Formulaci

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Formulación Hamiltoniana para un sistema no
conservativo

• Elizabeth Galindo Linares
• Asesor Dr. Gerardo F. Torres del Castillo

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Contenido

• Resumen
• Objetivo
• Antecedentes
• Helmholtz
• Douglas
• Pardo
• Torres y Rubalcava
• Trabajo actual
• Bibliografía

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Resumen

• Se busca al menos una expresión hamiltoniana
  clásica que reproduzca a un sistema de 2n
  ecuaciones diferenciales ordinarias de primer
  orden.

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Objetivo

• Comprobar que todo sistema de 2n ecuaciones
  diferenciales ordinarias (ODEs) de primer orden,
  puede escribirse en forma Hamiltoniana.

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Antecedentes (1)

• H. Helmholtz (1887)

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Antecedentes (1a)

• Condiciones de Helmholtz

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Antecedentes (2)

• Douglas

Buscar la función lagrangiana para el sistema de
ecuaciones anterior
Las derivadas temporales de primer término son
cero, por lo tanto las Gs son
constantes de movimiento.
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Antecedentes (3)

• Pardo

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A L T O

• Si no existe una lagrangiana que dependa de las
  coordenadas o simplemente no existe una
  lagrangiana.
• Puede existir al menos una expresión
  Hamiltoniana?

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• Formulación hamiltoniana Vs. lagrangiana
• Más amplia
• Independencia entre coordenadas y momentos
  generalizados.
• Posibilidad de mezclar las variables de maneras
  infinitas.
• Lagrangiana natural (Arnold).

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Antecedentes (4)

• Torres del Castillo y Rubalcava (2006)

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Antecedentes (4a)
Por una parte se toma a g y h como funciones de
las variables canónicas, por otra parte x y y
son las variables de las funciones g y
h entonces, es posible considerar la forma
diferencial
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Antecedentes (4b)
Por otra parte la ecuación del jacobiano que
relaciona a las variables (x, y) con (q,p) y la
diferencial de la hamiltoniana es
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Antecedentes (4c)
Entonces,
además se definen como las derivadas parciales
temporales de y y x respectivamente.
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Antecedentes (4d)
Por simplicidad se elige a la transformación
canónica qx, por lo cual
el jacobiano se reduce a
donde
Especificando los momentos canónicos y
reescribiendo dp y dy, se tiene
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EjemploOscilador Armónico (1)

• Masa m conectada a un resorte de constante k.
• La coordenada generalizada es el desplazamiento x
  de m con res-pecto a la posición de equilibrio
  del resorte
• La energía cinética T y la energía potencial U
  son
• La Lagrangiana natural del sistema es
• La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada
  x es

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Ejemplo
1- Fza. elástica 2- Fza. de rozamiento
1
2
Usando
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(No Transcript)
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Trabajo en proceso

• Encontrar al menos una expresión H equivalente a
  las ecuaciones de movimiento.
• Cuáles son las restricciones para que exista a
  lo menos una hamiltoniana?
• Primero usando campos vectoriales que
  representan el sistema de ODEs.

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Trabajo en proceso

• Partiendo de las ecuaciones de mov. de
  Hamilton A
• Tomando a p y q coordenadas locales de una
  variedad diferenciable.
• Se toma a
• Presenta 2n integrales funcionalmente
  independientes

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Trabajo en proceso

• Procedimiento
• Escribir x en su análogo sistema de x1 y x2.
• Se comprueba que el sistema no cumple las
  condiciones de Helmholtz.
• Se obtiene un conjunto de primeras integrales
  funcionalmente independientes.

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Bibliografía

• Douglas, J. (1941), Trans. Amer. Math. Soc. 50,
  71.
• Arnold, V.I. (1978), Mathematical methods of
  classical mechanics, Springer-Verlag, New York.
• Helmholtz, H. (1887), Journal für die reine und
  angewandte Mathematik, Berlin, 100, 137.
• Pardo, F. (1989), J. Math. Phys. 30, 2054-2061.
• Torres del Castillo, G.F. and Rubalcava García,
  I. (2006), Rev. Mex. Fís. 52, 429.
• Torres del Castillo, G.F. (2009), J. Phys. A,
  Math. and Theor. 42, 265202.

