BENVENUTI A TUTTI

1
BENVENUTI A TUTTI
2
PRESENTAZIONE DEL CORSO

• I incontro
• Ambito operativo della logica. Le proposizioni
  logiche. Logica degli enunciati e operatori
  logici equivalenza di espressioni logiche.
  Tautologie, ragionamenti e dimostrazioni
  ragionamenti validi e ragionamenti corretti
  sintassi e semantica di un ragionamento.

3
PRESENTAZIONE DEL CORSO

• II incontro
• La logica dei predicati. Predicati aperti e
  chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di
  verità di un predicato semplice o composto.
  Connettivi logici e insiemi.
• Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due
  variabili come predicati semplici o composti.
• Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con
  quantificatori. I sillogismi da Aristotele alla
  classificazione attuale passando per le regole
  mnemoniche tardomedievali.
• Esercizi

4
PRESENTAZIONE DEL CORSO

• III incontro
• La relazioni lequivalenza. Come comunicare il
  concetto di BLU a chi non parla la nostra
  lingua. I concetti astratti in matematica.
• Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi
  della matematica. Esempi di alfa-test dati nelle
  prove di accesso alluniversità.

5
PROPOSIZIONI LOGICHE

• UNA PROPOSIZIONI LOGICA È UN ENUNCIATO CHE È
• O VERO O FALSO

6
VARIABILE LOGICA
I incontro

• È UNA VARIABILE LOGICA OGNI LETTERA UTILIZZATA AL
  POSTO DI UNA PROPOSIZIONE

7
PROPOSIZIONI SEMPLICI o ELEMENTARI o ATOMICHE
I incontro

• MANGIO UNA MELA
• OGGI A SAN DONÀ PIOVE
• MI COMPRO UNAUTOMOBILE (o come dicevano i
  futuristi un automobile)
• sono tutte proposizioni elementari (o
  atomiche)

8
CONNETTIVI LOGICI
I incontro

• NON (NOT) (è lunico connettivo unario)
• E (AND ET)
• O (OR VEL)
• IMPLICA / SE ALLORA (IF THEN)
• SE E SOLO SE (IF AND ONLY IF)
• XOR/AUTAUT

UNA PROPOSIZIONE È COMPOSTA SE È FORMATA DA PIÙ
PROPOSIZIONI LOGICHE LEGATE DA CONNETTIVI
9
PROPOSIZIONI SEMPLICI
I incontro

• A
• B

PROPOSIZIONI COMPOSTE

• A or B
• not (B and C)

10
LA NEGAZIONE NON
I incontro
A NON A
V F
F V
11
LA CONGIUNZIONE E (and)
I incontro
A B A and B
V V V
V F F
F V F
F F F
12
LA CONGIUNZIONE E (and)TEST DATO AL POLITECNICO
I incontro
Si considerino le due definizioni seguenti c.
Una circonferenza c è linsieme dei punti del
piano equidistanti da un fissato punto C. p. Una
parabola p è linsieme dei punti del piano
equidistanti da un fissato punto F e da una
fissata retta d. Allora A. la distanza di un
punto qualunque di c da C è uguale alla distanza
di un punto qualunque di p da F B. tre punti
distinti di c hanno la stessa distanza da C e tre
punti distinti di p hanno la stessa distanza da
d C. un punto di c ha la stessa distanza da C di
un punto di p D. due punti di c hanno la stessa
distanza da C e un punto di p ha distanza da F
uguale alla distanza che ha da d E. due punti di
c hanno la stessa distanza da C e tre punti
distinti di p hanno la stessa distanza da F
13
LA DISGIUNZIONE INCLUSIVA O
I incontro
A B A or B A vel B
V V V
V F V
F V V
F F F
14
LA DISGIUNZIONE ECLUSIVA XOR (AUTAUT)
A B A xor B aut A aut B
V V F
V F V
F V V
F F F
15
IMPLICAZIONE MATERIALE SE ALLORA (IFTHEN) (?)
A B A ? B
V V V
V F F
F V V
F F V
16
IMPLICAZIONE MATERIALE (se P allora C) (if P
then C) (P?C)

