Logica en Schakelalgebra

1
Logica en Schakelalgebra

• Ben Bruidegom
• AMSTEL Instituut FNWI UvA

2
Propositiecalculus

• proposities
• 2 3 5
• 7 lt 8
• het regent
• ik kom

3
Propositiecalculus

• proposities
• 2 3 5
• 7 lt 8
• het regent
• ik kom
• samengestelde proposities
• 2 3 5 en 7 lt 8
• het regent niet
• het regent of het regent niet
• het regent en het regent niet

4
De verzameling B

• B true, false
• p,q Boolse variabelen
• Operatoren op B
• de conjunctie p ? q (p AND q)
• de disjunctie p ? q (p OR q)
• de negatie ? (NOT p)

5
Waarheidstabel conjunctie
6
Waarheidstabeldisjunctie
7
Waarheidstabelnegatie
8
Schakel algebra

• B 0, 1
• p Boolse variabele
• Operatoren op B
• de conjunctie p . q ( p AND q )
• de disjunctie p q ( p OR q )
• de negatie ( NOT (y) )

9
Waarheidstabel van de conjunctie (AND) en
disjunctie (OR) en negatie (NOT)
10
Priority of operators

• 1e) NOT
• 2e) AND
• 3e) OR
• p y.z p (y.z)
• p y.z ? (p y).z

11
Rekenregels

• y
• 1
• y
• 1

• 0
• y
• y
• 0

12
Overige wetten

• Associatieve wet
• (p y) z p (y z)
• (p . y) . z p . (y . z)
• Commutatieve wet
• y z z y
• y . z z . y
• Distributieve wetten
• p .(y z) p.y p.z
• p (y.z) (p y).(p z)

13
Overige wetten

• Associatieve wet a(b-c)?(ab)-c
• (p y) z p (y z)
• (p . y) . z p . (y . z)
• Commutatieve wet a b ? b - a
• y z z y
• y . z z . y
• Distributieve wetten
• p .(y z) p.y p.z
• p (y.z) (p y).(p z)

14
Bewijs p (y.z) (py).(pz)

• (py).(pz) p.p p.z y.p y.z
• p p.z y.p y.z
• p.(1 z y) y.z p y.z

15
Absorptie wetten
16
Bewijs z.(y z) z

• z.(y z) z.y z.z
• toepassen eerste distributieve wet

17
Bewijs z.(y z) z

• z.(y z) z.y z.z
• z.y z z.(y 1) z.1 z

18

• Vijf keer een bewijs
• m.b.v. waarheidstabel (zelf doen syllabus tabel
  4.1)
• m.b.v. schakelalgebra
• m.b.v. 1e distributieve wet (zie boek)
• m.b.v. 2e distributieve wet (zie boek)
• m.b.v. De Morgan

19
Bewijs met schakelalgebra
20
Bewijs met schakelalgebra
21
Wetten van De Morgan
22
Wetten van De Morgan
23
Wetten van De Morgan
24
Wetten van De Morgan

• Wetten gelden ook voor n termen

25
(No Transcript)
26
(No Transcript)
27
(No Transcript)
28
Maak opgaven bladzijde 62
29
NAND- NOR-gates
y
y

?1
z
z
NAND-gate
NOR-gate
30
NAND-gate als bouwsteen voor andere poorten
31
Verkorte tabel NOR-poort
v w x y Z
0 0 0 0 1
1 x x x 0
x 1 x x 0
x x 1 x 0
x x x 1 0
x irrelevant
32
Opgaven bladzijde 64
33
Ontwerpen van logische schakelingen
problem
solution
34
problem
Truth table
solution
35
problem
Boole expression
Truth table
solution
36
problem
Boole expression
Truth table
Reduced Boole expression
solution
37
problem
Boole expression
Truth table
Reduced Boole expression
solution
Boole algebra
38
Implementation
problem
Boole expression
Truth table
Reduced Boole expression
solution
Boole algebra
39
Majority voting system
Set value
a
Signal cond. sensor a
c
b
a
Majority Voter
Valve control
v
b
Signal cond. sensor b
c
Signal cond. sensor c
Vat
valve

• redundant system

40
Truth table
41
Truth table
42
Truth table ? Boole exp.
43
Truth table ? Boole exp.
44
Som van mintermen
45
Boole expr. ? simplified Boole expr.
46
Boole expr. ? simplified Boole expr.
47
Boole expr. ? simplified Boole expr.
48
Boole expr. ? simplified Boole expr.
49
Simplified Boole expression
50
Implementation
y
y

?1
z
z
NAND-gate
NOR-gate
51
Implementation with NAND-gates
52
Implementation with NAND-gates
53
Implementation with NAND-gates




54
Implementation with NAND-gates
a b c



v

55
Programmeerbare logica

• Read-only memory (ROM)
• Programmable ROM (PROM)
• Erasable programmable ROM (EPROM)(erased by
  UV-light)
• Electrically erasable programmable read-only
  memory. (EEPROM) (written/erased by byte)
• Flash memory (written/erased by block)
• Bovenstaande geheugens zijn geen geheugens maar
  combinatorische schakelingen. Een uitgang is
  alleen afhankelijk van de waarden van één of meer
  ingangen.

56
Programmable logic arrays (PLAs)
57
AND OR logic
58
PLA
59
Field Programmable Gate Array (FPGA)
60
MOSFETs

• Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistors

61
MOSFETs

• CMOS Inverter

62
MOSFETs

• CMOS NAND-gate

63
MOSFETs

• CMOS NAND-gate

v w Z
0 volt 0 volt 5 volt
0 volt 5 volt 5 volt
5 volt 0 volt 5 volt
5 volt 5 volt 0 volt