hiszünk a matematika
realitásában, de természetesen, ha ránk támadnak
a filozófusok a paradoxonjaikkal, akkor a
formalizmus mögé rejtozünk, és azt mondjuk, hogy
A matematika csak jelentés nélküli szimbólumok
kombinációja és elohúzzuk a halmazelmélet 1. és
2. Fejezetét. Végül békén hagynak bennünket, hogy
visszamehessünk a matematikához, és azt tehessük,
amit mindig is tettünk, azzal az érzéssel, amely
minden matematikusban megvan, hogy valami
reálissal dolgozik. Lehet, hogy ez az érzés csak
illúzió, de nagyon kényelmes. Ez Bourbaki
hozzáállása is az alapokhoz. J. Dieudonné The
Work of Nicholas Bourbaki
American Mathematical Monthly 77 (1970) 145. Old.

30
P.J. Cohen
Az átlagos matematikus számára, aki csak abban
szeretne biztos lenni, hogy munkája szilárd
alapokra épül, a legvonzóbb választás az, ha
Hilbert programja segítségével elkerüli a
nehézségeket. Nála a matematika csak formális
játék, amelyben mindössze a konzisztencia
kérdésére kell ügyelni. ... Valószínuleg a
realista (azaz platonista) helyzete az, amelyet a
legtöbb matematikus elonyben részesítene,
legalábbis addig, amíg tudatára nem ébred a
halmazelmélet bizonyos nehézségeinek, amelyet meg
kellene vizsgálnia. Ha ezek a nehézségek
különösen nyugtalanítják, akkor a formalizmus
fedezéke mögé rohan, miközben valódi helyzete
valahol a ketto között lesz megpróbálja mindkét
világ áldásait élvezni. P.J. Cohen Comments
on the Foundations of Set Theory
in Axiomatic Set Theory, szerk. D. Scott (AMS,
1971)
31
P.J. Davis, R. Hersh
A legtöbb matematikus aki ezzel a témával
foglalkozik, egyetért abban, hogy a tipikus
alkotó matematikus a hétköznapokon realista, az
ünnepnapokon formalista. Más szóval, amikor
matematizál, akkor meg van gyozodve arról, hogy
egy objektív realitással foglalkozik, és arra
törekszik, hogy meghatározza ennek
tulajdonságait. Amikor azonban arra kérik fel,
hogy összegezze ennek a realitásnak a
filozófiáját, akkor a legkönnyebbnek azt a
színlelést találja, hogy végülis mégse hisz
benne. P.J. Davies, R. Hersh A Matematika
Élménye (Muszaki, 1984)
/1981/ 338. Old.
32
R. Thom fenykep
Mindent összevéve, a matematikusoknak elég
bátraknak kell lenniük ahhoz, hogy kimondják és
megerosítsék legalapvetobb meggyozodésüket, amely
szerint a a matematikai formák valóban léteznek,
függetlenül az oket vizsgáló értelemtol. ...
Ugyanakkor bármely adott pillanatban a
matematikusnak az ideák eme világáról csak egy
nem teljes, töredékes képe lehet. R. Thom
Modern mathematics An educational and
philosophical Error?
American Scientist 59 (1971) 695-699
33
R. Feynman fenykep
A nagy precizitású matematikai szigorúság nem
nagyon hasznos a fizikában. De a matematikusokat
nem kell emiatt kritizálni... Ok csak munkájukat
végzik. Ha valami mást akarunk, akkor kidolgozzuk
magunknak. R. Feynman The Character of
Physical Law (MIT Press,
Cambridge, Mass.) 1965
34
I. Lakatos
Azt is írja, hogy a cikkem Bizonyítások és
Cáfolatok nem magyarázza meg az alapveto
különbséget a matematika és a kísérleti
(empírikus) tudományok között. Dehát az alapveto
mondanivalóm pontosan az, hogy legalábbis ami a
bizonyosságot, az alapokat illeti --, nincs nagy
különbség, egyik sem mentes tévedéstol, mindketto
sejtés-jellegu. Lakatos I. levele H. Wang-hoz,
Május 17, 1962
35
Neumann János
... A legjobb matematikai ihlet a
tapasztalatból ered, s ... aligha lehet hinni a
matematikai szigor abszolút, változatlan, minden
emberi tapasztalattól elkülönült fogalmának
létezésében. Magam nagyon földönjáró álláspontot
próbálok elfoglalni ebben a kérdésben. Bármilyen
filozófiai vagy ismeretelméleti ízlése legyen
valakinek ebben a vonatkozásban, a matematikus
céh tényleges tapasztalata saját tárgyával
kapcsolatban nagyon kevéssé támasztja alá a
matematikai szigor a priori fogalmának
létezését. Neumann János A matematikus. In
Válogatott tanulmányok (Typotex, 2003) 96. Old.
36
Neumann János
A matematika leginkább jellemzo tulajdonsága,
nézetem szerint, teljesen sajátos viszonya a
természettudományokhoz, -- vagy általánosabban
minden olyan tudományhoz, amely a puszta
leírásnál magasabb fokon elemzi a tapasztalatot.
... Fejlodése ... igen szorosan kapcsolódik a
természettudományokhoz. Egyik fo ága, a
geometria, tapasztalati természettudományként
indult. A modern matematika legjobb gondolatai
közül sok (szerintem a legjobbak) világosan a
természettudományokból ered. Neumann János A
matematikus. In Válogatott tanulmányok (Typotex,
2003) 85. Old.
37
Neumann János (1903-1957)
38
Konklúzió
A matematikáról mindent, és mindennek az
ellenkezojét is mondták mar. Az egyik
legizgalmasabb (filozófiai?) kérdés azt
feszegetni, Mi a matematika ?