• (espressioni equivalenti)
• Da P segue C
• P è sufficiente per C
• C è necessaria per P
• P solo se C

17
test dato al politecnico

• Laffermazione
• Domani Aldo verrà dimesso dallospedale se oggi
  rimane senza febbre
• equivale a una delle seguenti. Quale?
• A. Se domani verrà dimesso, vuol dire che oggi
  Aldo è senza febbre
• B. Per essere dimesso domani, è necessario che
  oggi Aldo rimanga senza febbre
• C. Per essere dimesso domani, è sufficiente che
  oggi Aldo rimanga senza febbre
• D. Domani Aldo verrà dimesso solo se oggi rimane
  senza febbre
• E. Oggi Aldo ha la febbre e domani non verrà
  dimesso
• Traduciamo D ? SF
• D ? SF
• D ? SF
• D ? SF
• D ? SF
• (non SF) and (non D)

18
test dato al politecnico
Dalla proposizione Una successione di numeri
reali, se crescente e limitata, è
convergente (Cresc and Limit ? Conv) si deduce
che A. la convergenza è una condizione
necessaria per la limitatezza di una successione
reale Limit?Conv B. la convergenza è una
condizione necessaria per la crescenza di una
successione reale Conv ? Cresc C. le condizioni
di crescenza e di limitatezza sono sufficienti
per la convergenza di una successione reale
Cresc and Limit ? Conv D. le condizioni di
crescenza e di limitatezza sono necessarie e
sufficienti per la convergenza di una successione
reale Cresc and Limit ?? Conv E. esistono
successioni reali convergenti ?x ? SuccReal
Conv(x) vedi lezione sui quantificatori
19
LA DOPPIA IMPLICAZIONE SE E SOLO SE (?)
A B A ? B B?A (A ? B) and (B?A) A ? B
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
20
ESPRESSIONI LOGICHE
I incontro

• not (A and B)
• A and (not C)
• if ((if A then B) and A) then B
• if (if A then B) and (not B) then (not A)
• if (if A then B) and (if B then C)) then if A
  then C
• come si codificano?

21
TEST DATO AL POLITECNICO
I incontro

• Aldo, Bruno e Carlo sono tre amici. Si sa che
• almeno uno di essi è laureato
• se Aldo è laureato, anche Bruno lo è
• se Carlo è laureato, anche Aldo lo è
• solo uno tra Bruno e Carlo è laureato
• Allora si deduce che
• A. Aldo e Bruno sono laureati
• B. Bruno è laureato
• C. Aldo è laureato e Bruno non lo è
• D. Carlo è laureato
• E. i laureati sono due

traduciamo
22
RISPOSTA AL TEST
quali sono i casi in cui le 4 affermazioni sono
tutte vere?
A B C A or B or C A ? B C ? A B xor C
V V V V V V F
V V F V V V V
V F V V F F V
V F F V F V F
F V V V V V F
F V F V V V V
F F V V V F V
F F F F V V F
23
TAUTOLOGIE
I incontro

• UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA TAUTOLOGIA SE
  RISULTA SEMPRE VERA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI
  VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

24
ESEMPI DI TAUTOLOGIE
I incontro

• A o (non A)
• Principio del terzo escluso

A non A A or (non A)
V F V
F V V
25
ESEMPI DI TAUTOLOGIE
I incontro

• Non (A e (non A))
• Principio di non contraddizione

A non A A e (non A) Non (A e (non A))
V F F V
F V F V
26
CONTRADDIZIONI
I incontro

• UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA È UNA CONTRADDIZIONE SE
  RISULTA SEMPRE FALSA QUALUNQUE SIA IL VALORE DI
  VERITÀ DELLE PROPOSIZIONI CHE LA COMPONGONO

