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Calcolo Combinatori
Calcolo combinatorio
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HOME PRESENTAZIONE RAGRUPPAMENTI FRA GLI
ELEMENTI DI DUE O PIU INSIEMI DISPOSIZIONI PERMUT
AZIONI COMBINAZIONI PROPRIETA DEI COEFFICIENTI
BINOMIALI
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presentazione
PRESENTAZIONE Il calcolo combinatorio ha come
oggetto il calcolo dei modelli con i quali
possono essere associati gli elementi di due o
più insiemi o di uno stesso insieme. Nelle
applicazioni può sorgere il problema di conoscere
in quanti modi si può presentare un fenomeno. Il
problema di conoscere le risposte alle domande
può sembrare banale e in effetti lo è se il
numero degli elementi è piccolo, ma quando il
numero degli elementi è elevato la difficoltà
consiste proprio nel formare tutti i
raggruppamenti senza tralasciarne alcuno e senza
cadere in ripetizioni.
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Il calcolo combinatorio riveste notevole
importanza nella matematica del ltltdiscretogtgt,
dove il termine ltltdiscretogtgt contrapposto a
ltltcontinuogtgt sta a indicare che gli elementi sono
separati e i valori appartengono a N. I
raggruppamenti possono essere fatti in vari
modi. E' bene sottolineare che prima di applicare
ai casi concreti le formule che otterremo, si
dovranno esaminare attentamente i dati e gli
scopi che ci si prefiggono. Poiché la matematica
offre ltltmodelligtgt che cercano di interpretare i
fatti reali, occorre capire a quale modello
bisogna riferirsi per le varie applicazioni.
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Raggruppamenti fra insiemi
RAGRUPPAMENTI FRA GLI ELEMENTI DI DUE O PIU'
INSIEMI La moltiplicazione costituisce un primo
esempio di calcolo combinatoro. Il problema di
formare sigle è una questione di attualita è il
problema della codificazione, ossia della
individuazione di elementi di qualunque tipo
mediante sigle numeriche o alfanumeriche.
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Sia dato linsieme Aa,b,c,d. Tutte le sigle
di due elementi che si possono formare con gli
elementi di A sono le seguenti aa ab ac ad ba
bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd Questi
raggruppamenti vengono detti disposizione con
ripetizione di 4 elementi di classe 2 e sono in
numero di 444216
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Disposizioni
DISPOSIZIONI I diagrammi ad albero sono
particolari rappresentazioni grafiche che
permettono di costruire le disposizioni semplici
o con ripetizioni e di contarle facilmente. In
generale Dato un insieme A di n elementi, si
definiscono disposizioni di classe k i
raggruppamenti di k elementi scelti fra gli n
dell'insieme A tali che ogni raggruppamento
differisca dagli altri o per la natura degli
elementi o per l'ordine degli elementi.
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Le disposizioni si dicono a) Semplici, se ogni
raggruppamento contiene elementi distinti fra
loro il loro numero si indica con Dn,c b) Con
ripetizione, se nei raggruppamenti gli elementi
di A possono comparire più di una volta il
loro numero si indica con D'n,k. Per k qualsiasi
si ha quindi D'n,k nk Perciò il numero delle
disposizioni con ripetizione di n elementi di
classe k è nk. Per k qualsiasi, purché k ? n, si
ha Dn,kn(n-1)(n-2)...n-(k-1)
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Perciò il numero delle disposizioni semplici di
n elementi di classe k è uguale al prodotto di k
fattori interi consecutivi decrescenti a partire
da n.Osservazioni La condizione k? n per le
disposizioni semplici è imposta dal fatto che si
possono fare dei raggruppamenti formati con
elementi tutti diversi solo se, al massimo, si
prendono tutti gli elementi dell' insieme.Tale
limitazione non esiste, ovviamente, per le
disposizioni con ripetizione perché, in questo
caso, gli elementi possono essere ripetuti quante
volte si vuole.In generale, se l'insieme A
contiene k elementi, e l'insieme B contiene n
elementi (con k? n),il numero delle funzioni
iniettive da A in B è uguale al numero delle
disposizioni semplici di n elementi di classe k,
cioè Dn,kn(n-1)(n-2)...(n-k1).
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Permutazioni
PERMUTAZIONI Dato un insieme A di n elementi,
si definiscono permutazioni di n elementi
(diversi fra loro) i raggruppamenti formati
dagli n elementi presi in un ordine
qualsiasi. Una permutazione differisce da
un'altra solo per l'ordine degli elementi. Le
permutazioni coincidono con le disposizioni
semplici di classe n, quindi il calcolo del
numero delle permutazioni è uguale al calcolo del
numero delle disposizioni semplici di n elementi
di classe n, cioè PnDn,nn(n-1)(n-2)...n-(n-2)
n-(n-1)n(n-1)(n-2)21 Il numero delle
permutazioni di n elementi è allora Pnn!
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Osserviamo che n! è funzione di n e cresce
rapidamente al crescere di n. Osservazione Le
permutazioni di n elementi si possono collegare
alle funzioni biettive fra due insiemi A e B di n
elementi (ricordando che una funzione è detta
biettiva se ogni elemento di B è
corrispondente di uno e un solo elemento di A).

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Combinazioni
COMBINAZIONI Dato un insime A di n elementi, si
definiscono combinazioni semplici degli n
elementi di classe k (con k ? n) i raggruppamenti
di k elementi, scelti fra gli n dell'insieme A,
tali che ogni raggruppamento differisca dagli
altri per la natura degli elementi (senza
considerare l'ordine degli elementi). Per
determinare il numero delle combinazini di n
elementi di classe k ricaviamo una formula che
esprime un legame fra il numero delle
combinazioni e quello dello disposizioni di n
elementi a k.
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Le disposizioni di n elementi di classe k si
ottengono dalle combinazioni di n elementi di
classe k, permutando fra loro i k elementi che
costituiscono ciascun raggruppamento. Indicato
con Cn,k il numero delle combinazioni semplici di
n elementi di classe k, si ha Cn,k Pk Dn,k
cioè Cn,kDn,k/Pkn(n-1)(n-2)...n-(k-1)/k!
Il simbolo (n k) è detto coefficiente binomiale
per il suo uso nello sviluppo delle potenze del
binomio. Osservazione importante In molti tesi
stranieri (particolarmente in testi anglosassoni)
non si introduce il termine ltltdisposizionigtgt, ma
si usa la locuzione ltltpermutazione di n elementi
di classe kgtgt e invece di Dn,k, si scrive nPk le
combinazioni sono indicate con nCk, anzichè con
Cn,k.
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Proprietà coef binomiali
PROPRIETA' DEI COEFFICIENTI BINOMIALI Il numero
delle combinazioni di n elementi di classe k è
eguale al numero delle combinazioni degli n
elementi di classe(n-k).
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Credits
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Zanola - Claridi
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