Aritmeetiline%20jada

1
Aritmeetiline jada
Koostas Margit Nuija Kool Viljandi Paalalinna
Gümnaasium Maakond Viljandi Õppeaine
matemaatika Töö teema aritmeetiline jada Klass
IV kooliaste, 11. klass Juhendas Toomas Rähn
2
Aritmeetilise jada mõiste
Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille
iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme
ja ühe jääva liidetava summaga.
Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige -
a1 Liikmete arv - n
NB!
Näide On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a1
5 d 3 n 6
3
Üldliikme valem
Jada definitsioonist järeldub,et a2 a1 d a3
a2 d (a1 d) d a1 2d a4 a3 d
(a1 2d) d a1 3d .. an
an-1 d .a1 (n-1) d
an a1 (n-1)d
4
Jada vahe

• Kui d gt 0, siis aritmeetiline jada on kasvav
• Kui d lt 0, siis aritmeetiline jada on kahanev
• Kui d 0, siis aritmeetiline jada on konstantne

5
Näide 1
Leida aritmeetilise jada 1 5 9 13
kahekümnes liige d 5-1 4 a20 1 (20 1)
4 1 19 4 77 Vastus Jada kahekümnes
liige on 77.
6
Näide 2
Kas aritmeetilise jada 8 5 2 mingi liige
võib olla 40? Kui on, siis mitmes? d -3 an
-40 a1 8 -40 8 (n 1) (-3) -40 8 3n
3 3n 51 n 17 Vastus Jah, -40 on jada
17. liige.
7
Näide 3
Kas aritmeetilise jada 8 5 2 mingi liige
võib olla 0? Kui on, siis mitmes? d -3 an
0 a1 8 0 8 (n 1) (-3) 0 8 3n 3 3n
11 n 11/3 Vastus Jadas ei esine liiget 0,
sest n?Z.
8
Näide 4
Aritmeetilise jada seitsmes liige on 15 ja
viieteistkümnes liige on 7. Leida üldliikme valem.
an 21 (n-1) (-1) 21- n 1 22- n
Vastus an 22 - n
9
Näide 5
Paiguta arvude 18 ja 10 vahele kolm arvu nii, et
need koos antud arvudega moodustaksid
aritmeetilise jada viis järjestikust liiget.
a1 18 n 5 a5 -10
an a1 (n 1) d -10 18 (5 1) d -10
18 4d 4d -28 d -7
Vastus 18 11 4 -3 -10
10
Aritmeetilise jada summa esimene valem
Sn a1 a2 an Sn an an-1 a1 2Sn
(a1 an) (a2 an-1) an a1 2Sn (a1
an) n

11
Aritmeetilise jada summa teine valem
Kuna an a1 (n 1)d , siis
12
Näide 7
Leida esimese 15 paaritu arvu summa
Jada on 1 3 5,
a1 1 d 2 n 15
Vastus Esimese 15 paaritu arvu summa on 225.
13
Näide 8
Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit
umbes aastast 3000 eKr ja leitud Ahmese
papüüruselt.
Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel
nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest,
kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas
rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast.
Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda
vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb
anda igaühele?
Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama?
Vastus Vili tuleb jaotada järgmiselt
14
Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus
Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud
esimene) on tema naaberliikmete aritmeetiline
keskmine.
Näide Olgu meil jada 4 7 10 13 , siis
15
Aritmeetilise jada liikmete teine omadus
Lõpliku aritmeetilise jada algusest ja lõpust
võrdsetel kaugustel asetsevate liikmete summa on
võrdne äärmiste liikmete summaga.
Näide Olgu meil jada 1, 5 9, 13, 17 21 25 29
1 29 30 5 25 30 9 21 30 jne.
16
Edu teile!
Jõudu ja jaksu aritmeetilise jada ülesannete
lahendamisel!