27
ESEMPI DI CONTRADDIZIONI A and (non A)
A non A A and (non A)
V F F
F V F
28
ESEMPI DI CONTRADDIZIONI non(A or (non A))
A non A A or (non A) non(A or (non A))
V F F F
F V V F
29
EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE
A non A non (non A)
V F V
F V F

• A non (non A)

30
EQUIVALENZA DI ESPRESSIONI LOGICHE
A B A?B non A (non A) vel B
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V

• A ? B (non A) vel B

31
LEGGI DI DE MORGAN
non (A e B) (non A) o (non B)
non (A o B) (non A) e (non B)
A B A e B non (A e B) non A non B (non A) o (non B)
V V V F F F F
V F F V F V V
F V F V V F V
F F F V V V V
32
ESEMPI CON LE LEGGI DI DE MORGAN
non (VADO AL MARE o IN MONTAGNA) (non VADO AL
MARE) e (non VADO IN MONTAGNA)
non (MANGIO UNA MELA e UNA PERA) (non MANGIO
UNA MELA) o (non MANGIO UNA PERA)
33
FORME DI RAGIONAMENTO
I incontro

• P ? C

34
ESEMPIO DI RAGIONAMENTO
I incontro

• (A?B) and (non A) ? (non B)

P ? C
Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma
Alice non è colpevole. Dunque anche Bruno non lo
è. (È ragionamento valido?)
35
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Un ragionamento VALIDO ci assicura che da
  PREMESSE VERE giungiamo a una CONCLUSIONE VERA

36
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il modus ponens
• (A?B) and A ? B

Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è.
Alice è colpevole. Dunque anche Bruno lo è.
37
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il modus ponens
• (A?B) and A ? B

A B A ? B
V V V
V F F
F V V
F F V
38
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il modus tollens
• (A?B) and (non B) ? (non A)

Se Alice è colpevole allora anche Bruno lo è. Ma
Bruno non è colpevole. Dunque neanche Alice lo è.
39
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il modus tollens
• (A?B) and (non B) ? (non A)

A B A ? B non B non A
V V V F F
V F F V F
F V V F V
F F V V V
40
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il modus tollens
• (test dato a Medicina)

Si completi correttamente il seguente
ragionamento ipotetico Se non avessi avuto
talento non saresti diventato artista ma sei
diventato artista dunque .......................
A) sarai artista B) non hai talento C) sei
artista D) hai talento E) non avrai talento
41
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• La contronominale
• (non T)?(non I) ? (I?T)

Se dal fatto che Tamara non è colpevole segue che
anche Irene non lo sia allora dal fatto che Irene
sia colpevole segue che anche Tamara lo sia
42
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• La contronominale
• (non T)?(non I) ? (I?T)

I T non T non I (non T)?(non I) I?T
V V F F V V
V F V F F F
F V F V V V
F F V V V V
43
FORME DI RAGIONAMENTO VALIDE

• Il ragionamento per assurdo
• (I and not T)?P and (I and not T)?not P? (I?T)

I T P (I and not T) ? P (I and not T) ? not P and I?T tutta
V V V V V V V V
V V F V V V V V
V F V V F F F V
V F F F V F F V
F V V V V V V V
F V F V V V V V
F F V V V V V V
F F F V V V V V
44
SE UN RAGIONAMENTO È VALIDO (OSSIA SE)

• ALLORA IL SIMBOLO ? VIENE SOSTITUITO DAL
  SIMBOLO

(IMPLICAZIONE LOGICA)
45
Un ragionamento che sia tautologia è
chiaramente valido.

• Perché?