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Por su atención, gracias.
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Anexos

• Trabajando adecuadamente con las ecuaciones
• Haciendo cambio de variables se puede reducir a
  ecuaciones independientes.
• Así podrá encontrarse la solución general del
  sistema.
• Es decir, se hizo una transformación lineal de
  las coordenadas que convierten el sistema de
  ecuaciones diferenciales en ecuaciones
  desacopladas en las nuevas variables.
• Torres del Castillo demuestra que la
  descomposición es posible en sistemas
  bidimensionales acoplados linealmente.

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EjemploOscilador Armónico (2)

• La solución de la ecuación de movimiento para la
  posición de la masa es
• La amplitud A del movimiento y la fase f dependen
  de las con-diciones iniciales del sistema
• Para w 1/s, A 1m y f p/2 (posición inicial
  1m, velocidad inicial 0 m/s) el movimiento es
  oscilatorio con periodo T 2p s

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1)

• Principio de Hamilton
• Describe el movimiento de un sistema mecánico
• Para sistemas monogénicos (toda fuerza es
  derivable a partir de un potencial escalar)
• El movimiento de un sistema del tiempo t1 al
  tiempo t2 es tal que la integral de línea
• donde L T V, tiene un valor estacionario
  para el camino corrrecto del movimiento.
• T es la energía cinética del sistema y V el
  potencial al que este está sujeto
• I se conoce como la acción o integral de acción

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2)

• El principio de Hamilton se puede expresar
  diciendo que el movimiento es tal que la
  variación de la integral de línea I es cero para
  t1 y t2 fijos
• qi se llaman coordenadas generalizadas y sus
  derivadas son las velocidades generalizadas
• Siempre y cuando las restricciones del sistema
  sean holonómicas
• Este es un problema variacional

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Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3)

• En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son
• Cada coordenada genera-lizada representa un grado
  de libertad
• Se debe resolver un sistema de ecuaciones
  diferenciales ordinarias de segundo orden
• Los momentos generali-zados se definen como

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Ventajas de la Formulación Variacional

• Involucra cantidades físicas (energía cinética y
  potencial) independientes de las coordenadas con
  que se especifique el sistema. Esto hace que la
  formulación sea invariante con respecto a los
  sistemas de coordenadas.
• El Lagrangiano es indeterminado a una derivada
  total temporal de cualquier función de
  coordenadas y tiempo.
• Se puede extender a sistemas que no se consideran
  en la dinámica de partículas
• La imposición de la conservación de la energía
  lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

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Consecuencias Inmediatas de la Formulación
Variacional

• Teoremas de Conservación
• Si el Lagrangiano de un sistema es independiente
  de una coordenada qj pero sí depende de la
  velocidad correspondiente, entonces el momento
  correspondiente es independiente del tiempo (se
  conserva)
• Propiedades de Simetría
• La simetría del sistema con respecto a sus
  coordenadas generalizadas está íntimamente ligada
  con la conservación de los momentos con respecto
  a los ejes de simetría

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Otros ejemplosPéndulo Simple

• Masa m colgada del techo de una cuerda de
  longitud l, restringida a moverse en el plano xy
• La coordenada generalizada es el ángulo q de l
  con respecto al eje y
• La energía cinética T y la energía potencial U
  son
• El Lagrangiano del sistema es
• La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada
  q es
• Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a
  la del oscilador armónico

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Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos

• La formulación Lagrangiana de partículas se puede
  extender a la descripción de campos.
• Se trabaja con la densidad Lagrangiana del
  sistema
• Las ecuaciones de campo que se deducen de esta
  formulación son
• Esta formulación tiene aplicaciones en
  electromagnetismo, relatividad, mecánica
  cuántica, etc