46
VALIDITÀ

• UN RAGIONAMENTO È VALIDO ANCHE SE NON SO COSA
  SIGNIFICHINO LE PROPOSIZIONI A, B, C, D CHE
  COMPAIONO IN ESSO.
• LA VALIDITÀ ATTIENE/AFFERISCE ALLA SINTASSI DI
  UNESPRESSIONE
• SE PELVIO SPANTA TULLI ALLORA TINCA FOLLI. MA
  POICHÉ NON TINCA FOLLI ALLORA PELVIO NON SPANTA
  TULLI è un ragionamento valido (è un modus
  tollens)

47
CORRETTEZZA

• UN RAGIONAMENTO È CORRETTO SE È VALIDO
  (sintassi) E POSSO GARANTIRE LA VERITÀ DELLE
  PREMESSE (semantica)
• SE UNO IN PARLAMENTO PENSA CHE RUBY SIA LA
  NIPOTE DI MUBARACK ALLORA È UN CITRULLO. MA
  POICHÉ NESSUNO È CITRULLO IN PARLAMENTO ALLORA
  NESSUNO PENSA (HA PENSATO) CHE RUBY FOSSE LA
  NIPOTE DI MUBARACK.

48
FINE I INCONTRO ARRIVEDERCI AL PROSSIMO
INCONTRO
49
BENVENUTI A TUTTIal secondo incontro
50
Contenuti del II incontro

• La logica dei predicati. Predicati aperti e
  chiusi. Predicati unari e binari. Insieme di
  verità di un predicato semplice o composto.
  Connettivi logici e insiemi.
• Equazioni, disequazioni, sistemi in una e in due
  variabili come predicati semplici o composti
• Uso dei quantificatori. Negazioni di frasi con
  quantificatori. I sillogismi da Aristotele alla
  trattazione attuale passando per le regole
  mnemoniche tardomedievali.

51
Enunciati aperti o predicati

• x è un numero negativo

UN ENUNCIATO APERTO CONTIENE ALMENO UNA VARIABILE
IL CUI VALORE DEVE ESSERE SCELTO IN UN INSIEME
UNIVERSO U CHE DIAMO PER NOTO
52
Enunciati aperti o predicati

• B(y) 6 è un divisore di y

B(y) è un predicato unario, ovvero un enunciato
riguardante y, aperto B(6) 6 è un divisore di
6 è un enunciato chiuso (VERO) B(20) 6 è un
divisore di 20 è un enunciato chiuso (FALSO)
53
Predicati binari

• B(xy) x y 7

B(xy) è un enunciato aperto B(x8) è un
enunciato aperto B(61) è un enunciato chiuso
(VERO) B(55) è un enunciato chiuso (FALSO)
54
INSIEMI DI VERITÀ

• Si chiama INSIEME DI VERITÀ di un enunciato
  aperto linsieme di tutti i valori scelti in un
  universo U che, sostituiti alla variabile,
  trasformano lenunciato in una proposizione vera

Nellinsieme N consideriamo lenunciato P(x) x
è un numero primo Linsieme di verità di P(x) è
P 2 3 5 7 11 13
55
INSIEMI DI VERITÀ
il nome del predicato P e il nome dellinsieme P
da esso individuato spesso sono indicati con lo
stesso simbolo, ma non bisogna confonderli
56
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
NEGAZIONE P x?U tali che non P(x)
U
P
P
57
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
UNIONE E DISGIUNZIONE P ? Q x?U tali che P(x)
? Q(x)
U
Q
P
58
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
INTERSEZIONE E CONGIUNZIONE P ? Q x?U tali
che P(x) ? Q(x)
U
Q
P
59
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
complichiamo le cose P ? (Q ? R) x?U tali
che non P(x) ? (Q(x) ? R(x))
U
esempio gli allievi del Liceo che non hanno
letto Proust ma hanno letto Quenau o Rimbaud
P
Q
R
60
CONNETTIVI LOGICI E INSIEMI
esiste una corrispondenza precisa tra connettivi
logici e connettivi insiemistici
il mondo della LOGICA e il mondo degli INSIEMI
hanno la stessa struttura. Le proprietà di un
ambito sono traducibili in quelle dellaltro
61
DUE CARTE, UNA SOLA STRUTTURA LOGICA
INSIEMISTICA
A ? A A A ? A A A ? F A A ? F F A ? V
V A ? V A A ? A V
A ? A A A ? A A A ? ? A A ? ? ? A ? U
U A ? U A A ? A U
NON È LA TABELLA DELLOCULISTA
62
LOGICA E INSIEMISTICA sono traslitterabilia
patto di saper traslitterare il simbolo ?
A B A ? B non A (non A) ? B
V V V F V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
63
esempio di traslitterazione
((A ? non A) ? B)?(non B) non ((A ? non A)
? B) ? (non B) (non (V ? B)) ? (non B)
(non B) ? (non B) non B
tradotto nel linguaggio insiemistico ((A ? A)
? B) ? B) B
64
CONNETTIVI LOGICI E CONNETTIVI INSIEMISTICI
U
B
A
A ? B A ? B A ? B A ? B
B
A
COSA SONO QUESTE?
U
65
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI
2x 1 gt 3 dal punto di vista algebrico è
una disequazioneequivalente alla disequazione
x gt 2 Dal punto di vista logico è un
enunciato aperto
linsieme di verità, ossia linsieme delle
soluzioni, è S 2 ?
66
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI
NON bisogna confondere il predicato x gt 2
con il suo insieme di verità, ossia linsieme
delle soluzioni S 2 ?
67
LOGICA, ALGEBRA E INSIEMI DI SOLUZIONI
(2x 1 gt 3) ? (4x lt 16)dal punto di vista
algebrico è un sistema di disequazionidal
punto di vista logico è un enunciato aperto
composto (una congiunzione logica)
linsieme di verità, ossia linsieme di
soluzioni, è S S1 ? S2 2 ? ?
? 4 2 4
68
INSIEMI DI VERITÀ
Nellinsieme RxR consideriamo lenunciato (per la
precisione un predicato binario) P(xy) x è
il doppio di y x 2y Linsieme di verità di
P(xy) contiene le coppie (00) (21)
(42) Essendo le coppie in numero infinito esse
non possono essere tabulate ma solo rappresentate
69
INSIEMI DI VERITÀ
Nellinsieme RxR (sul piano cartesiano!!) y x2
2x è un predicato (binario!!) aperto Linsieme
di verità è
70
INSIEMI DI VERITÀ
La CONGIUNZIONE (AND) dei due predicati binari (y
x2 2x) ? (y x) ha come insieme di verità
lINTERSEZIONE tra i due insiemi di verità, S1 ?
S2 S (00) (33)
71
INSIEMI DI VERITÀ
La DISGIUNZIONE (OR) dei due predicati binari (y
x2 2x) ? (y x) ha come insieme di verità
lUNIONE tra i due insiemi di verità, S1 ? S2
S
72
I QUANTIFICATORI

• P è residente in provincia di Padova
• P(x) x è residente in provincia di Padova
• P(x) è un enunciato/predicato aperto
• Ma se noi diciamo
• per ogni x ? U P(x)
• oppure
• esiste almeno un x ? U (tale che) P(x)
• allora la proposizione non è più aperta

73
I QUANTIFICATORI

• E1) per ogni x?R x gt x 1
• E2) esiste almeno un x?N (tale che)
• 2x 1 6
• non sembrano più enunciati aperti

74
I QUANTIFICATORI

• ? è il quantificatore universale
• ? è il quantificatore esistenziale

La presenza dei quantificatori davanti alla
variabile (a tutte le variabili) rende gli
enunciati chiusi
75
I QUANTIFICATORI

• P è residente in provincia di Padova
• P(x) x è residente in provincia di Padova
• Se noi, intendendo per U il Veneto, diciamo
• ?x?U P(x)
• oppure
• ?x?U P(x)
• allora la proposizione non è più aperta.

76
NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON QUANTIFICATORI

• La proposizione
• tutte le rose delluniverso sono rosse
• ?x?U R(x)
• ammette come negazione
• non è vero che tutte le rose delluniverso sono
  rosse, ?x?U R(x)
• ossia ce nè almeno una che non è rossa
• ? x?U R(x)

77
NEGARE UNA PROPOSIZIONE CON QUANTIFICATORI

• La proposizione esiste una rosa delluniverso
  color marrone a strisce
• ? x?U M(x)
• ammette come negazione
• non esiste una rosa delluniverso color marrone
  a strisce, ?x?U M(x)
• ossia tutte le rose delluniverso non sono
  marroni a strisce
• ? x?U M(x)

78
NESSUNO

• Ricordiamo che Nessuno Fa
• equivale a Non (è vero che) esiste uno che fa
• ossia Tutti non Fanno
• ?x?U F(x)
• ?x?U F(x)
• ?x?U P(x)

79
ESEMPIO DI TEST (dato a MEDICINA)

• Negare che "ogni uomo ha un nemico" equivale a
  dire che
• A) tutti sono nemici di ogni uomo
• B) esistono uomini senza nemici
• C) ogni uomo non ha un nemico
• D) nessun uomo ha un nemico
• E) tutti gli uomini non hanno nemici

Equivale a dire non è vero che "ogni uomo ha un
nemico, cioè esiste qualche uomo che
80
NEGARE UNA PROPOSIZIONE COMPOSTA CON
QUANTIFICATORI

• Tutti gli allievi del Liceo giocano a Badmington
  e a Calcio
• ?x?L B(x) ? C(x)
• ammette come negazione
• non è vero che tutti gli allievi del liceo
  giocano a Badmington e a Calcio
• ?x?L B(x) ? C(x)
• ossia ce nè almeno uno per il quale il predicato
  non è vero
• ? x?L B(x) ? C(x)
• ossia ce nè almeno uno o non gioca a Badmington
  o non gioca a Calcio
• ? x?L B(x) ? C(x)

81
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)

• Laffermazione
• A nessuno studente sono antipatici tutti i
  professori
• equivale a dire che
• A. cè uno studente a cui tutti i professori sono
  antipatici
• B. tutti i professori sono antipatici a tutti gli
  studenti
• C. a qualche studente sono simpatici tutti i
  professori
• D. ad ogni studente è simpatico almeno un
  professore
• E. cè un professore che è simpatico a tutti gli
  studenti

a tutti gli studenti NON sono antipatici TUTTI i
professori a tutti gli studenti CE NÈ
ALMENO UNO che NON gli sta antipatico
82
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)

• Laffermazione
• Non cè grattacielo senza ascensore
• significa
• A. nessun grattacielo ha due ascensori
• B. ogni grattacielo ha almeno un ascensore
• C. ogni grattacielo ha due ascensori
• D. qualche grattacielo non ha ascensore
• E. qualche grattacielo ha almeno un ascensore

Tutti i grattacieli NON sono senza (NESSUN)
ascensore tutti i grattacieli hanno ALMENO
UN ascensore
83
ESEMPI DI TEST (POLITECNICO)
?x?S P(x) ? C(x)

• Sapendo che laffermazione
• Tutti i sabati vado in pizzeria e poi al cinema
• è falsa, se ne deduce che
• A. qualche sabato non vado in pizzeria o al
  cinema
• B. tutti i sabati non vado in pizzeria o al
  cinema
• C. qualche sabato non vado né in pizzeria né al
  cinema
• D. tutti i sabati non vado né in pizzeria né al
  cinema
• E. tutti i giorni vado in pizzeria e al cinema

?x?S P(x) ? C(x)
? x?S P(x) ? C(x)
84
IL SILLOGISMO

• Studiato da Aristotele negli Analitici primi, la
  parola deriva da syllogismós e significa
  deduzione.
• Costituisce la parte più importante della logica
  formale tradizionale.
• Quando non si specifica ulteriormente ci si
  riferisce al cosiddetto sillogismo categorico,
  uno schema di ragionamento formato da due
  affermazioni, dette PREMESSE, dalle quali si
  deduce una terza affermazione, detta CONCLUSIONE.

85
IL SILLOGISMO
premessa maggiore premessa minore conclusione
gli italiani sono europei i siciliani sono
italiani i siciliani sono europei
il predicato della conclusione è detto termine
maggiore (e la premessa in cui compare è detta
maggiore) il soggetto della conclusione è detto
termine minore (e la premessa in cui compare è
detta maggiore) il termine comune alle due
premesse è detto termine medio
86
IL SILLOGISMO
in base alla posizione occupata dal termine medio
nelle due premesse i sillogismi si dividono in 4
figure
2a figura il termine medio è predicato in entrambe
1a figura il termine medio è soggetto nella prima
e predicato nella seconda
4a figura (non considerata da Aristotele e
introdotta in seguito) il termine medio è
predicato nella maggiore e soggetto nella minore
3a figura il termine medio è soggetto in entrambe
87
IL SILLOGISMO
Allinterno di ciascuna figura i sillogismi
possono essere ripartiti in varie classi, dette
modi, a seconda della quantità e delle qualità.
88
I MODI DEL SILLOGISMO

• a) UNIVERSALE AFFERMATIVA
• tutti gli a sono b

B
A
a
e) UNIVERSALE NEGATIVA nessun a è b
A
B
a
i) PARTICOLARE AFFERMATIVA qualche a è b / almeno
un a è b
B
A
a
o) PARTICOLARE NEGATIVA qualche a è non è b
almeno un a non è b
B
a
A
89
IL SILLOGISMO
Da un punto di vista astrattamente combinatorio,
i modi possibili sono 256, ma solo in 19 casi si
ha a che fare con modi (ragionamenti) validi. A
questi i LOGICI MEDIEVALI attribuirono un nome
1a figura 2a figura 3a figura 4a figura
Barbara Cesare Darapti Baralipton
Celarent Camestres Felapton Celantes
Darii Festino Disamis Dabitis
Ferio Baroco Datisi Fapesmo
Bocarso Frisesomorum
Ferison
90
IL SILLOGISMO
2 cento rose molto meno belle
prima vocale ? premessa maggiore seconda vocale ?
premessa minore a universale affermativa e
universale negativa i particolare affermativa o
particolare negativa
Un esempio di Felapton Nessun delfino vive sulla
terraferma (e) Tutti i delfini sono mammiferi
(a) Dunque, qualche mammifero non vive sulla
terra ferma (o)
91
IL SILLOGISMO
Nei modi descritti dalle parole della
tabella anche le consonanti hanno un significato
indicano in quale maniera i modi della seconda,
terza e quarta figura possono essere ridotti
(cioè ricavati) da quelli della prima figura
mediante riduzioni e conversioni
ma non sarà oggetto di analisi in questa sede
92
IL SILLOGISMO

• Come si verifica la validità di un sillogismo?

Se dalla verità delle due premesse si deriva la
verità della conclusione il sillogismo è valido.
Gli antichi e i medievali (si dice) avevano
grandi capacità mnemoniche
Noi ci aiutiamo con la teoria degli insiemi
93
IL SILLOGISMO
E
gli italiani sono europei i siciliani sono
italiani i siciliani sono europei
I
S
TRADUZIONE IN LINGUAGGIO LOGICO
?x?U I(x) ? E(x) ?x?U S(x) ? I(x) ?x?U
S(x) ? E(x)
valido
94
IL SILLOGISMO
ALTRO ESEMPIO
qualche italiano è razzista tutti i razzisti son
cretini qualche italiano è cretino
C
R
TRADUZIONE IN LINGUAGGIO LOGICO
I
?x?U I(x) ? R(x) ?x?U R(x) ? C(x) ?x?U
I(x) ? C(x)
valido
95
IL SILLOGISMO (test dati a medicina)
Nessun minerale è animato qualche esistente
è animato dunque ..............................
non è minerale. Sindividui il CORRETTO
COMPLETAMENTO del sillogismo A) ogni animato B)
qualche esistente C) qualche minerale D) ogni
esistente E) ogni minerale
Esist
Animato
Miner
96
IL SILLOGISMO (test dati a medicina)
Tutti i piccioni mangiano le fave alcuni
uccelli non mangiano le fave dunque
.............................. non sono
piccioni. Sindividui il CORRETTO COMPLETAMENTO
del sillogismo A) alcuni piccioni B) le fave C)
tutti gli uccelli D) alcune fave E) alcuni uccelli
uccelli
mangiano fave
piccioni
97
IL SILLOGISMO è costruzione SINTATTICA
Tutti i CIK sono FAN Qualche FAN è DIAV Qualche
DIAV è CIK
LA VALIDITÀ PRESCINDE DALLA SEMANTICA
Diav
non valido
Fan
Cik
98
IL SILLOGISMO
e con quest'ultimo CIK mandiamo al DIAV la
logica di Aristotele e quella medievale
ARRIVEDERCI A TUTTI
99
FINE SECONDO INCONTRO ARRIVEDERCI AL PROSSIMO
INCONTRO
100
BENTORNATI A TUTTI
101
TERZO INCONTRO

• La relazioni lequivalenza. Come comunicare il
  concetto di BLU a chi non parla la nostra
  lingua. I concetti astratti in matematica.
• Alcuni esercizi di logica dati alle olimpiadi
  della matematica. Esempi di alfa-test dati nelle
  prove di accesso alluniversità.

102
PRODOTTO CARTESIANO

• Il prodotto cartesiano AxB è linsieme delle
  coppie (ab) per le quali a?A ? b?B

AxB (2R) (3R) (4R) (5R)
(2V) (3V) (4V) (5V)
(2G) (3G) (4G) (5G)
BRVG
G
V
R
A2345
5
4
2
3
103
RELAZIONE BINARIA

• si dice relazione binaria ? fra gli insiemi A e B
  un qualunque sottoinsieme di AxB

? (2R) (5R) (2G) (4G)
BRVG
G
V
R
A2345
5
4
2
3
104
RELAZIONE BINARIA

• rappresentazione sagittale

? (2R) (5R) (2G) (4G)
A
B
2
R
3
G
4
V
5
Dominio di ?
Codominio di ?
105
RELAZIONE BINARIA

• Se A e B coincidono si parla di Relazione di A in
  A, o semplicemente di Relazione in A

? (23) (33) (34) (54)
A
A
2
5
3
4
5
3
4
2
A
5
4
2
3
Dominio di ? 235
Codominio di ? 34
106
RELAZIONE in A

• x?y x versa da bere a y

x?y si può scrivere anche come ?(xy) Con
linguaggio delle logica degli enunciati aperti
possiamo dire che la relazione è un predicato
binario
A
Aldo
Dino
GRAFO DELLA RELAZIONE
Bruna
Carla
Franco
107
Proprietà di una relazione ?

• R) riflessiva ?a?A a?a
• AR) antiriflessiva ?a?A a?a
• S) simmetrica ?a?A ?b?A a?b ? b?a
• AS) antisimmetrica ?a?A ?b?A (a?b ? a?b) ? b?a
• T) transitiva a?b? b?c? a?c

108
Relazione di equivalenza

• Se valgono R) S) T) la relazione si dice
• di equivalenza

Una relazione di equivalenza genera naturalmente
una partizione
A
A
D
B
E
F
C
109
Relazione di equivalenza

• Ogni classe di equivalenza è individuata da uno
  qualsiasi dei suoi elementi

A
A
D
B
E
F
C
110
Alcune relazioni di equivalenza

• a) essere parallelo a
• b) tifare la stessa squadra di
• c) avere la stessa area di

Che nome si può dare a ciascuna classe di
equivalenza nei casi a) b) c)
A
A
D
B
E
F
C
111
Altre relazioni di equivalenza

• a) essere equipollente a (nellinsieme dei
  segmenti orientati)
• b) (ab) ?(cd) se e solo se adcd
  (nellinsieme Zx(Z-0)

Che nome si può dare a ciascuna classe di
equivalenza nei casi a) e b) ?
A
A
D
B
E
F
C
112
Come comunicare

• a un extraterrestre il concetto di blu?

A
sperando che il suo apparato visivo funzioni
come il nostro
113
fine